基于綜合能力培養(yǎng)的線性代數(shù)教學內(nèi)容的改革

張興剛+戴丹

【摘要】傳統(tǒng)線性代數(shù)教學中存在的許多問題，主要來源之一是傳統(tǒng)教學目標以及教學內(nèi)容的不足.本文根據(jù)學生學習和發(fā)展的需要，確立了以綜合能力培養(yǎng)為核心的教學目標.基于新的教學目標，從梳理基本知識體系、融入幾何要素、引入數(shù)學軟件、加強實際應用等方面對傳統(tǒng)教學內(nèi)容進行改革，探討了這些改革措施的必要性和意義.

【關(guān)鍵詞】能力素質(zhì)；教學內(nèi)容；線性代數(shù)

線性代數(shù)主要研究有限維、具有線性結(jié)構(gòu)的數(shù)學對象，它為涉及多因素、多變量的許多問題提供了數(shù)學語言和解決問題的方法.同時，它也是進一步理解無限維、非線性等問題的基礎(chǔ).因此，從數(shù)學本身來看，線性代數(shù)是多元微積分、多元概率統(tǒng)計、微分幾何等數(shù)學分支的基礎(chǔ).將數(shù)學用于自然科學以及人文社會的許多學科時，一般都會涉及多因素、多變量的問題，而計算機的發(fā)明和應用，使得線性代數(shù)成為解決大量實際問題的有效工具.于是，線性代數(shù)自然而然地成為理工、經(jīng)管等許多非數(shù)學專業(yè)的一門重要的數(shù)學基礎(chǔ)課，它不僅能為學習其他數(shù)學和專業(yè)課程提供必要的基礎(chǔ)，也能在很大程度上提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和能力.然而，社會的發(fā)展和教學理念的革新，使得傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學越來越顯現(xiàn)出其弊端和不適應性.如何對傳統(tǒng)線性代數(shù)教學進行合理、有效的改革，實現(xiàn)這門課程應有的培養(yǎng)目標，成為一個重要且緊迫的問題.

一、傳統(tǒng)線性代數(shù)教學的問題

在傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學中，無論是教學內(nèi)容還是教學方式，都存在著許多問題.例如，教學內(nèi)容的代數(shù)“味道”濃厚，缺乏幾何直觀，這使得本來就比較抽象的線性代數(shù)更加抽象難懂；過于注重數(shù)學理論的教學，幾乎沒有對學生的實際應用、科學計算等方面的能力提出要求.這些問題使得即便是認真努力的學生，也往往只是掌握了基本的數(shù)學知識和具備了初步的解題能力；難以做到對各部分知識的融會貫通以及對蘊含于線性代數(shù)中數(shù)學思想的深入理解，也很缺乏幾何直覺以及應用線性代數(shù)描述解決實際問題的能力.這些問題的產(chǎn)生主要來源于傳統(tǒng)教學是以傳授代數(shù)知識和培養(yǎng)解題技能為目標的.我們認為，傳統(tǒng)的教學目標過于單一，它不僅不能很好地實現(xiàn)深入理解和掌握線性代數(shù)這一目標，還忽視了其他必要的能力的培養(yǎng).教學就是在一定的教學理念和目標的指導下，教師綜合考慮教學內(nèi)容、學生的特點、教學環(huán)境等因素，以恰當?shù)姆绞脚c學生交流互動、進行教學安排，有效促進學生素質(zhì)和能力的提升，從而實現(xiàn)教學目標的過程.因此，教學改革中首先應該確立恰當?shù)慕虒W目標，以及與教學目標相對應的教學內(nèi)容.

二、教學目標的設(shè)定

首先應該注意到，不能孤立地看待知識和能力，各種能力之間也有密切的關(guān)系.人們在知識的學習、消化、吸收、應用、發(fā)展的過程中形成了各種各樣的能力，例如，理解能力、應用能力、創(chuàng)造能力，這些能力往往能夠相互地激發(fā)和加強.對于非數(shù)學專業(yè)，學習線性代數(shù)的主要目的不是深入探究線性代數(shù)的邏輯體系、構(gòu)造定理并對定理進行證明；而是領(lǐng)悟線性代數(shù)中蘊含的數(shù)學思想，理解掌握線性代數(shù)中重要的概念、概念間的內(nèi)在聯(lián)系、重要的問題及解決問題的方法，并具備一定程度的將線性代數(shù)用于描述解決實際問題的能力；信息化時代也要求學生具備初步的科學計算能力.總的來說，應該以有效地培養(yǎng)學生的理解掌握、實際應用、科學計算等方面的綜合能力為線性代數(shù)的培養(yǎng)目標.其中，理解掌握線性代數(shù)知識體系的能力是核心，它可看成是由抽象概括、記憶與表示、數(shù)形結(jié)合、推理計算等多種能力復合而成的.

三、教學內(nèi)容的改革

顯然，教學內(nèi)容必須切實反映教學目標，否則教學目標就是空洞的.此外，教學內(nèi)容的設(shè)定及組織形式還應綜合考慮課程的知識體系結(jié)構(gòu)、教學學時、學生的知識基礎(chǔ)等因素.為了實現(xiàn)新的教學目標，可以從以下幾個方面對傳統(tǒng)教學內(nèi)容進行改革.

（一）梳理知識體系，引入過渡性內(nèi)容，減小理解的難度

線性代數(shù)的概念、定理眾多，看似零散繁雜，其實各部分之間聯(lián)系緊密.按照恰當?shù)姆绞绞崂碇R體系，并向?qū)W生展示相應的框架結(jié)構(gòu)，可以有效地提高學生的理解層次.例如，可將基本知識體系分為兩大部分：① 以矩陣為核心的代數(shù)部分；② 以線性空間為核心的幾何部分.通過詳細分析這兩部分包含哪些內(nèi)容、它們之間有什么關(guān)系，可以加強學生對線性代數(shù)的整體概貌以及“空間為體，矩陣為用”這一觀念的認識.另外，傳統(tǒng)教學內(nèi)容的難度梯度過大，不僅造成學生理解上的困難，還容易導致學習興趣和主動性的喪失.通過引入過渡性的教學內(nèi)容可有效地解決這個問題.例如，增加三維空間中向量代數(shù)及幾何意義的討論，按照從二維、三維向量空間，到n維向量空間Rn，再到一般的向量空間，最后到線性空間的順序建立起抽象空間的概念.

（二）融入幾何要素

幾何直觀對學習數(shù)學的許多知識都非常重要，試想如果沒有數(shù)軸、沒有復數(shù)的幾何意義，我們對于實數(shù)、復數(shù)的理解就不會太深刻.應該把幾何要素作為教學的基本內(nèi)容，使之滲透到基本知識體系的各部分.由于二維、三維空間中的幾何對象以及對象間的關(guān)系比較容易感知到，因此通過繪圖等手段不難建立低維空間的幾何圖景.線性代數(shù)中的各種基本概念，在一般情況下會涉及高維的情形，無法找到直接的幾何對應；但是，低維空間的幾何圖景可以遷移到高維的情形.要有效地實現(xiàn)幾何圖景的遷移，需要把幾何意義、幾何語言、幾何圖形等要素融入線性代數(shù)的許多概念和問題的討論中.我們發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)中的大部分概念和重要的結(jié)果都可以找到恰當?shù)膸缀螆D景.

（三）引入數(shù)學軟件

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，將數(shù)學、計算機等知識結(jié)合起來解決工程、技術(shù)、科研等方面的問題越來越普遍，這也使得科學計算能力應該成為許多專業(yè)的基本能力之一.由于大量的科學計算問題與線性代數(shù)密切相關(guān)，因此有必要在線性代數(shù)的教學中適當?shù)匾霐?shù)學軟件（例如，Matlab）的運用.這不僅可以作為科學計算的啟蒙，激發(fā)學生學習和應用線性代數(shù)的興趣，還使得學生有更多精力集中于數(shù)學思想的感悟和知識結(jié)構(gòu)的理解.當然，適當?shù)氖炙銓τ趯W生來說仍是非常必要的.可以用少量的學時介紹數(shù)學軟件的基礎(chǔ)知識（例如，系統(tǒng)環(huán)境、矩陣運算、基本繪圖命令等部分），結(jié)合例題、習題、數(shù)學實驗等方式提升學生運用數(shù)學軟件解決線性代數(shù)問題的能力，這種能力對于學生運用線性代數(shù)解決實際問題非常重要.

（四）加強線性代數(shù)與實際問題的聯(lián)系

在線性代數(shù)的教學中引入恰當?shù)膶嶋H問題，不僅能加深和鞏固有關(guān)數(shù)學知識的理解，提升應用線性代數(shù)描述和解決實際問題的能力；還能使學生真正體會到線性代數(shù)的重要性，生動有趣的應用實例也能進一步激發(fā)學生學習的興趣.可以基于實際問題的討論引出相關(guān)的數(shù)學概念和問題，加深學生對數(shù)學知識的理解；也可以在各個知識板塊當中引入綜合性的應用實例或項目，通過分析實際問題、建立數(shù)學模型、求解模型、討論結(jié)果這一過程的學習和訓練，提高學生的綜合能力.對于實際問題的選擇，需要注意以下一些方面：① 所引入的實際問題最好是不需要太多專業(yè)背景就可以理解的問題，例如，可以考慮線性電路、化學方程式配平、種群的演化等問題，這些問題用一般的常識或中學的知識就可以理解；② 設(shè)置適量的需要將線性代數(shù)、數(shù)學軟件結(jié)合起來才能解決的實際問題，這會讓學生真正感受到“數(shù)學+專業(yè)知識+計算機”這種“現(xiàn)代化”的解決問題的方式及其優(yōu)點.

四、結(jié)束語

教學是一項復雜程度不小的“系統(tǒng)工程”，需要將教學目標、教學內(nèi)容、內(nèi)容的組織形式、教學手段、考核方式等方面有機地結(jié)合起來，才能取得良好的教學效果.本文提出的新目標和新內(nèi)容，為整個教學改革奠定了基礎(chǔ).顯然，只有采取合理的教學方式以及考核監(jiān)督機制，才能有效地實現(xiàn)學生綜合能力的培養(yǎng).

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