函數(shù)型數(shù)據(jù)下條件分位數(shù)的經(jīng)驗似然推斷

熊賢祝, 周培欽

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 福建 福州 350116)

0 引言

函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的基本思想, 是把觀測到的數(shù)據(jù)看成一個整體也就是將數(shù)據(jù)看作無窮維函數(shù)空間中的元素來進行處理和分析. 隨著測量技術(shù)的發(fā)展, 在諸如醫(yī)學(xué)診斷、氣象預(yù)報、心理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)以及生命科學(xué)等領(lǐng)域中都出現(xiàn)了函數(shù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計問題, 函數(shù)型數(shù)據(jù)的分析方法在科學(xué)研究中顯得越來越重要. 關(guān)于函數(shù)型數(shù)據(jù)的分析方法和最新進展可參考文獻[1-3], 本研究主要考慮條件分位數(shù). 眾所周知, 對于重尾的誤差分布以及異常值而言, 條件分位數(shù)是穩(wěn)健的. 當數(shù)據(jù)是有限維時, 條件分位數(shù)的統(tǒng)計問題已經(jīng)被很多文獻所研究, 而在函數(shù)型數(shù)據(jù)下卻較少研究. Ferraty 等[4]考慮了條件分布函數(shù)的NW估計, 建立了估計的完全收斂性并將結(jié)果應(yīng)用到條件分位數(shù).在獨立和相依函數(shù)型數(shù)據(jù)下, 文獻[5-6]均得到了條件分位數(shù)的核估計的漸近正態(tài)性并構(gòu)造了正態(tài)逼近的置信區(qū)間.

就構(gòu)造置信區(qū)間而言, 經(jīng)驗似然方法得到了很多的應(yīng)用, 該方法由文獻[7-8]提出, 與正態(tài)逼近方法相比有許多的優(yōu)點(見文獻[9]). 比如, 由數(shù)據(jù)來決定置信區(qū)間的形狀, 而用正態(tài)逼近方法時, 其置信區(qū)間是對稱的, 需要特別指出的是, 該方法不用估計漸近方差. 所以經(jīng)驗似然方法被廣泛地用來構(gòu)造各種未知參數(shù)的置信區(qū)間(見文獻[10]). 在有限維數(shù)據(jù)下, 秦永松等[11]在有附加信息及沒有附加信息時應(yīng)用經(jīng)驗似然方法分別研究了條件分位數(shù)置信區(qū)間的構(gòu)造, 隨后Liang[12]把文獻[11]的結(jié)果延伸到左截斷模型.

本研究將文獻[11]的結(jié)果延伸到函數(shù)型數(shù)據(jù)情形即在函數(shù)型數(shù)據(jù)下應(yīng)用經(jīng)驗似然方法來考慮條件分位數(shù)的置信區(qū)間. 在適當?shù)臈l件下得到了經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量漸近服從χ2(1).

1 方法和主要結(jié)果

?y∈,

對固定的p∈(0, 1), 給定X1=x條件下Y1的p分位數(shù)θp(x)為

如果F(y|x)關(guān)于y連續(xù), 那么F(θp(x)|x)=p.

在后面的條件A1)、A2)和A3)下, 由文獻[5]的引理2可知

由此可設(shè)經(jīng)驗似然的得分函數(shù)

經(jīng)驗似然比定義為

經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量為

其中:λ(θp(x))滿足

A1) 存在三個函數(shù)g(·)、φ(·)(設(shè)單調(diào)不降, 且φ(hn)→0)和ζ0(·)使得

Ⅰ)Fx(hn)=g(x)φ(hn)+o(φ(hn)), 其中g(shù)(x)>0.

A2) 核函數(shù)K是一密度函數(shù), 其緊支撐為[0, 1]且在[0, 1)上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù). 其中，K(0)>0,K(1)>0, 且對?t∈[0, 1],K′(t)存在且K′(t)<0.

A3) Ⅰ) 存在兩個正數(shù)β和ν使得, ?(y1,y2)∈2, ?(x1,x2)∈U(x)×U(x), 有其中U(x)是x的某個領(lǐng)域,Cx是與x有關(guān)的一個正常數(shù).

Ⅱ) ?t∈,H′(t)存在且有界,∞.

注1這里的條件A1)～A4)與文[5]中的A1)～A4)完全一樣. 條件A1)中 I)反映了函數(shù)型隨機變量Xi分布的集中程度, 在函數(shù)型數(shù)據(jù)下的非參數(shù)回歸分析中起著重要的作用. 另外, 文獻[13]列舉了一些滿足條件A1)的例子. 條件A2)和A4)是關(guān)于核函數(shù)和窗寬的條件, 在函數(shù)型數(shù)據(jù)下的非參數(shù)回歸分析是常見的.文獻[4]用到了條件A3)的 I), 另外由常見的核函數(shù)所得到的分布函數(shù)會滿足條件A3)的II).

主要結(jié)果如下.

定理1如果條件A1)～A4)成立. 那么

注2設(shè)zα滿足P(χ2(1)≤zα)=1-α, 0<α<1. 由式子(9)可知θp(x)的名義置信水平為1-α的漸近經(jīng)驗似然置信區(qū)間：

2 定理的證明

首先引進一些引理.

引理11) 設(shè)條件A1)～A4)成立. 則對?y∈, 有

其中

及

2) 設(shè)條件A1)～A4)成立. 則

注3式(11)成立可由文獻[5]中定理1推得, 而式(12)成立則由文獻[5]中的引理2和引理3推得.

引理2設(shè)條件A1)～A4)成立. 則

證明 1) 由式子(11)和F(θp(x)|x)=p可推得

由式子 (12)、(16)和Slutsky定理可得

即式子(13)成立.

2) 分解式子(14)的左邊項

設(shè)對?u∈,Q(u)=, 其中則(u)du=1. 因此函數(shù)Q(·)也是核函數(shù), 且Q滿足核函數(shù)K的條件A2), 所以由引理2可得:

即

同理由引理1中1)可得

其中

又H2也是分布函數(shù)且滿足分布函數(shù)H的條件A3)中的Ⅱ), 所以由引理1可得

由式子(19)～(20)可得

也就是

由條件A4)中I)可推出nφ(hn)→∞, 所以,

再由式子 (17)～(22)可得

最后由式子(17)、(23)可推得式子(14)成立.

3) 對?ε>0,

類似于文獻[5]中引理1的證明可得

1) 先證

那么

由式子(13)可得

由式子 (14)～(15)以及式子(27)～(28)可得

2) 證明

由式子 (8)可得

設(shè)Ui=λ(θp(x))ωni(θp(x)), 1≤i≤n. 由式子(15)和(26)可得

由式子 (14)、(15)、(26)和(31)可推出式子(30)右邊第三項的上界為

因此, 由式子(14)、(30)和(32)可推得式子(29)成立.

3) 由式子(31)可得

這里ηi滿足: 存在C>0使得

由式子 (14)、(15)和(26)可得

注意到Ui=λ(θp(x))ωni(θp(x)), 1≤i≤n, 由式子(7)、 (26)、 (28)、 (29)以及式子(33)～(35)有

最后, 由式子 (13)、(14)和(36)推得定理1.

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