基于學(xué)習(xí)起點，建構(gòu)整數(shù)的“運算律”教學(xué)

霍艷

摘 要：“運算律”是運算的固有性質(zhì)，貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。作為具有奠基性質(zhì)的小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)運算律教學(xué)，必須從運算律生長的“根”上來加以理性分析，把握運算律教學(xué)的邏輯和現(xiàn)實起點。對于運算律的運用，教師不能僅僅局限于引領(lǐng)學(xué)生進行技術(shù)性運用，而更應(yīng)通過運算律的學(xué)習(xí)歷程來感受、體驗運算律的策略性、方法性和思想性運用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；運算律；學(xué)習(xí)起點；運用策略

“運算律”是貫穿學(xué)生整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的運算法則，運算律是運算固有的性質(zhì)。在小學(xué)階段，從自然數(shù)到小數(shù)、分數(shù)，運算律體現(xiàn)為一種“通則通法”。即便以后進入數(shù)學(xué)中的有理數(shù)學(xué)習(xí)、實數(shù)學(xué)習(xí)乃至于復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)，運算律依然有效。從這個意義上說，小學(xué)階段，整數(shù)運算律學(xué)習(xí)帶有筑基性質(zhì)。但是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中卻經(jīng)常出現(xiàn)這樣的“吊詭”現(xiàn)象：即教師在整數(shù)計算的教學(xué)中教學(xué)運算律，在小數(shù)計算的教學(xué)中教學(xué)運算律，在分數(shù)計算的教學(xué)中依然教學(xué)運算律，但學(xué)生在運用時常常捉襟見肘、張冠李戴、力不從心。這不能不引起我們的教學(xué)反思：即整數(shù)四則運算的運算律到底應(yīng)該怎樣教？筆者認為，只有回溯運算律教學(xué)基礎(chǔ)，從本源上來闡明道理，從運算律生長的“根”上來加以理性分析，才能廓清對運算律的教學(xué)認識，才能讓學(xué)生在運算律運用中形成一種理性自覺，從而在運用時能夠左右逢源、游刃有余、得心應(yīng)手。

一、回溯：學(xué)生“運算律”學(xué)習(xí)起點的分析

小學(xué)階段的運算律主要包括“加法交換律”“加法結(jié)合律”“乘法交換律”“乘法結(jié)合律”“乘法分配律”“減法性質(zhì)”和“除法性質(zhì)”等。這些運算律從一年級數(shù)學(xué)教學(xué)開始，就已經(jīng)滲透，只不過到了系統(tǒng)學(xué)習(xí)四則運算時，運算律就作為一個單元獨立起來，成為系統(tǒng)研究對象。無論是人教版教材，還是蘇教版、北師大版等教材都是如此。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，“整數(shù)運算律”安排在四年級下冊第六單元。教師在教學(xué)這一單元時，要對前面的內(nèi)容進行分析，不僅把握運算律知識生長的邏輯起點，更要把握學(xué)生學(xué)習(xí)運算律的現(xiàn)實起點。

1. “運算律”教學(xué)的經(jīng)驗起點。

學(xué)生在學(xué)習(xí)運算律之前，已經(jīng)在生活中積淀了廣泛的活動經(jīng)驗。這些經(jīng)驗潛隱在學(xué)生思維之中，悄然發(fā)揮作用。因此，從某種意義上說，運算律教學(xué)就是要將學(xué)生心靈深處運算律緘默性經(jīng)驗知識、生活知識喚醒、激活，使學(xué)生在計算時能自覺調(diào)用運算律經(jīng)驗，從而讓運算律運用回歸理性自覺。以“加法交換律”為例，加法交換律的本質(zhì)是什么呢？根據(jù)“自然數(shù)序數(shù)理論”，加法可做如下定義：先數(shù)出a個數(shù)，再數(shù)出b個數(shù)，與先數(shù)出b個數(shù)，再數(shù)出a個數(shù)，結(jié)果是一樣的，即a+b=b+a；從集合理論看，把集合A和集合B合并，無論是把集合B的元素添加到集合A中去，還是把集合A的元素添加到集合B里去，結(jié)果總是一樣的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，只要學(xué)生擁有數(shù)數(shù)經(jīng)驗、合并經(jīng)驗，就不難理解“加法交換律”。同時也可以看出，學(xué)生從一年級開始就已經(jīng)不斷地積累了加法交換律的活動經(jīng)驗。小朋友們排隊做早操，先數(shù)左邊隊伍里的學(xué)生，再數(shù)右邊隊伍里的學(xué)生，與先數(shù)隊伍右邊里的學(xué)生，再數(shù)隊伍左邊里的學(xué)生是一樣的。這些學(xué)生生活經(jīng)驗中的“加法交換律”的雛形是具體的、生動的、情景化的。一年級“加法認識”單元教學(xué)開始，學(xué)生就已經(jīng)接觸了加法的交換律。先數(shù)左邊3個同學(xué)再接著數(shù)右邊2個同學(xué)與先數(shù)右邊2個同學(xué)再接著數(shù)左邊3個同學(xué)，其結(jié)果是不變的，這就是加法交換律的“雛形”，是具體、零散、情景化的。通過四年級運算律單元教學(xué)，將這些零散、具體、情景化經(jīng)驗進行提煉、抽象、完善，形成一種交換律模型。

2. “運算律”教學(xué)的知識起點。

學(xué)生在學(xué)習(xí)運算律之前，其知識經(jīng)驗也不是一張白紙。學(xué)生在系統(tǒng)學(xué)習(xí)加、減、乘、除運算時，有意無意地運用了運算律。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要運用學(xué)生本源性數(shù)學(xué)知識，運用學(xué)生數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗，暴露學(xué)生認知起點、思維起點。當(dāng)然，對于“運算律”單元整體教學(xué)，要在學(xué)生原有認知基礎(chǔ)上獲得思想方法提升。以“加法結(jié)合律”“減法的性質(zhì)”為例，在一年級學(xué)習(xí)“數(shù)的分與合”“9加幾”“十幾減9”等進位加、退位減中，學(xué)生就已經(jīng)能夠綜合運用“加法結(jié)合律”“減法性質(zhì)”，體現(xiàn)在學(xué)生能夠自覺地運用“湊十法”“破十法”“平十法”等計算方法。再以“乘法分配律”教學(xué)為例，應(yīng)該說，“乘法分配律”是“運算律”中相對復(fù)雜的一個，但即便是“乘法分配律”，學(xué)生在各個學(xué)段學(xué)習(xí)中均已涉及。如在三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”豎式計算中，就已經(jīng)運用了“乘法分配律”，在三年級上冊“長方形的周長”計算中，也運用了“乘法分配律”?？梢姡瑢W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)廣泛接觸到運算律，已經(jīng)在理性認識運算律之前感性地運用了運算律。教學(xué)中，教師需要正本清源，創(chuàng)設(shè)情境，喚醒、激活學(xué)生已有知識經(jīng)驗，充分運用學(xué)生已有知識經(jīng)驗展開教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生自主建構(gòu)。

二、追尋：學(xué)生“運算律”運用策略的分析

對學(xué)生運算律學(xué)習(xí)經(jīng)驗起點和知識起點的分析，有助于運算律更為有效的教學(xué)。如前所述，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)運算律之前已經(jīng)理解了運算律的實際運用，難道非要用一個抽象符號算式概括起來，才算是學(xué)習(xí)運算律嗎？答案顯然不是。那么，“運算律”的價值都體現(xiàn)在哪些地方呢？通過運算律意義價值分析，對數(shù)學(xué)教學(xué)、對學(xué)生運用運算律都有哪些啟迪呢？

1. 經(jīng)歷過程，體驗探究性運用。

學(xué)生學(xué)習(xí)運算律，絕不僅僅是在簡便運算中進行簡單運用，如果這樣，就是對運算律意義價值的窄化。對于運算所固有定律，我們不能僅僅用“有用”體現(xiàn)它的存在。是的，運算律有廣泛運用，但這只是運算律的直接效用。運算律真正意義和價值體現(xiàn)在：運算律具有發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力、數(shù)學(xué)猜想驗證能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之效用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，首當(dāng)其沖，是讓學(xué)生體會運算律“通則通法”的存在價值。梳理各個版本運算律教學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)，其編排基本上是一致的，即現(xiàn)實通過一個情境，讓學(xué)生列出兩個形式不同本質(zhì)相同的算式，形成猜想，兩個式子可以用等于號聯(lián)結(jié)。接著，是通過舉例子，對等式進行驗證。最后，通過不完全歸納形成運算律。為了體現(xiàn)“不完全歸納”的科學(xué)性，教師可以從兩個維度展開教學(xué)：一是正向舉例（正例），二是反向舉例（反例）。通過正反論證，讓學(xué)生體驗到科學(xué)論證的一般過程。那么，如何讓學(xué)生感受、體驗運算律的“通則通法”作用呢？那就是教師要預(yù)留充足的時空，讓學(xué)生反復(fù)地驗證。當(dāng)學(xué)生舉出一些大數(shù)、小數(shù)時，就能自然地體驗到運算律“通則通法”的科學(xué)探究價值。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷探究過程后，學(xué)生在簡便運算應(yīng)用中，就能主動地關(guān)注數(shù)據(jù)特點，就能對不同算法進行比較，就能關(guān)注到問題結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系等。

2. 系統(tǒng)思維，體現(xiàn)思想性運用。

在小學(xué)階段，運算律教學(xué)采用的是“不完全歸納法”。嚴格意義上說，不完全歸納不是一種證明，而是一種解釋。因此，教師可以打破教材編寫框架，引導(dǎo)學(xué)生從加法含義，從累加的視角去追問“問什么”。如前所述，在處理這一部分內(nèi)容時，教材都是引導(dǎo)學(xué)生運用“猜想—驗證”的不完全歸納方式展開的。為豐富、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想，教師可以將類比推理引入其中。比如在學(xué)生學(xué)習(xí)了“加法交換律”后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生展開類比：在減法中有交換律嗎？在乘法中有交換律嗎？在除法中有交換律嗎？通過這樣的教學(xué)，將看似無關(guān)的運算律聯(lián)結(jié)到一起，增進運算律解釋力、結(jié)構(gòu)力、聚合力。在學(xué)生通過舉例進行驗證過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注特殊情況，比如“0”“1”這些特殊的數(shù)。要不斷引導(dǎo)學(xué)生反思，過程是否完善，特殊情況是否考慮，舉例是否具有一般性等。如此，學(xué)生對運算律理解就能從膚淺走向深刻，從低階走向高階。有了思維砥礪、思想介入，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就會主動分析。比如有時候，學(xué)生遇到幾個加數(shù)的和乘一個因數(shù)，就會將“乘法分配律”放大，形成“多個數(shù)乘一個因數(shù)的分配”；再比如，盡管有時問題中沒有要求學(xué)生運用簡便運算，但學(xué)生也會形成問題解決的簡化策略、簡便計算。如在遇到相遇問題時，學(xué)生會根據(jù)數(shù)據(jù)特點，靈活運用“甲程+乙程=全程”“速度和×相遇時間=路程和”兩種關(guān)系式。又比如，學(xué)生會對復(fù)雜的算式進行分析，如999×8+111×28、360×52+480×36，等等。這里，較復(fù)雜的簡便運算是不能一眼看出該用怎樣的運算律的，而是需要學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)思想、方法展開深度分析。換言之，這里體現(xiàn)的不再是簡單技術(shù)性運用，而是一種策略性、方法性、思想性運用。

總之，運算律教學(xué)必須建立在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起點上，不僅把握運算律知識本身邏輯起點，而且把握學(xué)生運算律的已有生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗，把握學(xué)生運算律學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點。同樣，運算律的運用，不僅僅是一種技術(shù)性運用，更是策略性運用、方法性運用、思想性運用。只有讓學(xué)生充分經(jīng)歷了運算律合情推理歷程，讓學(xué)生在運算律學(xué)習(xí)中獲得對運算律意義、價值的深刻感受、體驗，學(xué)生才能展開運算律的深度運用、自覺運用。