淺析高中數(shù)學(xué)解題中分類思想的應(yīng)用

葉澤春??

摘要：分類思想作為探究并解決問題的一種常見的邏輯方法，同時也作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)解題過程中發(fā)揮了關(guān)鍵性的作用。分類可以看作是化整為零，再逐個擊破的過程。在數(shù)學(xué)解題中，分類可以化復(fù)雜為簡單，化難為易，在幫助學(xué)生解題時，進(jìn)行分類的思維過程中他們歸納、總結(jié)的能力也同時得到了鍛煉與提高。本文主要針對分類思想在高中數(shù)學(xué)解題過程中的具體應(yīng)用進(jìn)行分析、探討，希望能為高中生提供一些有價值的參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題；分類思想

一、 數(shù)學(xué)解題中分類思想的重要性

有些數(shù)學(xué)問題，其答案并不是確定而唯一的，當(dāng)我們進(jìn)行到某一個步驟時，

往往發(fā)現(xiàn)問題中其實(shí)含有幾種情況，此時并不能將幾種情況一概而論，而要捕捉到影響條件分支的重要因素，在一定的范圍里，根據(jù)題目的要求，將情況分類成不同條件再進(jìn)行討論，如此才能真正探究出問題的解決思路。

在面對數(shù)學(xué)題時，要保持清醒的分類意識，仔細(xì)閱讀題目，明確此時的情況是否需要分類，在確定分類后，要找出題干中的關(guān)鍵信息，根據(jù)給出的條件進(jìn)行正確的分類，堅守一個標(biāo)準(zhǔn)原則，不重復(fù)統(tǒng)計某一種情況，也不漏掉任何一種情況，分好類后，要順著這個類別的樹干往下延展出枝葉來，順著思路分類討論以后要對所有的情況進(jìn)行整理，歸納總結(jié)出最后的結(jié)果。

數(shù)學(xué)解題中，分類思想在不同類型的問題中都有其重要的應(yīng)用，例如函數(shù)、概率、數(shù)列、解析幾何等問題中往往都需要用到分類思想。高中生熟練運(yùn)用分類思想后，不僅可以在解數(shù)學(xué)題時游刃有余，對于自己思考問題的邏輯性，理清思路的條理性和整合答案的概括性都有非常大的幫助。

二、 分類思想在數(shù)學(xué)解題中的實(shí)際應(yīng)用

（一） 合理分類，逐層討論

在數(shù)學(xué)解題中，運(yùn)用分類思想時，一定要嚴(yán)格按照題目已知的數(shù)據(jù)，給出的條件明確討論的參數(shù)，然后再來科學(xué)地分類。分類討論時，一定要一層一層地分析，不要盲目跳層而出現(xiàn)不該有的失誤。

例題1已知函數(shù)y = x2-4x+3，x∈[-1，a]，求函數(shù)的最小值。

解析：這是二次函數(shù)求最值中比較常見的定軸動區(qū)間的值域問題。根據(jù)已有知識，解答時，學(xué)生會首先算出這個函數(shù)的對稱軸是直線x=2，但由于x處于動區(qū)間[-1，a]，所以我們要對對稱軸x=2是否在[-1，a]中分類進(jìn)行運(yùn)算。在運(yùn)算過程中，根據(jù)題目給出的條件，我們進(jìn)行如下分類討論：當(dāng)a≥2時，則函數(shù)在[-1，2]上呈單調(diào)遞減趨勢，在[2，a]上呈單調(diào)遞增趨勢，當(dāng)x=2時，y得到最小值-1，當(dāng)-1≤a≤2時，函數(shù)在[-1，a]上呈單調(diào)遞減趨勢，則當(dāng)x=a時，y取得區(qū)間[-1，a]內(nèi)的最小值a2-4a+3。

從例題1中的分類思想下的解題過程可以觀察出，分類要在一個標(biāo)準(zhǔn)的前提下，嚴(yán)格根據(jù)題目已知條件與給出的數(shù)據(jù)，一個層次接一個層次地來討論，不重復(fù)討論情況，也不漏掉每一種情況，全面地思考解答問題，避免失誤。

（二） 進(jìn)行正確的分類

高中數(shù)學(xué)題目中的分類思想往往要遵循著已有的公式和相關(guān)的定理，這些公式和定理通常會對分類的范圍做出限定，而學(xué)生解題的過程，絕不能脫離出限定范圍，否則就走入了誤區(qū)。所以在解答相關(guān)數(shù)學(xué)題時，一定要仔細(xì)審題，熟練地運(yùn)用相關(guān)的公式、定理，作出正確的分類。

例題2存在二次函數(shù)y=（m-2）x（n+1）+x2+1，試求m和n的取值范圍。

解析：解答這個問題時，一定要熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)定理，題目已經(jīng)明確指出這是一個二次函數(shù)，所以x的指數(shù)不可能超過2。所以（n+1）的取值就有3種可能：①n+1=2；②n+1=1；③n+1=0，n的取值范圍只能在這三種可能下進(jìn)行討論，m的取值范圍也是同理作出相應(yīng)的分類。因此，想要合理應(yīng)用分類思想，必須熟練地掌握牢記基本的數(shù)學(xué)定理及公式，才能根據(jù)條件做出正確的反應(yīng)，在解答問題上也不會誤入歧途。

（三） 明確題意，層層解答

隨著分類思想被不斷地加以重視，相應(yīng)的考題也變得越來越復(fù)雜，題目中往往會出現(xiàn)很多的未知數(shù)，容易使學(xué)生混淆，畏難而退。所以在面對相關(guān)問題時，不必一開始就感到緊張，仔細(xì)地觀察題目，正確理解題目意思后，再運(yùn)用所學(xué)的知識來一步步解答問題。

例題3設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax+a+3，g（x）=ax-2a。若存在x0∈R，使得f （x0）<0與g（x0）<0同時成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

解析：例題3由于參數(shù)較多，學(xué)生遇到這種問題時容易感到壓力而不知如何下筆作答。但我們仔細(xì)觀察題目會發(fā)現(xiàn)，這道題目融合了幾種數(shù)學(xué)知識，所以在解題過程中要明確地根據(jù)題目，一層一層地做出解答。根據(jù)題目信息，我們可以遵循二次函數(shù)的性質(zhì)，主要從a=0，a<0和a>0這三種情況進(jìn)行分類討論。

由f（x）=x2-ax+a+3可知f（0）= a+3，f（1）= 4，又存在x0∈R，使得f（x0）<0，知Δ=a2-4（a+3）>0即a<-2或a>6，另g（x）= ax-2a中恒過（2，0），故由函數(shù)的圖像知：①若a=0時，f（x）=x2-ax+a+3=x2+3恒大于0，

顯然不成立。②若a>0時，g（x0）<0，即x0<2，∵a>0，f（2）<0，

∴a>7。③若a<0時，g（x0）<0，即x0>2，此時函數(shù)f（x）=x2-ax+a+3圖像的對稱軸x=a/2<1，故函數(shù)在區(qū)間（a/2，+∞）上為增函數(shù)，又∵f（1）=4。

∴f（x0）<0不成立。故答案為：（7，+∞）。

（四） 具體情況，具體分析

雖然很多數(shù)學(xué)題目中都會用到分類思想，但有些題目是可以用更簡便的方法來解答的，所以不必要在看到含有未知參數(shù)的數(shù)學(xué)題目時就第一時間想到用分類思想。要根據(jù)題目的具體內(nèi)容，做出合理的預(yù)判，找到最省時省力的方法解答題目。各種數(shù)學(xué)思想，都要在合適的條件下，才能最大限度地體現(xiàn)其方便性，因此，在數(shù)學(xué)解題中，切忌盲目使用分類思想。

三、 合作鞏固分類思想的運(yùn)用

作為高中數(shù)學(xué)解題中重要的一環(huán)，分類思想的作用不可小覷。為加強(qiáng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用分類思想的能力，可以在教學(xué)過程中，讓學(xué)生以小組合作模式互幫互助，在團(tuán)體中交流自己的想法與經(jīng)驗(yàn)，集中對不同題型中分類思想的運(yùn)用進(jìn)行討論，對所學(xué)知識和概念加深印象并鞏固。教師也可以根據(jù)課程的推進(jìn)，整合學(xué)過的知識點(diǎn)，挑選一些稍有難度的經(jīng)典題目，分給每個小組進(jìn)行探究，讓學(xué)生們互相展示自己的成果，表達(dá)自己的觀點(diǎn)。通過小組成員之間的互相促進(jìn)，加強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，使他們印象里的分類思想，不僅停留在解題工具的層面上，而且增添一些趣味，使分類思想滲透在他們的學(xué)習(xí)和生活中。在這個鍛煉過程中，學(xué)生的思維也會逐漸變得靈活、敏捷。潛移默化的影響下，既可以讓他們的數(shù)學(xué)成績得到有效提升，思考問題的能力也會產(chǎn)生質(zhì)的改變。

四、 結(jié)語

分類思想對于高中生解答數(shù)學(xué)問題有著巨大的幫助，同時，分類思想的靈活運(yùn)用與否也對高中生的思維敏捷性與細(xì)致性作出了考驗(yàn)。高中生在平常的學(xué)習(xí)中，需要累積經(jīng)驗(yàn)，對運(yùn)用到分類思想的數(shù)學(xué)問題做出歸納與總結(jié)，再遇到類似問題時，便可以輕松應(yīng)對。對于相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在解答時，要善于觀察題干給出的關(guān)鍵性信息，作為解題線索，按照相應(yīng)的數(shù)學(xué)定理或公式進(jìn)行正確的分類，分類過程也要仔細(xì)，不重復(fù)不遺漏，按著對應(yīng)的層次一步一步作答，最后進(jìn)行整合與總結(jié)，做出正確的作答。

參考文獻(xiàn)：

[1] 樸希蘭，樸勇杰.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2015（02）.

[2] 危婷.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用探討[J].數(shù)理化解題研究，2017（05）.

[3] 吳秋霞，卓劍.高中數(shù)學(xué)函數(shù)分類討論思想解題探析[J].文理導(dǎo)航，2017（02）.

作者簡介：

葉澤春，福建省福安市，福建福安市高級中學(xué)。endprint