淺析三角函數(shù)公式的運用

福建省三明市第九中學(xué) 周 赟

縱覽全國近五年的試卷，可以發(fā)現(xiàn)解答題對數(shù)列和三角函數(shù)這兩塊主干知識的考查是交替出現(xiàn)的.全國卷除側(cè)重于解三角形，一般都考查基礎(chǔ)知識和基本技能，難度屬中、低檔，解答題題序相對穩(wěn)定，那么我就三角函數(shù)的幾個考查熱點進(jìn)行簡單的分析.

縱觀2011年～2015年全國新課標(biāo)（Ⅰ）卷，高考試題對三角函數(shù)部分的考查，本文就選取以下三個熱點進(jìn)行簡單的分析：

（1）任意角的三角函數(shù)；

（2）應(yīng)用同角變換、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式；求值和等式證明問題；

（3）三角函數(shù)概念的理解.

1.三角函數(shù)內(nèi)容最大的特點就是公式多，變換的形式和方法多，如何找準(zhǔn)方向，靈活運用三角函數(shù)公式，使學(xué)生學(xué)會公式的“正用、逆用、變用、巧用”是解題的關(guān)鍵.

例1．設(shè)α為銳角，若則的值為_____．

解：∵α為銳角，即，

2.存在問題：這道填空題必須注意三角函數(shù)的化簡、求值，觀察已知與未知之間的差異，聯(lián)想公式的內(nèi)在聯(lián)系，通過拆、配等方法分析和解決問題.但在實際教學(xué)中，本題角的關(guān)系相對隱蔽，想要發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)部共同特征是不容易的，如果發(fā)現(xiàn)不了這個公式的本質(zhì)聯(lián)系就不能有效地實現(xiàn)配角、湊角.

教學(xué)實錄：對例1.學(xué)生主要出現(xiàn)三種思路：

經(jīng)過換元，變逆向問題為正向問題，解題的方法一目了然，不用配湊，直接運用公式進(jìn)行計算的步驟，我們都知道其實算法的核心思想就是可以找到解決問題的通解通法.在我們的日常教學(xué)中，解決問題的方法要爭取到算法這個層次，形成通法通性.我們觀察到課本中經(jīng)常出現(xiàn)的有關(guān)湊角，配角，整體代換的運用，那么我們到了復(fù)習(xí)課上仍然有很大一部分同學(xué)使用思路1在解題，那么問題就來了，我們的學(xué)生為什么就想不到整體換角這個思路呢？我想這里最為客觀的一個原因是我們在教學(xué)中沒有足夠重視課本的教學(xué)，從而忽視對課本的深度開發(fā)與發(fā)掘.

又如例2《.必修4》習(xí)題3.1A組第4題：

例 2. 已知α，β都是銳角，

實際上上面2個例子在本質(zhì)上是同一類型的題目，一樣可以將α+β看作一個整體，引入一個記號γ來表征，即設(shè)α+β=γ，則α=γ-β這樣，例 2就可以改寫為：已知為銳角，求 cos（γ-α）的值.

例題1是讓學(xué)生直接運用公式解題，而例題2是想通過角的“整體”代入后再運用公式解決問題，后面的問題是前面問題的自然拓展.有了初步的認(rèn)知我們就可以更進(jìn)一步去引導(dǎo)學(xué)生使用角的整體代換這一方法，從而去發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).

那么接下來我們繼續(xù)深入的挖掘課本資源，課本中在用向量數(shù)量積的方法推導(dǎo)出兩角差的余弦公式 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，用 -β代換β，得到 cos（α+β）=cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）=cosαcosβ-sinαsinβ，推導(dǎo)出兩角和的余弦公式co（sα+β）=cosαcosβ-sinαsinβ.運用單位圓的三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式代換α，得即同樣也推導(dǎo)出兩角和的正弦公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ.

上面用-β代換代換α，都體現(xiàn)了變量代換的數(shù)學(xué)思想方法，故在教學(xué)中我們要一步一步的去引導(dǎo)學(xué)生用變量的思想來解公式中的角——公式中的角某某其實就是一個數(shù)，一個式子而已.考試大綱中要求學(xué)生學(xué)會推導(dǎo)和差化積的這個公式.

有以上的這些認(rèn)識，大家就尋找到角代換方法的著陸點.

3.教學(xué)反思：對數(shù)學(xué)公式的教學(xué)要多比較各種方法的優(yōu)劣，抓住問題的本質(zhì)，加深學(xué)生印象.并及時總結(jié)出常見角的變換方法有等等.可以在課堂上讓學(xué)生熟悉一些常見的恒等變形代換，如“1”的 代 換 ，1=cos2θ+sin2θ=tanθ·cotθ=tan45°，又如分拆項：2sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）+sin2x=1+sin2x，引入輔助角把不同名函數(shù)化同名函數(shù)等，有利于培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生的計算能力及逆向思維能力，克服逆用公式這一困難，靈活運用公式.

開拓學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法是問題的關(guān)鍵.在平時的教學(xué)中，教師要注意教學(xué)思維訓(xùn)練，克服單向性、定向性.通過訓(xùn)練讓學(xué)生親自體驗如何利用角之間的倍、半、和、差等關(guān)系進(jìn)行變角，如何將條件角轉(zhuǎn)化為目標(biāo)角，將目標(biāo)角用條件角表達(dá)，如何進(jìn)行降冪與升冪、切化弦、常值代換等.而且把這些訓(xùn)練滲透到平時的教學(xué)中，并注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行及時總結(jié)歸納，提高學(xué)生對問題分析及對知識的靈活應(yīng)用的能力.

1.三角函數(shù)的坐標(biāo)定義是研究三角函數(shù)的基礎(chǔ)，如三角函數(shù)的符號，同角三角函數(shù)公式的推導(dǎo)，三角函數(shù)的圖像都是與定義或其幾何意義緊密聯(lián)系.

例 3.在平面直角坐標(biāo)系中，O（0，0），P（6，8），將向量按逆時針旋轉(zhuǎn)

后，得向量—O→Q則點Q的坐標(biāo)是（ ）

本題體現(xiàn)三角函數(shù)與向量的內(nèi)在聯(lián)系.入口寬，方法多，活而不難，注重通性通法，淡化特殊技巧，突出了對學(xué)生靈活運用知識能力的考查，將向量的旋轉(zhuǎn)與三角函數(shù)定義結(jié)合. 可設(shè)則

2.存在問題：學(xué)生對如何利用單位圓“活化”三角函數(shù)的有關(guān)知識，感到困惑.在教學(xué)中重視利用三角函數(shù)線直觀展示其定義域、值域、單調(diào)性、周期性、最值、對稱性等，進(jìn)一步指出兩角和與差的三角函數(shù)公式是“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”的解析表述.讓學(xué)生理解三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)即是單位圓的性質(zhì)的體現(xiàn).課堂教學(xué)中以“已知，求證：sinα＜α＜tanα”為例加強訓(xùn)練.

3.教學(xué)反思：三角公式的確多，在平時的教學(xué)中除了引導(dǎo)學(xué)生記憶、運用公式外，應(yīng)重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué).引入“單位圓定義法”是新教材內(nèi)容，可以幫助學(xué)生直觀而具體認(rèn)識任意角三角函數(shù)概念，也能使我們方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、最值、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性，應(yīng)注重概念的生成發(fā)展過程，理解三角函數(shù)最本質(zhì)的問題，注意引導(dǎo)學(xué)生突破定義，真正會運用定義解題.

[1]劉紹學(xué)等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書——數(shù)學(xué)（必修4）.人民教育出版社.

[2]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）.中華人民共和國教育部.人民教育出版社.