一種新型橢圓齒輪馬達(dá)的動(dòng)力學(xué)分析

魏 爽，李殿起，陳平亮，劉光輝

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870)

0 前言

非圓行星齒輪液壓馬達(dá)是一種新型的液壓馬達(dá)，具有結(jié)構(gòu)緊湊、抗污染能力強(qiáng)等特點(diǎn)，已成為近年來(lái)馬達(dá)研究的一個(gè)新方向[1]。武麗梅綜述了非圓齒輪技術(shù)的發(fā)展及應(yīng)用[2]；熊鎮(zhèn)芹研究了非圓齒輪馬達(dá)的配流特性，計(jì)算了配流孔的個(gè)數(shù)及配流面積[3]；許鴻昊提出了階梯型設(shè)計(jì)內(nèi)齒圈、行星輪及太陽(yáng)輪厚度的方法，以提高馬達(dá)的總效率[1]，但以上都局限于對(duì)低階非圓齒輪馬達(dá)的研究。本文提出一種高階非圓齒輪馬達(dá)：6-8階橢圓齒輪馬達(dá)，研究了該馬達(dá)中橢圓齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并分析了振動(dòng)響應(yīng)。為非圓齒輪馬達(dá)應(yīng)用過(guò)程中合理的確定動(dòng)態(tài)系數(shù)來(lái)滿足工程要求提供了依據(jù)。

1 6-8階橢圓齒輪馬達(dá)的工作原理及結(jié)構(gòu)

1.1 橢圓齒輪馬達(dá)的工作原理

6-8階橢圓行星齒輪馬達(dá)由6-8階橢圓行星齒輪機(jī)構(gòu)、馬達(dá)殼體、配液裝置、動(dòng)力輸出裝置、密封系統(tǒng)等組成。馬達(dá)殼體外側(cè)有兩條進(jìn)排液管道，通過(guò)液壓軟管與換向閥相連，內(nèi)側(cè)設(shè)有進(jìn)排液孔[4]，與橢圓行星齒輪機(jī)構(gòu)中相鄰的兩個(gè)行星輪形成密閉容腔。其中，橢圓齒輪系統(tǒng)是由節(jié)曲線分別是6階橢圓的太陽(yáng)輪和8階橢圓的內(nèi)齒圈以及圓柱行星輪組成的。由于相鄰兩行星輪的中心夾角是變化的，因此橢圓行星齒輪馬達(dá)沒(méi)有行星架，依靠齒輪之間的嚙合力運(yùn)轉(zhuǎn)，既液壓油推動(dòng)行星輪旋轉(zhuǎn)，太陽(yáng)輪通過(guò)連軸鋼球與動(dòng)力輸出軸相連，在行星輪的嚙合作用下，輸出動(dòng)力。圖1是6-8階橢圓行星齒輪馬達(dá)中行星輪系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

圖1 6-8階橢圓行星齒輪馬達(dá)行星輪系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

1.2 橢圓行星齒輪機(jī)構(gòu)中太陽(yáng)輪及內(nèi)齒圈的節(jié)曲線

在橢圓行星齒輪機(jī)構(gòu)中，令行星輪的公轉(zhuǎn)角速度為0，那么太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈分別以W1、W3的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，行星輪在以角速度W2自轉(zhuǎn)的同時(shí)，還要沿中心連線方向做平移[5]。令行星輪與內(nèi)齒圈及太陽(yáng)輪節(jié)曲線的瞬時(shí)切點(diǎn)分別為C、D兩點(diǎn)，由三心定理可知，輪系中心0與C、D三點(diǎn)是共線的[6]。圖2是非圓齒輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系簡(jiǎn)圖。

圖2 非圓齒輪輪系運(yùn)動(dòng)關(guān)系

橢圓太陽(yáng)輪的極坐標(biāo)方程為[5]

(1)

令D點(diǎn)的節(jié)曲線切線正向與向徑rs的夾角為μ1，則

(2)

內(nèi)齒圈的節(jié)曲線方程為

(3)

為保證馬達(dá)能正常工作，橢圓行星齒輪系統(tǒng)的節(jié)曲線需要滿足以下條件：

(3)不發(fā)生干涉的條件，即太陽(yáng)輪最大向徑處的齒頂與內(nèi)齒圈最小向徑處的齒頂不會(huì)碰撞[7]。

給出不同的Ns、Nr、模數(shù)m，行星輪齒數(shù)zp，由以上方程就能得到相應(yīng)的RZ和e，從而得到橢圓齒輪系統(tǒng)中各齒輪的節(jié)曲線。圖3是取m=1時(shí)，得到的6-8階橢圓齒輪的太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的節(jié)曲線。

圖3 6-8階橢圓齒輪的節(jié)曲線

1.3 太陽(yáng)輪及內(nèi)齒圈的齒廓

對(duì)于節(jié)曲線有內(nèi)凹的非圓齒輪,需要用產(chǎn)形齒輪與非圓齒輪內(nèi)、外嚙合來(lái)設(shè)計(jì)非圓齒輪的齒廓，其中產(chǎn)形齒輪基圓的切線是產(chǎn)形齒輪與嚙合齒輪的瞬時(shí)嚙合線[6]。本文介紹一種借助MATLAB計(jì)算語(yǔ)言由太陽(yáng)輪的節(jié)曲線參數(shù)插值得到內(nèi)齒圈齒廓的方法。

(4)

在靜坐標(biāo)系o1x1y1中，F(xiàn)s點(diǎn)的直角坐標(biāo)為[6]

(5)

其中，x2s、y2s是Fs點(diǎn)在坐標(biāo)系o2x2my2m中的坐標(biāo)；β1是過(guò)C點(diǎn)的豎直線與直線O2C之間的夾角；x102、y102是產(chǎn)形齒輪的中心在靜坐標(biāo)系o1x1y1中的坐標(biāo)。

式(1)～(3)用極坐標(biāo)的方法，由太陽(yáng)輪的節(jié)曲線，得出了內(nèi)齒圈的節(jié)曲線，而式(5)是直角坐標(biāo)的形式，因此可以用三樣條插值法把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)：將太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)角φs分成若干等分，并找到內(nèi)齒圈瞬時(shí)極角φr對(duì)應(yīng)的相鄰的四個(gè)太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角，采用插值的方法，擬合可得到這四個(gè)太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的內(nèi)齒圈極徑的公式。

令產(chǎn)形齒輪的半徑為r2，則產(chǎn)形齒輪的中心在靜坐標(biāo)系o1x1y1中的坐標(biāo)為

(6)

其中r2是產(chǎn)形齒輪的節(jié)圓半徑。通過(guò)式(6)可把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成直角坐標(biāo)表示，把式(6)帶入式(5)便可得到Fs點(diǎn)的直角坐標(biāo)。Fs點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)于轉(zhuǎn)角t1的參數(shù)方程，當(dāng)t1由小變大時(shí)，將動(dòng)坐標(biāo)系o2x2my2m和靜坐標(biāo)系o1x1y1進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，嚙合點(diǎn)在內(nèi)齒圈的齒廓上，由齒頂運(yùn)動(dòng)到齒根部，即得到了內(nèi)齒圈的順時(shí)針齒廓，內(nèi)齒圈的逆時(shí)針齒廓及太陽(yáng)輪的齒廓是用類(lèi)似的方法得到的。圖4是已知太陽(yáng)輪的節(jié)曲線公式通過(guò)插值法得到的內(nèi)齒圈的齒廓，由于內(nèi)齒圈節(jié)曲線的曲率時(shí)刻變化，導(dǎo)致內(nèi)齒圈的各個(gè)齒廓的形狀也各不相同[7]。

圖4 由插值法得到的內(nèi)齒圈齒廓

2 6-8階橢圓行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 橢圓行星齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

找出各參數(shù)隨太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，能為齒輪動(dòng)力學(xué)研究提供方向。圖5～7分別繪制了太陽(yáng)輪的極徑、內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)角及內(nèi)齒圈的角速度隨太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律。

由圖5～7看出，太陽(yáng)輪的極徑隨著轉(zhuǎn)角時(shí)刻變化，導(dǎo)致太陽(yáng)輪與行星輪外嚙合的中心矩以及太陽(yáng)輪的當(dāng)量圓齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是時(shí)變的。由于非圓齒輪每個(gè)齒廓的形狀各不相同，導(dǎo)致嚙合角時(shí)刻變化；以太陽(yáng)輪為參考，內(nèi)齒圈的角速度是波動(dòng)的，導(dǎo)致太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角為φs時(shí)，行星輪的轉(zhuǎn)角不等于φs/(Ns+Nr)，而是在其上下波動(dòng) 。非圓行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性比圓柱行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性復(fù)雜，因此，需要對(duì)非圓行星齒輪的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，以減小非圓行星齒輪系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的振動(dòng)及噪聲。

圖5 太陽(yáng)輪的極徑與太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系

圖6 內(nèi)齒圈的轉(zhuǎn)角與太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系

圖7 內(nèi)齒圈的角速度與太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系

2.2 6-8階橢圓行星齒輪的動(dòng)力學(xué)模型及分析

6-8階橢圓齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)的因素除了包括輪齒動(dòng)態(tài)激勵(lì)，如：齒輪本身的結(jié)構(gòu)形式、幾何特性及誤差等，還包括動(dòng)態(tài)嚙合力等。因此原則上必須從整個(gè)行星齒輪系統(tǒng)出發(fā)，建立齒輪的振動(dòng)分析模型。本文假定齒輪傳動(dòng)軸、支撐軸承和馬達(dá)殼體的支撐剛度足夠大，可不考慮它們的彈性，并且輸出軸的剛度較小，可將行星齒輪系統(tǒng)與原動(dòng)機(jī)隔離，從而單獨(dú)建立齒輪系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型。圖8是基于以上條件建立的橢圓行星齒輪系統(tǒng)的力學(xué)模型。

圖8 橢圓行星齒輪系統(tǒng)的力學(xué)模型

由于橢圓行星齒輪內(nèi)、外嚙合的傳動(dòng)比是時(shí)刻變化的，在每一瞬時(shí)，都可以將橢圓太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈等效成各自瞬時(shí)半徑對(duì)應(yīng)的圓齒輪。那么在任意時(shí)刻橢圓齒輪的動(dòng)力學(xué)模型也可以由節(jié)圓半徑分別為rs、rr的圓柱太陽(yáng)輪和圓柱內(nèi)齒圈替代，然后利用逐段線性近似法[8]求出整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。首先，將每個(gè)回轉(zhuǎn)周期劃分成微小的時(shí)間段[9]，采用數(shù)值解法來(lái)分析微小時(shí)間段內(nèi)橢圓行星齒輪的振動(dòng)模型。

定義內(nèi)外嚙合線上的相對(duì)位移Xrdi及Xsdi為

(7)

則微小時(shí)間段內(nèi)非圓行星齒輪副嚙合傳動(dòng)的振動(dòng)方程為

(8)

為轉(zhuǎn)矩的等效力；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Rb為瞬時(shí)當(dāng)量齒輪半徑；Ms為太陽(yáng)輪的當(dāng)量質(zhì)量；Mpi為單個(gè)行星輪的當(dāng)量質(zhì)量。

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型可用矩陣表示為[11]

(9)

(10)

式中，Km為剛度的平均值；Kpic、Kpis分別為嚙合副時(shí)變嚙合剛度的余弦系數(shù)及正弦系數(shù)[12]。

嚙合時(shí)間

(11)

圖9 行星輪直徑與太陽(yáng)輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系

當(dāng)確定負(fù)載轉(zhuǎn)矩后，根據(jù)轉(zhuǎn)矩關(guān)系及與各個(gè)行星輪嚙合的太陽(yáng)輪的瞬時(shí)當(dāng)量半徑，就可以確定PL、PDi。以上分析將動(dòng)力學(xué)模型中隨集中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)角變化的參數(shù)(振動(dòng)產(chǎn)生的根本因素)：剛度K、阻尼C及轉(zhuǎn)矩等效力P確定了。

2.3 動(dòng)力學(xué)方程的求解

對(duì)于非線性方程組，可以利用龍格庫(kù)塔方法進(jìn)行求解，得到其數(shù)值解。以模數(shù)m=2的6-8階橢圓行星齒輪為算例，該齒輪系統(tǒng)的參數(shù)為：齒數(shù)Zs=78，Zpi=12，Zr=104，齒寬b=20 mm，壓力角?=20°，齒輪副側(cè)隙bps=bpr=30 μm，阻尼比系數(shù)ζ=0.04，太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)速ns=180 r/min，嚙合綜合誤差espi=erpi=2 um，輸出轉(zhuǎn)矩T=80 N·m，外嚙合平均剛度Kmsp=0.556 98 GN/m，內(nèi)嚙合平均剛度Kmrp=0.534 82 GN/m。

圖10是該橢圓齒輪系統(tǒng)的速度響應(yīng)，圖11是位移頻率譜。

圖10 速度響應(yīng)

由圖10及圖11看出，在以上給定的參數(shù)下，橢圓行星齒輪系統(tǒng)的位移響應(yīng)不像圓柱行星齒輪系統(tǒng)那樣，最大幅值并不在嚙合頻率及倍頻處，但內(nèi)外嚙合振動(dòng)的最大幅值出現(xiàn)在同一頻率處。

圖11 位移頻率譜

3 結(jié)論

(1)提出了一種新型的低速大扭矩馬達(dá)即6-8階橢圓齒輪馬達(dá)， 相比于現(xiàn)有文獻(xiàn)中研究的非圓齒輪馬達(dá)，該類(lèi)型馬達(dá)的排量大、效率高，同時(shí)由于結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)特性較差。

(2)橢圓行星齒輪馬達(dá)由液壓油推動(dòng)行星輪來(lái)輸入動(dòng)力，太陽(yáng)輪連接輸出軸輸出動(dòng)力。行星輪與太陽(yáng)輪的轉(zhuǎn)角關(guān)系及行星輪的嚙合相位差不同于普通圓柱行星齒輪，導(dǎo)致橢圓行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程與普通圓柱行星齒輪不同，文中給出的動(dòng)力學(xué)方程及求解方法適用于任何類(lèi)型橢圓行星齒輪系統(tǒng)，從而為橢圓行星齒輪馬達(dá)的振動(dòng)分析提供了理論依據(jù)。

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