確定位置為什么要用數(shù)對(duì)

羅永軍

“用數(shù)對(duì)確定位置”屬于圖形與幾何領(lǐng)域，這一內(nèi)容從正式進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)距今已有10年“教齡”了。大家對(duì)這一內(nèi)容的研究，初期集中在“怎么教”，討論的焦點(diǎn)是用什么情境，能不能生活化。如，是采用教室中的座位這樣生活中的實(shí)例引入好，還是用小動(dòng)物做操的例子更有趣？等等。隨著實(shí)踐的深入大家還發(fā)現(xiàn)一些更為緊要的問(wèn)題，比如，已經(jīng)學(xué)過(guò)了“第幾排第幾個(gè)”“第幾行第幾列”這樣的位置確定方法，為什么還要學(xué)習(xí)“用數(shù)對(duì)確定位置”？有序數(shù)對(duì) “先列后行”書(shū)寫(xiě)順序和生活中常用的“先行后列”順序不一致，學(xué)生反而容易弄錯(cuò)。又如，數(shù)對(duì)為什么會(huì)進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容？確定位置是數(shù)學(xué)嗎？確定的是相對(duì)位置還是絕對(duì)位置？確定位置為什么要用數(shù)對(duì)？等等。種種問(wèn)題都指向“教什么”，對(duì)問(wèn)題的思考有各種各樣的回答，也因此產(chǎn)生了豐富多彩的教學(xué)設(shè)計(jì)。

實(shí)際上對(duì)這些問(wèn)題的回答凸顯了不同的目標(biāo)定位：有的認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)對(duì)是因?yàn)樯钚枰?，教學(xué)中主要是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)確定物體位置的新方法，重點(diǎn)是將已學(xué)的行列表示法與新學(xué)的有序數(shù)對(duì)表示法進(jìn)行對(duì)應(yīng)，難點(diǎn)是突破“列在前，行在后”；有的認(rèn)為要把現(xiàn)實(shí)物體抽象成點(diǎn)，學(xué)習(xí)的目標(biāo)放在把點(diǎn)的位置進(jìn)行符號(hào)化（數(shù)對(duì)）的過(guò)程；也有的認(rèn)為應(yīng)該突出坐標(biāo)思想，引入數(shù)軸；等等。這些目標(biāo)哪個(gè)正確？查看《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求：“在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對(duì)（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對(duì)與方格紙上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)?！眴螐摹墩n標(biāo)》的要求來(lái)看，主要學(xué)習(xí)平面中點(diǎn)的位置表示，因此上述的教“方法”、教“過(guò)程”、教“思想”都需要。不過(guò)，一節(jié)課中容量有限，需要教師有所側(cè)重。下面筆者結(jié)合相關(guān)案例的分析，來(lái)談“用數(shù)對(duì)確定位置”新授課環(huán)節(jié)的目標(biāo)定位。

一、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)則，創(chuàng)造數(shù)對(duì)

這一類(lèi)教學(xué)把有序數(shù)對(duì)看成是一種確定物體位置的新方法，通過(guò)具體情境讓學(xué)生體會(huì)到新方法的優(yōu)點(diǎn)并學(xué)習(xí)新方法中所蘊(yùn)含的規(guī)則。

【片段1】

呈現(xiàn)座位表，請(qǐng)大家猜一猜A同學(xué)的位置。學(xué)生用第幾排第幾個(gè)的方式描述。

師 ：A同學(xué)到底在哪兒呢？如果這時(shí)候有一個(gè)數(shù)學(xué)家就在我們課堂上，他除了用“第幾排第幾個(gè)”的方式告訴大家以外，還會(huì)選擇這樣一種更簡(jiǎn)潔的方法，來(lái)確定他的位置。[教師板書(shū)：（4，2）]

師：你是怎么數(shù)的？

生：我從下往上數(shù)的第4組左邊的第2個(gè)；我是從上往下數(shù)的第4組左邊的第2個(gè)；我覺(jué)得是從下往上數(shù)右邊的第2個(gè)；也有可能是從上往下數(shù)右邊的第2個(gè)……

師：（分別圈出學(xué)生所說(shuō)的位置）怎么會(huì)有這么多位置呢？（學(xué)生發(fā)現(xiàn)用數(shù)對(duì)表示的規(guī)則不清）

師：老師不想直接告訴你們。不過(guò)，我可以透露一下，A同學(xué)最要好的朋友所在的位置如果也用這樣的數(shù)對(duì)來(lái)表示的話，應(yīng)該是（2，1）。（師在座位圖中標(biāo)出這位同學(xué)的位置）

生：我知道了，某某的數(shù)對(duì)是（2，1），而他正好在第2豎排、第1橫排。所以我們小組發(fā)現(xiàn)，數(shù)對(duì)前一個(gè)數(shù)表示的是第幾豎排，后一個(gè)數(shù)表示的是第幾橫排。A同學(xué)的數(shù)對(duì)是（4，2），說(shuō)明他在從左往右的第4列，從前往后的第2排。

【片段2】

呈現(xiàn)座位表，請(qǐng)學(xué)生猜一猜A同學(xué)的位置。學(xué)生用第幾排第幾個(gè)的方式描述。

師：既然這樣的方式已經(jīng)能夠確定位置了，那我們今天還來(lái)研究什么呢？

生：我覺(jué)得是不是有比像“第3排第4個(gè)、第4組第3個(gè)”更簡(jiǎn)潔的方法，也可以用來(lái)確定位置。

師：了不起！和數(shù)學(xué)家想一塊兒去了。那么，到底有沒(méi)有比它更簡(jiǎn)潔的確定位置的方法？如果有，又會(huì)是什么樣的呢？我把這一任務(wù)留給四人小組，看看能不能集中大家的智慧，在“第3排第4個(gè)、第4組第3個(gè)”的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造出比它更簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確的方法。

學(xué)生小組研究后展示：①4排3個(gè)；② 4～3；③ 4·3；④豎4橫3；⑤4↑3→⑥4，3。

師：這是從同學(xué)們中收集到的部分方法。看看每一種，似乎都挺簡(jiǎn)潔。到底該選哪一種呢？還是請(qǐng)大家來(lái)作評(píng)判吧。

……

師：其實(shí)數(shù)學(xué)家選擇了第⑥種方法，并且規(guī)定：以后凡是像這樣用行數(shù)和列數(shù)來(lái)確定一個(gè)點(diǎn)的位置，我們通常都將列數(shù)寫(xiě)前面，行數(shù)寫(xiě)后面。你會(huì)了嗎？讓我們來(lái)試一試吧。

【解讀與評(píng)價(jià)】

這兩個(gè)片段源自同一位教師的設(shè)計(jì)，執(zhí)教時(shí)間前后相隔5年。相同之處是這兩個(gè)片段的預(yù)設(shè)目標(biāo)基本相同，都是基于學(xué)生已經(jīng)掌握了行列法表示物體的位置這一基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用有序數(shù)對(duì)也可以確定物體的位置。對(duì)于為什么要用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置，“方法簡(jiǎn)潔”是教師的小結(jié)，也都用到了“數(shù)學(xué)家”在用這種方法時(shí)的說(shuō)法。簡(jiǎn)潔不等于簡(jiǎn)單，“老師并沒(méi)有打算直接把規(guī)則告訴大家”，在這里兩者的差異呈現(xiàn)出來(lái)了，前者給出了“數(shù)學(xué)家”的一個(gè)答案（不告訴方法），讓學(xué)生根據(jù)答案中學(xué)生的位置與數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系推斷有序表示的規(guī)則。而后者的設(shè)計(jì)是先放開(kāi)讓學(xué)生自己構(gòu)建規(guī)則，然后說(shuō)明和理解“數(shù)學(xué)家”的選擇結(jié)果。前者體現(xiàn)了推理思想，后者體現(xiàn)學(xué)生主體地位。這樣的設(shè)計(jì)，實(shí)踐效果已被認(rèn)可，值得學(xué)習(xí)。

如果要提出商榷的觀點(diǎn)，那么在上面的設(shè)計(jì)中，學(xué)習(xí)任務(wù)是要找到一種“簡(jiǎn)潔方法”來(lái)確定座位。這個(gè)方法就是“有序數(shù)對(duì)”。用“有序數(shù)對(duì)”來(lái)確定座位，方法簡(jiǎn)潔嗎？

在實(shí)際生活中，我們常用“第幾排第幾個(gè)”“第幾組第幾個(gè)”這樣的說(shuō)法，用這種方法大家都知道所說(shuō)的位置在哪里，表達(dá)清晰明白易懂。如果想要說(shuō)得更簡(jiǎn)潔一點(diǎn)，完全可以用省略幾個(gè)字的方法，直接說(shuō)“幾排幾座”，比如“4排2座”，大家都知道這個(gè)位置在第4排第2個(gè)位置。如果用（4，2）的方法，大家反而不知所云。

那么“有序數(shù)對(duì)”用在哪里呢？其實(shí)《課標(biāo)》已有說(shuō)明，學(xué)習(xí)“有序數(shù)對(duì)”的目的是“為進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系做好鋪墊”。也就是說(shuō)“有序數(shù)對(duì)”的價(jià)值更多地是體現(xiàn)在表示平面中點(diǎn)的位置。數(shù)對(duì)其實(shí)就是坐標(biāo)的原型，是點(diǎn)的位置抽象，有了數(shù)對(duì)我們可以計(jì)算點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，可以用數(shù)與式來(lái)描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，等等。因此，在教學(xué)中教師從座位圖引入后不妨早些換成點(diǎn)子圖（見(jiàn)圖 1）。師生根據(jù)點(diǎn)子圖來(lái)研究數(shù)對(duì)所表示的方法與規(guī)則，并且以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“有序數(shù)對(duì)”的價(jià)值。比如，把點(diǎn)（1，5）每次右移1格，將會(huì)得到哪些點(diǎn)？從這些點(diǎn)（2，5），（3，5），（4，5），（5，5），……（x，5）中可以發(fā)現(xiàn)什么？如果把點(diǎn)（2，5）上移或下移，這些點(diǎn)的位置怎樣表示，它們有共同或不同的地方嗎？把點(diǎn)（1，2），（2，3），（3，4）連起來(lái)，你發(fā)現(xiàn)了什么？按照這樣的規(guī)律，下一個(gè)點(diǎn)的位置是什么？等等。

二、繞開(kāi)行列，引入數(shù)軸，接軌坐標(biāo)

數(shù)對(duì)學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)是一年級(jí) “方向”的上下左右，二年級(jí) “找位置”的第幾排第幾個(gè)。在日常生活中則多用排與座。有基礎(chǔ)當(dāng)然好，但會(huì)帶來(lái)負(fù)遷移——能不能繞開(kāi)某些用語(yǔ)，比如排與座、行與列呢？

【片段】

師呈現(xiàn)座位表（圖2）。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)小軍的位置？

生：從左往右數(shù)第4個(gè)。

出示方向箭頭和數(shù)：→4

師：有方向，也有數(shù)，你能想到什么？

生：數(shù)軸。

師：橫著的數(shù)軸，可以稱(chēng)為“橫軸”，豎著的數(shù)軸，可以稱(chēng)為“豎軸”。（出示圖3）

師：由生活中的位置，我們想到了數(shù)學(xué)中的數(shù)軸。有了數(shù)軸，這些位置一眼就看出來(lái)了，既簡(jiǎn)單又方便?。◣煶鍪窘淌抑械淖粓D，再簡(jiǎn)化成點(diǎn)）

師：現(xiàn)在，你能把小明的位置記錄下來(lái)嗎？

學(xué)生活動(dòng)后展示交流。

生：（4-3），（4·3），（4↑3→），（4，3）……

師：為了能確定位置，咱們?cè)僖?guī)定一下，先橫著數(shù)，再豎著數(shù)。（板書(shū)）用這樣的兩個(gè)數(shù)就可以表示一個(gè)位置。為了看得更清楚，咱們用一個(gè)逗號(hào)把兩個(gè)數(shù)隔開(kāi)。這樣的一對(duì)數(shù)，也就是一個(gè)數(shù)對(duì)，表示一個(gè)位置，是一個(gè)整體，咱們用括號(hào)表示。[板書(shū)：（4，3）]

【解讀與評(píng)價(jià)】

整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師沒(méi)有提“行”“列”，只用“橫著數(shù)”“豎著數(shù)”。怎樣數(shù)呢？利用已有經(jīng)驗(yàn)，從一維開(kāi)始，借助數(shù)軸，橫數(shù)從左往右，豎著數(shù)從下往上。因?yàn)槭墙柚鷶?shù)軸，所以在數(shù)軸刻度標(biāo)識(shí)的指引下，數(shù)的方向不會(huì)錯(cuò)。在二維坐標(biāo)系中，學(xué)生經(jīng)歷自主表示點(diǎn)的位置過(guò)程，然后由教師介紹用數(shù)對(duì)表示位置的規(guī)則“先從左到右橫著數(shù)，再?gòu)南峦县Q著數(shù)”，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是“先橫后豎”。這樣教學(xué)淡化了現(xiàn)實(shí)中的物體的定位，也沒(méi)有花費(fèi)很多時(shí)間讓學(xué)生去創(chuàng)造“符號(hào)”來(lái)表示“第幾行、第幾列”，也沒(méi)有比較不同表示方法的優(yōu)劣，而是直接告知學(xué)生為了“統(tǒng)一”“交流”的需要，先橫看再豎看。在教師的引導(dǎo)下，有一定空間想象能力的學(xué)生，可能在腦海中浮現(xiàn)這樣的一個(gè)形象的符號(hào)“”，而這先橫后豎的形象，正好能與后繼“直角坐標(biāo)系”學(xué)習(xí)中的“橫坐標(biāo)”“縱坐標(biāo)”順利接軌。這樣較為直接的教學(xué)，也得到了專(zhuān)家的響應(yīng)。

不過(guò)，引入數(shù)軸、基于數(shù)軸的有序數(shù)對(duì)教學(xué)，與原有的“行列”表示法并不矛盾，如果僅僅是擔(dān)心學(xué)生出錯(cuò)而完全舍棄學(xué)生原有認(rèn)知基礎(chǔ)也會(huì)有局限，在碰到具體問(wèn)題時(shí)，學(xué)生有可能混淆兩者。那么，教師能不能在課中將點(diǎn)子圖教學(xué)完以后再恢復(fù)座位圖，讓學(xué)生思考某同學(xué)的位置可以怎樣表示，然后聯(lián)通幾種表示方法。當(dāng)然，這只是筆者淺見(jiàn)，實(shí)際教學(xué)還需要結(jié)合學(xué)生的原有認(rèn)知基礎(chǔ)。另外，這樣的教學(xué)還有一個(gè)地方不易處理：數(shù)軸的原點(diǎn)。在這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中是直接出現(xiàn)。那么，有沒(méi)有更好的呈現(xiàn)方式呢？

三、追本溯源，豐富結(jié)構(gòu)，凸顯符號(hào)思想

用數(shù)對(duì)確定位置不是簡(jiǎn)單地將“行、列、排、座”升級(jí)，而是有其數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在脈絡(luò)。我們知道要確定點(diǎn)的位置在一維、二維、三維空間中所需的參數(shù)是不同的，也就是說(shuō)，有序數(shù)對(duì)以及今后學(xué)習(xí)的坐標(biāo)是空間結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述方法之一。能不能根據(jù)空間結(jié)構(gòu)的層次來(lái)學(xué)習(xí)有序數(shù)對(duì)的表示呢？

【片段】

師：今天老師把劉謙這個(gè)大魔術(shù)師請(qǐng)來(lái)了。不過(guò)我把劉謙藏在這些點(diǎn)的后面。（師在黑板上畫(huà)了5個(gè)點(diǎn)）你知道劉謙藏在哪兒?jiǎn)幔?/p>

生（疑惑）：每個(gè)點(diǎn)的后面都有可能，少條件。

師（在黑板上寫(xiě)數(shù)“2”）：現(xiàn)在你能知道嗎？

生：我覺(jué)得要么藏在從左邊數(shù)的第二個(gè)點(diǎn)的后面，要么藏在從右邊數(shù)的第二個(gè)點(diǎn)的后面，還少條件……

師（標(biāo)出方向“→”）：現(xiàn)在呢？

師：你們真聰明。（師畫(huà)上25個(gè)點(diǎn)）劉謙又給了我們這樣的條件（2，5），他藏在哪兒？（師根據(jù)學(xué)生的回答標(biāo)記出所有的可能點(diǎn)）

師：還缺少什么條件？如果老師給你提示（4，1），它表示什么？能幫你找到劉謙藏哪兒?jiǎn)幔?/p>

師：對(duì)，你們說(shuō)得好，這個(gè)位置我們用（2，5）表示。（2，5）在數(shù)學(xué)上叫數(shù)對(duì)，寫(xiě)的時(shí)候，先寫(xiě)表示列的數(shù)，再寫(xiě)表示行的數(shù)，也就是“先列后行”，最后寫(xiě)兩邊的括號(hào)。你會(huì)寫(xiě)了嗎？

【解讀與評(píng)價(jià)】

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師也讓學(xué)生猜某人的位置，與前面不同的是，并不是直接出現(xiàn)二維的座位圖，而是把“有序數(shù)對(duì)”與“維”聯(lián)系起來(lái)：①當(dāng)有多個(gè)點(diǎn)（位于同一直線上）時(shí)，確定某個(gè)點(diǎn)的位置不僅要有方向還要有距離——從左還是右數(shù)起，從上還是下數(shù)起？離參照物（原點(diǎn)）是多少？②在平面上如何確定點(diǎn)的位置呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)條件不夠了，因?yàn)樗枰獌蓚€(gè)不同方向的距離來(lái)描述！所以，需要兩個(gè)數(shù)來(lái)描述，并且還要統(tǒng)一描述規(guī)則。在課堂上一句“還要加什么條件？”的多次問(wèn)題引導(dǎo)，既尊重了學(xué)生個(gè)體，還生成了多次對(duì)新條件的探索，更加深了學(xué)生對(duì)數(shù)對(duì)位置概念的理解與體驗(yàn)。

為什么需要數(shù)對(duì)，為什么需要有序數(shù)對(duì)？在這個(gè)片段中我們可以看到清晰的脈絡(luò)。像這樣基于空間結(jié)構(gòu)層次的教學(xué)設(shè)計(jì)，就把一個(gè)幾何概念所蘊(yùn)含的結(jié)構(gòu)性及所需要的統(tǒng)一性給揭示出來(lái)了。

有教師可能會(huì)疑問(wèn)：這樣教學(xué)對(duì)學(xué)生的要求高，學(xué)生能不能適應(yīng)？如果擔(dān)心學(xué)生不能根據(jù)（4，1）發(fā)現(xiàn)規(guī)則，那么教師可以適時(shí)添上數(shù)軸，借助數(shù)軸，學(xué)生更有可能發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系。畢竟，在這則教學(xué)中點(diǎn)與數(shù)對(duì)之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的規(guī)律還是很重要的。

數(shù)學(xué)規(guī)則的形成既有其歷史的偶然性體現(xiàn)在人為因素中，又有其學(xué)科發(fā)展的必然性體現(xiàn)在其背后的科學(xué)因素中，對(duì)其不同的解讀在教學(xué)中產(chǎn)生了多元的目標(biāo)和相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)。有種說(shuō)法是“教什么”比“怎么教”更重要，其實(shí)兩者是相輔相成的。在與讀者分享眾多教師智慧而感到喜悅的同時(shí)，也因囿于自身水平，不能介紹更多的研究成果而遺憾。本文旨在拋磚引玉，期待有更多的教育智慧共同分享。

（浙江省新思維教育科學(xué)研究院 310007）