二元Jensen不等式的應(yīng)用

鄭發(fā)美

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

0 引言及預(yù)備知識

不等式在數(shù)學(xué)的許多分支有著重要的應(yīng)用,丹麥數(shù)學(xué)家Jensen[1]在20世紀(jì)初建立的Jensen不等式，引起了很多學(xué)者的關(guān)注.如Kin[2]用Jensen不等式解決了一些不等式的證明, 王良成等[3]研究了幾何凸函數(shù)Jensen不等式的加細(xì)問題,陳宴祥等[4]探討了代數(shù)函數(shù)的Jensen不等式的加細(xì)與推廣,江龍[5]探索了基于g-期望的關(guān)于二元函數(shù)的Jensen不等式,方逵[6]給出了二元凸函數(shù)的幾個(gè)判別條件, 林玎等[7]研究了Jensen不等式的幾個(gè)推論及其應(yīng)用, 黃大榮等[8]給出關(guān)于Jensen積分不等式的推廣, Long[9]介紹倒向隨機(jī)微分方程下的Jensen 不等式;以上推廣與應(yīng)用主要針對一元情況,對于一些一元離散型不等式,可以通過構(gòu)造一元凸函數(shù)等方法給予證明. 但對于二元及二元以上的離散型不等式較難證明.本文利用二元Jensen不等式,證明了一個(gè)重要的二元離散不等式.

下面給出Jensen不等式的二元情況[5,6]. 首先把一元凸函數(shù)及其性質(zhì)平行地推廣到二元情形.

定義1 設(shè)函數(shù)f(x,y)為定義在凸區(qū)域D上的二元函數(shù),若?(x1,y1),(x2,y2)∈D,?μ∈(0,1),有

f(μx1+(1-μ)x2),μy1+(1-μ)y2)≤μf(x1,y1)+(1-μ)f(x2,y2),

則稱函數(shù)f(x,y)為凸區(qū)域D上的二元凸函數(shù).

引理1 設(shè)函數(shù)f(x,y)在凸區(qū)域D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),那么f(x,y)是D上的凸函數(shù)的充要條件是?(x1,y1),(x2,y2)∈D,有

由引理1, 易證下列引理

下面給出Jensen不等式的二元及二元以上情形的推廣.

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.

證明略.

注類似地,可以給出推廣的Jensen不等式的n元形式.

1 主要結(jié)果

Hu[10]利用二元離散不等式證明了著名的Boesch定理.下面利用推廣的Jensen不等式證明如下二元離散不等式.

(1)

(2)

等式成立當(dāng)且僅當(dāng)?i∈{1,2,…,k},有mni=min.

證明只證明式(1), 式(2)同理可證.

是半正定的,因此由引理2, 函數(shù)f(x,y)是D上的二元凸函數(shù).

(3)

下面證明式(1)中的等式成立當(dāng)且僅當(dāng)?i∈{1,2,…,k}, 有mni=min.

所以

(4)

(i) 若有mi=0,不妨設(shè)m1=0, 則n1≠0.

(ii) 若有ni=0,不妨設(shè)n1=0, 則m1≠0.

即

而

于是

現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明:μ1=μ2=…=μk=μ.

當(dāng)k=1時(shí),命題顯然成立.

當(dāng)k=l+1時(shí),

由歸納假定知

根據(jù)

得

(μl-μ)(1+μl+1)ml+(μl+1-μ)(1+μl)ml+1=0

(5)

由μ1=μ2=…=μl-1=μ,得

n=μm,n1=μm1,n2=μm2,…,nl-1=μml-1,nl=μml,nl+1=μml+1.

于是

μm=n=n1+n2+…+nl-1+nl+nl+1=μ(m1+m2+…+ml-1)+μlml+μl+1ml+1.

則

μ(m-m1-m2-…-ml-1)=μlml+μl+1ml+1,

即

μml+μml+1=μlml+μl+1ml+1,

也即

(μ-μl)ml=(μl+1-μ)ml+1

(6)

[1] Jensen J L W V. Sur les fonctions convexes etles inégalités entre les valeurs moyennes[J].Acta Mathematica,1906,30 (1):175-193.

[2] Kin Y L. Jensen’s Inequality[J].Mathematical Excalibur,2000,5(4):1-4.

[3] 王良成, 白海. 關(guān)于幾何凸函數(shù)Jensen不等式的加細(xì)[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2010,40(23):161-164.

[4] 陳宴祥, 羅健英. 代數(shù)函數(shù)的Jensen不等式的加細(xì)與推廣[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006,43(1):5-10.

[5] 江龍. 基于g-期望的關(guān)于二元函數(shù)的Jensen不等式[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2003,38(5):13-17,22.

[6] 方逵, 朱幸輝,劉華富. 二元凸函數(shù)的判別條件[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2008,24(1):97-101.

[7] 林玎, 劉偉. Jensen不等式的幾個(gè)推論及其應(yīng)用[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003(3):28-30.

[8] 黃大榮,李志艷. 關(guān)于Jensen不等式的幾個(gè)推廣[J].甘肅教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000,14(2):4-7.

[9] Long J. Jensen’s Inequality for Backward Stochastic Differential Equations[J].Chinese Annals of Mathematics-Series B,2006,27(5):553-564.

[10] Hu M L, Cheng Y X, Xu W D. A Generalization of Boesch′s Theorem[J].Discrete Mathematics,2012,312:1171-1177.