有限群子群的正規(guī)化子與群的p-冪零性

張新建

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

0 引言

本文中所有的群皆為有限群,G代表有限群,其他符號(hào)和術(shù)語是標(biāo)準(zhǔn)的[1].

設(shè)G是群,H是G的子群,H稱為在G中s-置換,如果H與G的每個(gè)Sylow 子群置換;H稱為在G中c-正規(guī),如果G有正規(guī)子群T滿足G=HT且H∩T≤HG,其中HG為H在G中的柱心;H稱為在G中弱s-置換,如果G有次正規(guī)子群T滿足G=HT且H∩T≤HsG,其中HsG為包含在H中的G的極大s-置換子群;H稱為在G中s-半置換,如果H與G的每個(gè)Sylowp-子群置換,其中(|H|,p)=1.Yang[2]等介紹了子群的弱s-半置換性質(zhì),其覆蓋了上面的所有概念,并得到了定理1.

定義1[2]子群H稱為在G中弱s-半置換,如果G有次正規(guī)子群T和包含在H中的G的s-半置換子群HssG滿足G=HT且H∩T≤HssG.

定理1[2]設(shè)G為群,P為G的一個(gè)Sylowp-子群,其中p是G的階的極小素因子.假設(shè)P有子群D滿足1<|D|<|P|且P的每個(gè)階為|D|的子群或者4階循環(huán)群(當(dāng)P非循環(huán)且|D|=2時(shí))在G中弱s-半置換,則G是p-冪零群.

令p是一個(gè)素?cái)?shù),P為G的一個(gè)Sylowp-子群,NG(P)的性質(zhì)對(duì)群的結(jié)構(gòu)有重要影響,比如,著名的Burnside定理斷言如果NG(P)=CG(P),則G是p-冪零群;Frobenius定理斷言群G是p-冪零群如果對(duì)于G的所有p-子群H都有NG(H)是p-冪零群.將Frobenius 定理與弱s-半置換性質(zhì)結(jié)合,得到了群Gp-冪零的兩個(gè)準(zhǔn)則:定理2和定理3,這兩個(gè)定理可以看成是定理1的補(bǔ)充.

1 基本引理

接下來，給出證明主要結(jié)果所需的引理.

引理1[3]設(shè)G為群,則

1) 如果H≤K≤G,且H在G中s-置換,那么H在K中s-置換;

3) 如果P是群G的s-置換p-子群,那么NG(P)≤Op(G).

引理2[2]設(shè)G為群,H為G的s-半置換子群,則

1) 如果H≤K≤G,那么H在K中s-半置換;

3) 如果H≤Op(H),那么H在G中s-置換.

引理3[2]設(shè)G為群,H為G的弱s-半置換子群,K是G的正規(guī)子群,則

1) 如果H≤T≤G,那么H在T中弱s-半置換;

引理4[4]設(shè)P是群G的一個(gè)冪零正規(guī)子群且P∩Φ(G)=1,那么P是群G的某些極小正規(guī)子群的直積.

引理5[2]設(shè)N是群G的初等交換正規(guī)子群. 如果N有子群D滿足1<|D|<|N|且N的所有階為|D|的子群在G中弱s-半置換,則N的某個(gè)極大子群在G中正規(guī).

引理6[5]設(shè)G為群,P為G的一個(gè)Sylowp-子群,其中p是素?cái)?shù). 如果P交換且NG(P)p-冪零,那么G是p-冪零群.

引理7[5]設(shè)G=PQ,P為G的一個(gè)Sylowp-子群,Q為G的一個(gè)Sylowq-子群, 其中p是奇素?cái)?shù),q≠p是素?cái)?shù). 假設(shè)NG(P)是p-冪零的. 如果Op(G)是P的極大子群且Op(G)的每個(gè)p階循環(huán)子群在G中s-置換,那么G是p-冪零的.

2 主要結(jié)論

定理2 設(shè)p是整除群G的階的奇素?cái)?shù),P為G的一個(gè)Sylowp-子群, 假設(shè)P有子群D滿足1<|D|<|P|且P的每個(gè)階為|D|的子群在G中弱s-半置換. 如果NG(P)是p-冪零的,那么G是p-冪零群.

證明假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,G是一個(gè)極小階反例. 現(xiàn)在分以下步驟進(jìn)行證明.

第1步:Op′(G)=1.

第2步: 如果M是G的包含P的真子群,則M是p-冪零群.

顯然,NM(P)≤NG(P),因此NM(P)是p-冪零的,由引理3 的1)可知M滿足定理的假設(shè),于是由G的極小選擇可知M是p-冪零群.

第3步:G=PQ,其中Q為G的一個(gè)Sylowq-子群,q≠p是素?cái)?shù),且CG(Op(G))≤Op(G).

另一方面,因?yàn)镚p-可解,由定理[7],對(duì)于任意的q∈π(G)且q≠p,G有Sylowq-子群Q,滿足PQ=QP是G的子群. 如果PQ

第4步: 如果|P:D|>p,那么對(duì)于G的每個(gè)正規(guī)極大子群M有|G:M|=p且M的Sylow子群P∩M=Op(G)是P的極大子群,1<|D|<|Op(G)|且Op(G)的每個(gè)階為|D|的子群在G中s-置換.

設(shè)M為G的任一正規(guī)極大子群. 由第3步有,或者|G:M|=p或者|G:M|=q. 如果|G:M|=q,則由第2步知,M是p-冪零群,從而G是p-冪零群,矛盾. 所以|G:M|=p. 令P1=P∩M. 顯然NG(P)≤NG(P1)≤G. 如果NG(P1)p,則M滿足定理的假設(shè),于是M是p-冪零群,從而G是p-冪零群,矛盾. 因此,可以假設(shè)NG(P1)=G. 于是,P1在G中正規(guī). 因?yàn)镹G(P)是p-冪零的,而G是非p-冪零的,Op(G)

因?yàn)閨P:D|>p,有1<|D|<|Op(G)|. 令H為Op(G)的階是|D|的子群. 由假設(shè),G有次正規(guī)子群K和包含在H中的群G的s-半置換子群HssG滿足G=HK且H∩K≤HssG. 如果HssG≠H,則K

第5步: |D|>p.

如果|D|=p且|P:D|>p,則由第3步,第4步和引理7可知G是p-冪零群,矛盾. 如果|D|=p且|P:D|=p,則|P|=p2,則由引理6同樣可得G是p-冪零群. 因此|D|>p.

第6步： 設(shè)N為G的極小正規(guī)子群,則N≤Op(G)且|N|≤|D|.

由第1步和第3步知,N≤Op(G)是顯然的. 假設(shè)|N|>|D|. 因?yàn)镹是初等交換群,由引理5,N有極大子群在G中正規(guī),矛盾于N的極小性. 因此|N|≤|D|.

第8步: 最后的矛盾.

如果|P:D|>p,則由第4步,有|P:N|=p,于是|N|>|D|,和第6步矛盾. 因此 |P:D|=p,即P的每個(gè)極大子群在G中弱s-半置換. 由第7步,G有極大子群M滿足G=NM且N∩M=1. 因?yàn)镸p

推論1[8]設(shè)p是整除群G的階的奇素?cái)?shù),P為G的一個(gè)Sylowp-子群, 如果NG(P)是p-冪零群且P的每個(gè)極大子群在G中c-正規(guī),那么G是p-冪零群.

推論2[9]設(shè)p是整除群G的階的奇素?cái)?shù),P為G的一個(gè)Sylowp-子群, 如果NG(P)是p-冪零群且P的每個(gè)極大子群在G中c-正規(guī),那么G是p-冪零群.

定理3 設(shè)p是群G的階的素因子,P為G的一個(gè)Sylowp-子群, 假設(shè)P有子群D滿足1<|D|<|P|,P的每個(gè)階為|D|的 子群H在G中弱s-半置換且NG(H)是p-冪零的,那么G是p-冪零群.

證明假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤,G為極小階反例.

假設(shè)H是P的階為2的子群, 由假設(shè),G有次正規(guī)子群K和包含在H中的群G的s-半置換子群HssG滿足G=HK且H∩K≤HssG. 于是G=PK且P∩K在G中正規(guī). 由P的極小性,或者P∩K=1或者P∩K=P. 如果前者是正確的,那么P=P∩HK=H(P∩K)=H,矛盾. 于是P∩K=P,即P≤K,于是H=H∩K=HssG. 由引理5的3)和引理1有,G=Op(G)≤NG(H)是p-冪零群,又一矛盾. 因此p是奇素?cái)?shù).

如果NG(P)

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