追問(wèn)初中學(xué)生對(duì)概念的類比

江勤娟

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精華部分，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟直接決定著其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力. 為此，在常態(tài)化的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透和引領(lǐng).

[關(guān)鍵詞] 類比；數(shù)學(xué)教學(xué)；追問(wèn)；概念教學(xué)

類比思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，是解決新問(wèn)題和學(xué)習(xí)新知識(shí)常用的策略，通過(guò)運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，將新的問(wèn)題與原有問(wèn)題進(jìn)行比較，找到它們的相似或相通之處，從而創(chuàng)造性地解決新問(wèn)題. 讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)類比的思想，學(xué)會(huì)用類比思想解決學(xué)習(xí)中的問(wèn)題，對(duì)提高教學(xué)效率有積極的作用. 下文筆者以“二次函數(shù)”第一課時(shí)的教學(xué)片段為例，就類比思想在教學(xué)中的滲透談?wù)勛约旱目捶?

獨(dú)學(xué)思考，提出問(wèn)題

新課程改革的最大呼吁就是將課堂還給學(xué)生，把學(xué)習(xí)的自主權(quán)還給學(xué)生. 因此，讓學(xué)生獨(dú)立思考，提出疑問(wèn)，可以有效地讓學(xué)生的注意力集中到課堂中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，啟發(fā)學(xué)生的思維、引領(lǐng)思維的方向.

完成方式：學(xué)生獨(dú)立快速閱讀課本相應(yīng)內(nèi)容，了解本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并列出本節(jié)課想獲取的知識(shí)或想解答的問(wèn)題，隨后全班展示問(wèn)題.

教師通過(guò)對(duì)學(xué)生所提的問(wèn)題進(jìn)行歸類、匯總，整理出具有代表性和討論價(jià)值的問(wèn)題，作為“智慧問(wèn)題”滲透于課堂中共同探討解決. 本節(jié)課學(xué)生提出的智慧問(wèn)題如下：

①二次函數(shù)學(xué)什么，難不難？

②什么樣的函數(shù)叫二次函數(shù)？

③y=（x+1）2-（x-1）2和y=是二次函數(shù)嗎？

④二次函數(shù)y=ax2+bx+c中為什么a≠0？b=0可以嗎？

⑤學(xué)習(xí)二次函數(shù)有什么用？

⑥二次函數(shù)的自變量x有范圍嗎？函數(shù)值y能等于0嗎？

⑦二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式中需要幾個(gè)條件才能求出a，b，c的值？

⑧做二次函數(shù)的題目有哪些技巧經(jīng)驗(yàn)？

二次函數(shù)是初中階段的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本節(jié)課是二次函數(shù)的起始課，正確有效地引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容產(chǎn)生興趣是章節(jié)起始課的教學(xué)目標(biāo)，也是二次函數(shù)第一課時(shí)的教學(xué)目標(biāo). 在此之前學(xué)生已學(xué)過(guò)一次函數(shù)，通過(guò)類比思想，能對(duì)二次函數(shù)有初步的認(rèn)識(shí). 通過(guò)質(zhì)疑提問(wèn)，一方面可以激發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的探索欲望，另一方面學(xué)生也因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的回顧而對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)充滿信心和親切感，提升學(xué)習(xí)的親和力.

類比舊知，引入新知

類比思想是初中生學(xué)習(xí)概念的主要依托和方法，通過(guò)類比舊知，學(xué)生可以重新認(rèn)識(shí)舊知，并在教師的指導(dǎo)下用類比的思想認(rèn)識(shí)新知，無(wú)形之中達(dá)成對(duì)新概念的理解與知識(shí)的建構(gòu). 二次函數(shù)的概念可以通過(guò)與一次函數(shù)概念的類比推導(dǎo)出來(lái)，因此讓學(xué)生先從解析式的聯(lián)系中感受二次函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別.

①已知摩托車的速度為60 km/h，則總路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為______.

②一只烏龜?shù)暨M(jìn)了5米深的井底后沿著井壁往上爬，已知它每分鐘爬0.5 m，則剩余的路程s（m）與烏龜爬行的時(shí)間x（min）之間的函數(shù)解析式為______.

③小明每天早上勻速跑步去學(xué)校，已知他家離學(xué)校3000 m，則他上學(xué)所用的時(shí)間t與速度v的函數(shù)關(guān)系式為______.

④圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系式為______.

⑤已知菱形的兩條對(duì)角線的和為24 cm，設(shè)其中一條對(duì)角線的長(zhǎng)為x cm，則菱形的面積S（cm2）與x（cm）之間的函數(shù)解析式為______.

⑥某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是20 t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量. 如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y為______.

完成方式：學(xué)生獨(dú)立完成，后全班交流展示.

學(xué)生得到了以下答案：①s=60t，②s=5-0.5x，③t=，④S=πr2，⑤S= -x2+12x，⑥y=20（1+x）2=20x2+40x+20.

問(wèn)題1：你能對(duì)上述六個(gè)解析式進(jìn)行分類嗎？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

問(wèn)題2：你能類比一次函數(shù)的概念對(duì)二次函數(shù)下定義嗎？

師生共同揭示定義：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)叫作二次函數(shù)，其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

問(wèn)題3：指出④⑤⑥中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).

問(wèn)題4：解決智慧問(wèn)題①②③，強(qiáng)調(diào)判定二次函數(shù)的方法.

二次函數(shù)的概念是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，讓學(xué)生通過(guò)觀察不同類型的函數(shù)解析式，類比一次函數(shù)的定義，自己對(duì)二次函數(shù)下定義，有比較地理解二次函數(shù)的概念，感知類比思想.

運(yùn)用新知，展示才智

新知的運(yùn)用是每節(jié)課的重要環(huán)節(jié)，一方面通過(guò)對(duì)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用，可以加深學(xué)生對(duì)概念的理解，使知識(shí)掌握更牢固；另一方面，因課堂是一個(gè)展示的平臺(tái)，通過(guò)問(wèn)題的解決可以為學(xué)生提供展示的機(jī)會(huì). 其實(shí)在展示的過(guò)程中，學(xué)生也會(huì)發(fā)現(xiàn)很多地方都有異曲同工之妙，即應(yīng)用之中也有類比思想.

問(wèn)題1：函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a，b，c為常數(shù)），當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，（1）它是二次函數(shù)？（2）它是一次函數(shù)？（3）它是正比例函數(shù)？

通過(guò)該問(wèn)題，讓學(xué)生厘清各項(xiàng)系數(shù)與函數(shù)類型的關(guān)系，掌握正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)之間的關(guān)系，從而對(duì)二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a≠0加深印象.

問(wèn)題2：若函數(shù)y=（m2-1）xm2-m為二次函數(shù)，求m的值.

題后反思：你覺得這個(gè)問(wèn)題中容易出錯(cuò)的地方在哪里？（易忽視m2-1≠0）

你能總結(jié)這類問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)嗎？（①討論次數(shù)，②討論二次項(xiàng)系數(shù)）

該問(wèn)題是考查二次函數(shù)概念的常見題，學(xué)生往往只考慮到了次數(shù)，容易忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0這種情況，所以作為例題共同討論、并總結(jié)做題思路與解題經(jīng)驗(yàn)，可以在一定程度上讓學(xué)生避免類似錯(cuò)誤再次發(fā)生，培養(yǎng)他們考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.

再解決智慧問(wèn)題④，理解二次函數(shù)的實(shí)質(zhì).

內(nèi)化知識(shí)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生是知識(shí)的接收者，教學(xué)的目的是為了讓學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容內(nèi)化為自己的知識(shí)，建構(gòu)自己的知識(shí)體系，總結(jié)規(guī)律、形成方法. 總結(jié)經(jīng)驗(yàn)是促進(jìn)知識(shí)內(nèi)化的有效途徑與方法.

解決智慧問(wèn)題⑤，學(xué)習(xí)是為了服務(wù)于生活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了更好地服務(wù)生活，用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題即是函數(shù)的“用處”.

例1 如圖1，一張正方形紙板的邊長(zhǎng)為2 cm，將它剪去4個(gè)全等的直角三角形，設(shè)AE=BF=CG=DH=x（cm），四邊形EFGH的面積為y（cm2），求：（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍. （2）當(dāng)x分別為0.25，0.5，1，1.5，1.75時(shí)，對(duì)應(yīng)的四邊形EFGH的面積，并列表表示.

在問(wèn)題（1）中，易證四邊形EFGH為正方形，學(xué)生們發(fā)揮才智，共想出了4種解答方法. 方法1是先表示出邊長(zhǎng)，再平方求面積；方法2是用面積的和差，將四邊形EFGH的面積轉(zhuǎn)化為正方形ABCD的面積與四個(gè)三角形面積之差；方法3是連接HF，將正方形ABCD分割為兩個(gè)梯形，再用面積和差算出△HGF的面積，兩倍即為四邊形EFGH的面積；方法4是過(guò)H，G分別作與正方形ABCD的邊平行的線段，將圖形分割來(lái)求. 這四種方法雖然繁簡(jiǎn)不一，但都體現(xiàn)了學(xué)生們積極思考、樂(lè)于動(dòng)腦的精神，教師要對(duì)此進(jìn)行肯定，有利于學(xué)生們發(fā)散思維的訓(xùn)練. 以該問(wèn)題為例，解決智慧問(wèn)題⑥，讓學(xué)生知道函數(shù)自變量的取值范圍與實(shí)際問(wèn)題的關(guān)系.

問(wèn)題（2）的表格如下：

從表格中引導(dǎo)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的對(duì)稱性、增減性、最值，為下一節(jié)課的內(nèi)容做好準(zhǔn)備.

例2 已知二次函數(shù)y=x2+px+q，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值為4；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值為5，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

師：如果將解析式變成y=ax2+px+q，其余條件不變，你還能求出它的解析式嗎？

生：不能.

師（追問(wèn)）：那需要增加怎樣的條件才可以求出呢？

生：再增加一個(gè)點(diǎn).

變式：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)x=1時(shí)，y=2；當(dāng)x=-2時(shí)，y=-7；當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

題后反思：解決智慧問(wèn)題⑦，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法.

師：類比一次函數(shù)解析式的求法，你能總結(jié)二次函數(shù)解析式的求法嗎？

生：待定系數(shù)法，解析式中有幾個(gè)未知字母就需要幾個(gè)點(diǎn).

這兩個(gè)問(wèn)題是用待定系數(shù)法求解析式的基本問(wèn)題，由例2到變式的過(guò)渡是為了讓學(xué)生感悟“求幾個(gè)未知數(shù)就需要幾個(gè)方程”的思想在這里的遷移，從而更清楚地知道求解析式需要的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解決智慧問(wèn)題⑧，師生共同總結(jié)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容及實(shí)際問(wèn)題的答題技巧.

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)代數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，第一課的概念教學(xué)對(duì)整章的教學(xué)有著奠基作用. 函數(shù)本身就是較抽象的內(nèi)容，學(xué)生不易理解，類比一次函數(shù)，可以讓學(xué)生有參照，找到熟悉感，從而對(duì)學(xué)好本章內(nèi)容樹立信心. 在教學(xué)中，教師的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)是學(xué)生對(duì)二次函數(shù)與一次函數(shù)之間關(guān)系的理解及類比思想的掌握與應(yīng)用.

類比思想是初中階段的重要思想，籠統(tǒng)地來(lái)說(shuō)，解決一切新的問(wèn)題都是在已知問(wèn)題和已知方法的前提和基礎(chǔ)上進(jìn)行的. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透類比思想，尤其是概念的類比，不僅可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移，而且在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)方法的類比也可以讓學(xué)生感知解決問(wèn)題的基本思路，提高學(xué)習(xí)效率.