初中數(shù)學勾股定理的拓展教學

劉燕

學生對此問題展開行動研究，大部分學生首先猜想結論是成立的，然后利用格子紙數(shù)出等腰三角形、平行四邊形的面積，證明猜測是對的.少數(shù)幾個學生發(fā)現(xiàn)再畫幾個類似的多邊形嘗試后結論也成立.顯然，在格子紙上畫多邊形很容易計算出各個圖形的面積，那么曲邊形呢？在格子紙上做曲邊形是不容易計算面積的，結論是否不變，需要我們繼續(xù)研究，當以直角三角形各邊為底邊向外做曲邊形的時候，會有哪些有趣的結論呢？這個時候問題1升級為問題2.

問題2 如圖3，當以直角三角形三邊向外做半圓的時候，在斜邊上所畫的半圓的面積，與在兩條直角邊上所畫的半圓的面積之和還相等嗎？在圖4中，兩個月牙形的面積之和與△ABC的面積又有什么關系呢？

進一步對問題展開行動研究，學生拿出圓規(guī)畫半圓，用直尺量出直角三角形各邊長和所有半圓的直徑，利用已掌握的直角三角形邊長和圓的面積公式等知識點可以發(fā)現(xiàn)圖3中兩個小半圓的面積之和等于大半圓的面積，對圖3進行一個小小的整容得到圖4.圖4中最大的半圓減掉與兩個小半圓公共的部分后剩下△ABC，則兩個小半圓所剩下的月牙形面積之和等于△ABC的面積.由于一部分學生對面積公式不熟練，他們發(fā)現(xiàn)結論的過程顯得很不容易.師生進一步探究后發(fā)現(xiàn)，下列圖形中結論也成立.

在圖5中，學生拿出直尺量出直角三角形各邊長，用量角器測量六個扇形的圓心角，求出陰影部分面積，得出大扇形重疊部分的面積等于兩個小扇形重疊部分的面積之和；在圖6中，同學們拿出直尺量出直角三角形各邊長和三個正方形的邊長，求出正方形和圓的面積，雖然部分同學出現(xiàn)稍有誤差的答案，但是大部分同學能得出大正方形挖掉內(nèi)接正方形陰影部分的面積等于兩個小正方形挖掉內(nèi)接正方形陰影部分的面積之和.

以上研究的圖形都滿足結論成立，我們還不能說所有的圖形都滿足此結論，因為我們研究的圖形都是二維平面的圖形.除了二維平面我們還知道多維空間的存在（現(xiàn)階段只考慮三維空間），要想所有的圖形都滿足此結論，我們還得進一步研究三維空間的圖形，此時知識點進一步由平面拓展到空間.知識點應用范圍變大，問題2升級為問題3.

問題3 繼續(xù)將勾股定理向空間推廣，從二維空間到三維空間（如圖7），請猜想：以直角三角形的某條邊為一邊作立方體時，斜邊上立方體的表面積與兩直角邊上兩個立方體的表面積之和還相等嗎？體積呢？

教師展示制作的立方體模型，給出幾組數(shù)據(jù)——立方體的長、寬、高（不必完全相同），學生利用圖形的表面積和體積公式計算，得出立方體的表面積仍然滿足結論，即[6a2+6b2=6c2].但是體積在結論上則不成立，即[a3+b3≠c3].大膽推測其他的立體圖形也可以用相同的測量和相應的計算得出此結論，即此結論不僅在二維平面上滿足，在三維空間中結論也是滿足的.這時知識點的適用范圍進一步擴大.此設計的主要目的在于讓學生體驗研究問題數(shù)學思維的發(fā)散，在此不進行超出學生理解范圍的翔實驗證.

從以上解決問題的行動研究中，學生能發(fā)現(xiàn)勾股定理與圖形面積關系存在規(guī)律且可使用的范圍從二維平面拓展到三維空間，這是知識點的拓展，它向我們展現(xiàn)了數(shù)學規(guī)律的一面，豐富了我們所學的課本內(nèi)容且更利于發(fā)散學生思維.

問題4 如果以兩個小正方形的邊長為直角三角形的斜邊，分別在小正方形上再作出類似的小正方形，你會畫出圖案嗎？如果循環(huán)這學生們基本都能畫出圖8，結論顯然成立，循環(huán)這個過程，一部分人能猜測結論也成立，能得出結論的同學顯然思維已經(jīng)發(fā)散了，這是數(shù)學思維的發(fā)展.當教師將圖9展現(xiàn)在大家面前時，學生們都發(fā)出了驚嘆，這種不可思議的美讓學生能感受到數(shù)學的巨大魅力，尤其是數(shù)學規(guī)律的神奇.學生們對勾股樹印象深刻，這種由數(shù)學知識帶給學生的震撼是基礎課程很難做到的，但是在拓展課程上學生能輕易體會到學習數(shù)學的邏輯和思維，接受數(shù)學之美的熏陶.

經(jīng)過問題探究，學生積累了不少組滿足勾股定理的數(shù)，這個時候學習勾股數(shù)再恰當不過了.在教師的引導下，學生輕松掌握勾股數(shù)這個知識點，在此不做過多陳述.

二、數(shù)學方法拓展

數(shù)學方法是人們?yōu)榱私鉀Q數(shù)學問題而采用的可操作的規(guī)則或手段，這些規(guī)則手段經(jīng)過多次運用后都達到了解決問題的目的，久而久之就形成科學研究的數(shù)學工具，因此它首先具有普遍的應用性和可操作性.勾股定理本身也是一種數(shù)學方法，在解決直角三角形問題中應用頻率非常高.課本采用四個小直角三角形拼湊正方形及介紹趙爽弦圖來探索勾股定理，其本質(zhì)都是通過計算面積來得出勾股定理結論，我們在勾股定理學習中比較常見的數(shù)學證明方法是面積法.雖然其證明有諸多名稱，如總統(tǒng)證明法、歐幾里得證明法、實驗模型法等，大部分證明都可以歸為面積法證明.這其中總統(tǒng)證明法尤其值得推薦給全體初中生（見下文），拓展課將介紹利用相似三角形性質(zhì)證明和利用切割線定理證明等方法.

（一）伽菲爾德總統(tǒng)法證明

用紙裁剪兩個一樣的直角三角形，短邊AC，DE記為[a]，短邊CE，BD記為[b]，長邊AE，BE記為c，按圖拼接，使得[CE]與[ED]在同一水平線上，如圖10（證明過程略）.

總統(tǒng)證明法的思路為：利用三角形的面積公式和梯形面積公式求得三個直角三角形的面積之和等于直角梯形的面積.這個證明極其簡潔、完美地詮釋了公式法的巧妙之處.相較于其他嚴密復雜的證明方法而言，此證法最容易被學生理解和掌握.

（二）利用相似三角形性質(zhì)證明（證明過程略）

相似三角形是學生在九年級學習的內(nèi)容，用新學的知識來對八年級就接觸的勾股定理進行新角度的證明，考查了學生知識運用的綜合能力.相似法的優(yōu)點是簡潔、直觀，能很好地將直角三角形、勾股定理及三角形相似等知識點結合起來，運用一種新的數(shù)學方法從拓展的角度幫助學生理解和掌握勾股定理，改變了學生對勾股定理面積法證明的固有思維模式.將相似法換一種用法，我們就能領會另一種美，再如相似形加上反證法，更加能感受數(shù)學證明的邏輯魅力.endprint

反證法從結論的反面出發(fā)，執(zhí)果索因，引出矛盾，從而證明了結論成立.反證法一般在直接證明問題有困難時采用，雖然理解和掌握起來不太容易，但是有利于完善學生對問題的綜合分析和邏輯思維的嚴密.

（三）利用切割線定理證明

如圖11，在Rt△ABC中，設直角邊[BC=a，][AC=b，則BD=BE=BC=a，][]

因為[∠BCA=90°，點C，E在⊙B上，]所以[AC][是⊙B的切線].

由切割線定理，得：

[AC2=AE?AD=AB+BEAB-BD=c+ac-a=c2-a2，即b2=c2-a2，∴a2+b2=c2.]

切割線定理本質(zhì)是相似三角形對應邊成比例的另一種形式.證明的整個過程體現(xiàn)了定理的重要性，學生從無從下手的狀態(tài)到柳暗花明的觸動，這種數(shù)學方法與勾股定理的巧妙結合體現(xiàn)了方法的魅力.當然，學生在掌握方面是有難度的，但是了解一下新的數(shù)學證明方法，理解和分析問題有助于他們思維和邏輯的深入發(fā)展.

三、數(shù)學思想應用拓展

數(shù)學思想反映空間形式和數(shù)量關系，是思維活動產(chǎn)生的結果.學生從學習數(shù)學開始就在進行數(shù)學思想的學習，數(shù)學思想體現(xiàn)著比較高的數(shù)學層次，注重數(shù)學思想的培養(yǎng)利于提升學生的數(shù)學能力和素養(yǎng).

數(shù)學思想是很難分離的，它滲透在知識點、數(shù)學方法中，學習知識和方法的目的是為了解決問題，在探究問題、學以致用、熟能生巧的過程中形成的數(shù)學思想就是數(shù)學文化的精髓.在應用型的問題中，數(shù)學思想得到較大程度的綜合體現(xiàn)，教材中經(jīng)典的應用是用勾股定理解決靠墻梯子移動距離問題，體現(xiàn)建模思想和方程思想.拓展課進一步強化這些思想的同時，滲透數(shù)形結合和分類討論的思想.以下通過解決數(shù)學問題來感受數(shù)學思想之美.

（一）用勾股定理及其逆定理解決航行問題

如圖12，甲輪船離開港口以16km/h的速度向東南方向航行，在同時同地乙輪船向西偏南某個角度航行，半小時后乙輪船距離出發(fā)點6km，此時兩輪船相距10km.它們分別到達[B]，[A]兩地是在一個半小時后，且[AB=30]km，那么乙輪船每小時航行多少千米.（解答過程略）

大海茫茫難以分清位置和方向，學生解決這類問題需要一類數(shù)學思想.建模思想難在如何建立有效模型.在沒有學習直角坐標系的學情下，學生會利用其他學科的知識（例如地理中的十字畫方向）來解決，這體現(xiàn)的是一類學科滲透的思想.模型建成后，解題的宏觀導向已明確，這樣就把一個問題化歸成熟悉的知識點，用舊的知識點對問題進行解決的過程體現(xiàn)了數(shù)學化歸思想.

接下來需要注意的是勾股定理只有在直角三角形中才可使用，一定要先判定[△ACB]是直角三角形.貫穿始終的數(shù)形結合思想，將抽象的問題具體化，使得解決問題變得簡單明了.

（二）用勾股定理解決共享單車車樁問題

太原市公共自行車的建設速度、單日租騎量等四項指標穩(wěn)居全國首位.公共自行車車樁的截面示意圖如圖13所示，AB⊥AD，AD⊥DC，點B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB=80cm，AD=24cm，BC=25cm，EH=4cm，則點A到地面的距離是多少？

解題思路（如圖14）：分別過點A作AM⊥BF于點M，過點F作FN⊥AB于點N，利用勾股定理得出BN的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出即可.

過點A作AM⊥BF于點M，過點F作FN⊥AB于點N，

∵AD=24cm，則BF=24cm，

[BN=BF2-FN2=252-242=7]，

∴BN=7（cm），

∵∠AMB=∠FNB=90°，∠ABM=∠FBN，

[∴][△BNF]∽[△BMA]

[∴ABBF=FNAM，即8025=AM24].

則[AM=16×245=3845].

故點[A]到地面的距離是：[3845+4=4045m.]

此題主要考查了勾股定理的應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△BNF∽△BMA是解題關鍵.數(shù)學實質(zhì)上來源于生活，建立模型后在解答過程中需要添加輔助線，化歸思想、數(shù)學建模、數(shù)形結合思想等都有體現(xiàn).

從上述教學片段中可以發(fā)現(xiàn)，在勾股定理中數(shù)學思想的拓展主要是解決問題思想方法的拓展，數(shù)形結合是最基本的數(shù)學思想，建立模型、分類討論、方程等思想也很常見.數(shù)學思想的形成并非一日之功，它伴隨在學生對知識的理解和一般技能的掌握過程中，學生由感性到理性、由具體到抽象逐步深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián)系.學生對每種思想方法的認識都需要反復理解和運用.按照多次了解、初步理解、簡單運用的順序逐步完成.

拓展課程教學設計的內(nèi)容不求多，不求細，選擇科學的教學方法、新穎的教學內(nèi)容，運用現(xiàn)代化的教學手段，從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學的方法解決問題，追求學生數(shù)學思維的發(fā)展和數(shù)學思想方法的滲透與提煉，感受數(shù)學的美.[□][◢]endprint