在歷史的遺跡中尋找圓形面積公式推導(dǎo)的新方法

夏正倩

摘 要：圓形面積推導(dǎo)問(wèn)題，自它誕生以來(lái)，就吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家為之折腰，無(wú)數(shù)先賢智者為了求出圓形面積可謂煞費(fèi)苦心。時(shí)至今日，電子計(jì)算技術(shù)空前發(fā)達(dá)，但是所遵循的仍是“化曲為直”“極限逼近”的古法，因此，教學(xué)中回溯歷史，在歷史足跡里創(chuàng)新教法，是教會(huì)圓形面積推導(dǎo)的不二法門(mén)。

關(guān)鍵詞：圓形；面積；公式；求法；極限；歷史

聽(tīng)完一節(jié)“圓的面積”實(shí)習(xí)課，雖然過(guò)程流暢，但卻感覺(jué)有點(diǎn)生澀和扭捏；教學(xué)程序嚴(yán)絲合縫，卻又覺(jué)得有些欠火候。細(xì)究之下才發(fā)現(xiàn)，老師一個(gè)勁地問(wèn)，學(xué)生只有被動(dòng)裝填，雖然老師的功夫無(wú)可挑剔，但這種填鴨式的滿(mǎn)堂灌，終究是事倍功半，低效運(yùn)作。下面我們——來(lái)剖析。

一、在驗(yàn)證中轉(zhuǎn)化，變形推公式

片段一：呈現(xiàn)課題，初次估算（將圓片置于方格內(nèi)，如圖 1）

師：怎樣數(shù)清圓形占據(jù)方格的數(shù)目？

生：整格數(shù)好辦，不足1格可算作半格。

師：趨近于1格時(shí)，怎么計(jì)算？

生：算作1格。

師：圓面覆蓋范圍內(nèi)都要數(shù)嗎？

生：嗯。

師：有較為便捷的方法嗎？

生1：數(shù)出1/4的扇形即可。

生2：只要數(shù)出1/4處正方形的邊角空格，就可求出圓面的1/4。

片段二：進(jìn)一步驗(yàn)證

教師先提出過(guò)渡：圓的面積約為其半徑平方數(shù)的3倍多，確切數(shù)字難以求證，我們計(jì)算時(shí)根據(jù)需要來(lái)保留有效數(shù)字。然后讓學(xué)生回顧平行四邊形、三角形、梯形的面積公式是如何推導(dǎo)出來(lái)的。接著，提示學(xué)生用割補(bǔ)法推算圓形面積，并讓學(xué)生商議怎么剪接、怎么拼裝，學(xué)生提出沿著半徑或者直徑裁剪兩種方案，教師提出剪成4等份的假設(shè)，讓學(xué)生進(jìn)行拼接，然后課件演示裁切成8、16等份的情況，讓學(xué)生小組合作探究，拼裝成平行四邊形。在組裝時(shí)，啟示學(xué)生明白份數(shù)越多越接近矩形，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察分析矩形長(zhǎng)與寬與圓形的哪些因素有關(guān)，變形后圓的面積是否發(fā)生改變，并最終推導(dǎo)出圓形的面積公式。

二、在教師手中分權(quán)，學(xué)生質(zhì)疑

啟發(fā)式教學(xué)，最早的說(shuō)法是孔夫子的“不憤不啟，不悱不發(fā)”。網(wǎng)絡(luò)詞典釋義為：開(kāi)導(dǎo)指點(diǎn)或闡明道理，引起對(duì)方聯(lián)想并有所領(lǐng)悟。啟發(fā)式教學(xué)的落腳點(diǎn)就應(yīng)該在點(diǎn)撥學(xué)生質(zhì)疑反思。反觀上述教學(xué)，你問(wèn)我答，一唱一和，順暢自然，然而學(xué)生都是被老師暗示操縱，沒(méi)有“起疑”，沒(méi)有“反思”，自然不會(huì)有“領(lǐng)悟”，完全看不到啟發(fā)在哪里，教學(xué)沒(méi)有高低起伏，沒(méi)有輕重緩急，沒(méi)有高潮迭起和回落。隨著新理念的實(shí)施，滿(mǎn)堂灌退出歷史舞臺(tái)，啟發(fā)式教學(xué)成為主流。但是依然是穿新鞋走老路，滿(mǎn)堂灌被改裝成滿(mǎn)堂問(wèn)重新“上市”，而滿(mǎn)堂問(wèn)并沒(méi)有啟發(fā)的營(yíng)養(yǎng)成分。

啟發(fā)需要靜待時(shí)機(jī)。推理圓形面積公式前，許多教師喜歡以曹沖稱(chēng)象的典故楔入轉(zhuǎn)化思想。為學(xué)生提供化整為零的思路。然而，這是需要時(shí)間的，不能急于求成。無(wú)論怎樣的思路都會(huì)有閃光點(diǎn)，教師要善于發(fā)掘?qū)W生提議的亮點(diǎn)。如有的學(xué)生提出，可以用砂石平鋪一個(gè)圓，然后平鋪一個(gè)邊長(zhǎng)等于直徑的矩形，均鋪一樣的厚度，面積之比就是砂石質(zhì)量之比。可惜，老師很快無(wú)情地打擊了這種想法。然而，回溯人類(lèi)推求面積公式之路就會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一段趣聞：有一天，卡瓦利里看到自己的衣服，靈光一閃：布就是幾何平面，將面積像布匹一樣拆散成線(xiàn)條……

借助卡瓦利里故事的啟示，教師提議將砂石換成布匹，回溯歷史，學(xué)生受到歷史人物的激勵(lì)，更容易產(chǎn)生猜想。充分利用圓的外切四邊形和內(nèi)接四邊形，滲透“化圓為方”的思想。

啟發(fā)要有主旨：從曹沖稱(chēng)象到數(shù)方格。有人提出異議，講完曹沖稱(chēng)象的故事，有時(shí)等來(lái)的是一場(chǎng)空，有時(shí)等來(lái)的是亂彈琴。如果聽(tīng)完故事毫無(wú)啟迪，說(shuō)明故事未能引起學(xué)生注意。過(guò)于熟悉的故事反而沒(méi)有新鮮感。如果學(xué)生的心得體會(huì)跑偏，我們就要重新反思故事的啟點(diǎn)在哪里？一定要讓啟點(diǎn)突出生動(dòng)，刺激學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想和類(lèi)推。反觀教學(xué)，故事與數(shù)方格脫軌，與后面的驗(yàn)證猜想、推導(dǎo)公式需要的數(shù)學(xué)思想仍有偏差。因此這個(gè)故事本身就有問(wèn)題。

三、在古法中徜徉，創(chuàng)新極限求法

師：請(qǐng)大家根據(jù)自己摸索的方法，打開(kāi)課本，粗略計(jì)算書(shū)中每個(gè)圖形的面積。

找出規(guī)律，初步推測(cè)圓的面積與半徑的數(shù)量關(guān)系。這一步很精妙，但是尚欠火候，可以進(jìn)一步向縱深推進(jìn)?？梢詫⒎礁窭^續(xù)細(xì)化，邊長(zhǎng)由1cm細(xì)化至1mm，可以擴(kuò)展一列數(shù)據(jù)，將圓周率推至兩位小數(shù)3.14；再逐步細(xì)分，利用計(jì)算器，一步步趨近于圓周率的真實(shí)值……在由粗略估算到精確推進(jìn)的過(guò)程中，學(xué)生能更真切地感知圓面積與半徑平方的關(guān)系和圓周率有關(guān)。

回溯圓形面積的發(fā)展史：

在古希臘，求圓面積就是世紀(jì)難題之一。公元前500年，哲學(xué)家阿拉克薩克為之癡迷，將金錢(qián)視如糞土。辯士兼詩(shī)人安提豐第一次提出用內(nèi)接正多邊形逼近圓周率，但是無(wú)法形成成文的公式。阿基米德、卡瓦利里、開(kāi)普勒以及中國(guó)的劉徽在前人理論的基礎(chǔ)上繼續(xù)發(fā)展，將多邊形的邊數(shù)從有限擴(kuò)展至無(wú)限，而且大膽設(shè)想，沖破藩籬，提出“以直代曲”的偉大構(gòu)想。

歷史是一面鏡子，它告誡我們：以直代曲、極限的數(shù)學(xué)思想才是啟發(fā)學(xué)生思考?xì)w納圓形面積公式的關(guān)鍵點(diǎn)。面對(duì)小學(xué)生，不能明確提出以直代曲和極限這樣晦澀難懂的概念，但卻可以潛移默化地滲透這種思想，并不知不覺(jué)運(yùn)用這種思想指導(dǎo)教學(xué)。進(jìn)一步地，數(shù)方格可以令學(xué)生初步體驗(yàn)有限向無(wú)限過(guò)渡的操作。

帶著細(xì)化至無(wú)限多的思想數(shù)方格，就不止于“清數(shù)”，而是啟發(fā)學(xué)生分得越細(xì)越接近真相。接著，按次序連接交點(diǎn)，學(xué)生感悟到：方格越細(xì)密，精確度越高，多邊形面積越接近圓形面積。學(xué)生自然會(huì)質(zhì)疑，無(wú)限的盡頭是極限，極限在哪里？

概念的形成是個(gè)循序漸進(jìn)緩慢爬坡的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，具有很大變數(shù)，啟發(fā)的航向極為重要。我們要放眼未來(lái)，不能硬性強(qiáng)推公式。不能直言以直代曲和極限等字眼，要巧妙傳承以直代曲、極限思想等寶貴的精神遺產(chǎn)。