三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)方程、周期及角位置概率分布

吳明玨，王順宇，李 俊，夏雪連，章禮華

(安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133)

三線(xiàn)擺主要由水平放置的較小墊盤(pán)與較大懸盤(pán)，以及對(duì)稱(chēng)連接墊盤(pán)與懸盤(pán)邊緣正三角形頂點(diǎn)的三條懸線(xiàn)組成[1].現(xiàn)有不少關(guān)于三線(xiàn)擺的研究，如謝淼、呂丹等人的大角度三線(xiàn)擺周期的近似公式[2]，王菊香等人的三線(xiàn)擺周期的近似公式[3].常關(guān)注的內(nèi)容有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量、特定狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)微分方程及周期[4]，但較少系統(tǒng)性地討論不同初始擺角情況下三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程、周期及角位置概率密度分布情況.本文分別對(duì)大擺角及小擺角兩種情況進(jìn)行分析，通過(guò)近似處理、積分求解等一系列手段給出了上述兩種情況下，三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程、周期及位置概率密度分布的分析結(jié)果.

1 三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程

三線(xiàn)擺結(jié)構(gòu)如圖1所示，上、下圓盤(pán)的半徑分別為r和R，懸線(xiàn)長(zhǎng)均為L(zhǎng).將墊盤(pán)吊起時(shí)，二圓盤(pán)面均被調(diào)節(jié)至水平，兩盤(pán)間的距離為H，兩圓盤(pán)心在同一垂直線(xiàn)O1O2上，懸盤(pán)可繞中心線(xiàn)O1O2做扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)[5，6].

圖1 三線(xiàn)擺裝置簡(jiǎn)圖

1.1 大擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程

當(dāng)懸盤(pán)處于平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的幾何約束為

H2=L2-(R-r)2

(1)

當(dāng)懸盤(pán)角位移為θ時(shí)，其垂直高度增加h，在懸線(xiàn)不能伸長(zhǎng)的理想狀態(tài)下，幾何約束變?yōu)?/p>

(H-h)2=L2-(R2+r2-2Rrcosθ)

(2)

由式(1)與式(2)得

2Hh-h2=2Rr(1-cosθ)

(3)

由于實(shí)驗(yàn)中下盤(pán)上升高度遠(yuǎn)小于兩盤(pán)間高度，即可取h<

(4)

對(duì)式(4)中的時(shí)間t求導(dǎo)，得懸盤(pán)上下平動(dòng)的速度為

(5)

在忽略摩擦力及阻力影響的情況下，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由此可利用分析力學(xué)中保守系拉格朗日方程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)微分方程的求解,可得系統(tǒng)動(dòng)能中懸盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)能與上下平動(dòng)能，系統(tǒng)動(dòng)能表示為

(6)

若將自然狀態(tài)下懸盤(pán)高度定義為勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)勢(shì)能可表示為

(7)

由式(6)、(7)可得系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為[7]

(8)

由保守系統(tǒng)拉格朗日方程

可得三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在大擺角情況下的運(yùn)動(dòng)微分方程，為

(9)

1.2 小擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程

當(dāng)擺角θmax不超過(guò)5°時(shí)，習(xí)慣上稱(chēng)為小擺角運(yùn)動(dòng)，此時(shí)可取sinθ≈θ，則式(9)變?yōu)?/p>

(10)

式(10)為三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在小擺角情況下的運(yùn)動(dòng)微分方程，為非線(xiàn)性方程.但若考慮實(shí)驗(yàn)裝置的特殊尺寸，則可將式(10)化為線(xiàn)性振動(dòng)方程，此時(shí)三線(xiàn)擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).即若三線(xiàn)擺的幾何尺寸中Rr較小于H，即滿(mǎn)足[5]：

式(10)描述的運(yùn)動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為

(11)

上式為三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)小擺角近似情況下的運(yùn)動(dòng)微分方程，具有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征.

2 三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)周期

2.1 大擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的周期

由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此懸盤(pán)任意時(shí)刻的動(dòng)能與勢(shì)能之和為常量C，表示為

T+V=C

(12)

即有

(13)

其中，由于懸盤(pán)上下運(yùn)動(dòng)的幅度較小，因此上下平動(dòng)的動(dòng)能可忽略不計(jì)，得

(14)

由式(14)整理可得[2]

(15)

令

(16)

對(duì)式(16)兩端同時(shí)求導(dǎo)得

(17)

將式(16)、(17)代入式(15)中有

(18)

上式為第一類(lèi)橢圓積分.

(19)

上式為三線(xiàn)擺大擺角運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期公式，利用數(shù)值計(jì)算可以給出三線(xiàn)擺的周期與擺角之間的關(guān)系如圖2所示(其中物理參數(shù)為：H=0.5 m，I=0.0021 kg·m2，m=0.36 kg，R=0.1000 m，r=0.0499 m，g=9.8 N/kg).

總體變化圖

周期局部變化圖圖2 三線(xiàn)擺在不同擺角下的周期

從圖2(a)可以看出，隨著擺角θmax的增加，三線(xiàn)擺的周期不斷變大. 但從圖2(b)并結(jié)合計(jì)算可知，當(dāng)三線(xiàn)擺的擺角小于0.314 rad(即18°)時(shí)，周期曲線(xiàn)近似平行于水平軸，三線(xiàn)擺可視為做固定周期的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

2.2 小擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的周期

三線(xiàn)擺在小角度擺動(dòng)情況下，式(10)可近似為

(20)

為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形式.此時(shí)，三線(xiàn)擺可看成是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).而由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性質(zhì)可得

(21)

(22)

3 三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)的角位置概率分布

若記三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在角位移θ處的瞬時(shí)概率為p(θ)，即角位置的概率密度函數(shù)為p(θ)，結(jié)合三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)的周期，則有

(23)

其中，dt為角位移θ～dθ對(duì)應(yīng)的時(shí)間，T為三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)的周期.

3.1 大擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的位置概率密度函數(shù)

(24)

解上述方程得

(25)

將式(19)、(25)代入式(23)，再取n=1的近似情況下，可以得到

(26)

為三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)大擺角情況下的位置概率密度函數(shù)，其分布規(guī)律如圖3所示.

圖3 擺角 θmax為時(shí)的角位置概率分布情況

3.2 小擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角位置概率密度函數(shù)

進(jìn)一步考慮三線(xiàn)擺做小角度擺動(dòng)時(shí)，由式(22)及式(23)可直接得出小擺角情況下的角位置概率密度函數(shù)：

(27)

由小擺角情況下的三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

θ=θmaxsin(ωt+φ)

(28)

將式(21)、(28)帶入式(23)進(jìn)行積分得

(29)

為三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在小角度情況下的角位置概率密度函數(shù)，其中φ由初始值決定.

由式(29)可得三線(xiàn)擺在擺角θmax取0.087 rad(即5°)時(shí)的角位置概率密度函數(shù)圖像如下圖4所示.

圖4 擺角θmax取0.087rad(即5°)時(shí)的角位置概率分布情況

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，本文分析了三線(xiàn)擺在傳統(tǒng)意義下大擺角、小擺角下的運(yùn)動(dòng)方程、周期，發(fā)現(xiàn)在三線(xiàn)擺的固有結(jié)構(gòu)不變時(shí)，擺角的變化對(duì)周期的影響并不是那么敏感.考慮兩種情況下三線(xiàn)擺角位置概率密度函數(shù)及分布情況，得出三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在平衡位置的概率最小，而在最大角位移處的概率最大.因而選擇平衡位置作為周期測(cè)量計(jì)時(shí)的始末位置可減少測(cè)量誤差，這對(duì)于提高三線(xiàn)擺周期測(cè)量的準(zhǔn)確度具有重要的參考意義.