數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累常見(jiàn)問(wèn)題的成因及對(duì)策

陳春銀

當(dāng)前，廣大教師對(duì)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要意義已經(jīng)有了一定的認(rèn)識(shí)，能夠比較自覺(jué)地在實(shí)踐中多途徑、全方位豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。但是，在教學(xué)中我們也發(fā)現(xiàn)了一些常見(jiàn)問(wèn)題，比如課堂上往往注重活動(dòng)形式，表面上轟轟烈烈、異常活躍，實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為假、大、空，學(xué)生未能從真正意義上獲得具體而又深刻的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。對(duì)此，教師有必要尋找問(wèn)題產(chǎn)生的根源，進(jìn)行正確的歸因分析，并采取有效的對(duì)癥措施，不斷豐富和提升學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)“四基”教學(xué)的高效化！

一、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累中常見(jiàn)問(wèn)題及歸因

（一）動(dòng)手操作“機(jī)械化”，直接經(jīng)驗(yàn)層次不高

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中逐步積累的，有效活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累必須以有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)作支撐。在操作活動(dòng)中，有意義、有目的、有序列的操作利于學(xué)生積累正確的操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但是，讓學(xué)生機(jī)械、生硬地操作則無(wú)助于學(xué)生直接經(jīng)驗(yàn)的有效積累。課堂上，我們常?？吹竭@樣的情況：教師預(yù)先設(shè)計(jì)好操作步驟，讓學(xué)生借助操作活動(dòng)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立正確的表象。但一些學(xué)生只動(dòng)手操作卻不能主動(dòng)思考，只是被動(dòng)、機(jī)械地完成規(guī)定程序。

比如在教學(xué)“平行四邊形的面積計(jì)算公式”時(shí)，一位教師進(jìn)行了這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，要求學(xué)生進(jìn)行如下操作：

（1）沿著平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條高；

（2）沿高剪出一個(gè)三角形和一個(gè)梯形；

（3）把三角形沿著平行四邊形的一條底平移，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

接著教師讓學(xué)生觀察剪拼前后什么不變？并思考：怎樣推導(dǎo)出面積計(jì)算公式？在這樣的活動(dòng)中，學(xué)生按部就班完成了規(guī)定的操作任務(wù)，但是否從真正意義上形成較高層次的“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”呢？

思考一：學(xué)生按圖索驥，只知道畫(huà)高，但為什么要沿著高剪開(kāi)，他們并沒(méi)有去體會(huì)這樣剪拼的目的。

思考二：沿著平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)高，這只是一種剪拼的路徑，教師設(shè)計(jì)的固定路徑是否限制了學(xué)生的思維？事實(shí)上，還可以剪出兩個(gè)直角梯形去拼，路徑是多樣的。

由此可見(jiàn)，學(xué)生在操作活動(dòng)中缺乏主動(dòng)思考和創(chuàng)造意識(shí)，只是被動(dòng)完成程序，在教師指定的路上行走，多樣化的路徑以及多樣化中的優(yōu)化過(guò)程被簡(jiǎn)單化，學(xué)生“動(dòng)”而不思，難有經(jīng)驗(yàn)可言或者經(jīng)驗(yàn)的層次不高。

（二）關(guān)系理解“膚淺化”，思維經(jīng)驗(yàn)活性不夠

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。學(xué)生在理解數(shù)量關(guān)系、空間形式時(shí)，往往未能真正地理解它們的特征，尤其沒(méi)有深度構(gòu)建內(nèi)在聯(lián)系。顯然，這樣的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)得不夠深刻，沒(méi)有形成一定的活性。

比如教學(xué)這樣的一道題：從甲地到乙地，一輛汽車去時(shí)平均每小時(shí)行80千米，回來(lái)時(shí)平均每小時(shí)行100千米，求這輛汽車來(lái)回平均每小時(shí)行多少千米。

大部分學(xué)生不假思索地列式：（100+80）÷2=90（千米）。他們是這樣理解數(shù)量關(guān)系的：（去時(shí)平均每小時(shí)行的千米數(shù)+回來(lái)時(shí)平均每小時(shí)行的千米數(shù)） ÷2=90（千米）。這樣的理解反映了學(xué)生對(duì)平均數(shù)“移多補(bǔ)少” 體會(huì)的粗淺，他們確信這種經(jīng)驗(yàn)是正確的，但恰恰反映了學(xué)生思維經(jīng)驗(yàn)的局限性和片面性；另一方面也表明了學(xué)生對(duì)去時(shí)平均每小時(shí)行的千米數(shù)、回來(lái)時(shí)平均每小時(shí)行的千米數(shù)與來(lái)回平均每小時(shí)行的千米數(shù)沒(méi)有區(qū)分開(kāi)來(lái)，沒(méi)有從這道題的已知信息出發(fā)，真正理解“移多補(bǔ)少”的內(nèi)涵和這類題的關(guān)系特征：總路程÷總時(shí)間=平均數(shù)，而總路程和總時(shí)間都是未知的，可以通過(guò)假設(shè)法、列方程法等來(lái)解決問(wèn)題。學(xué)生正確的經(jīng)驗(yàn)并未真正積累，需要教師加以比較，引領(lǐng)學(xué)生形成正確的經(jīng)驗(yàn)。

（三）問(wèn)題解決“盲動(dòng)化”，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)比較缺乏

生活中的一些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，由于現(xiàn)實(shí)生活與學(xué)生認(rèn)知實(shí)際存在一定的差距，或者學(xué)生對(duì)生活情境的無(wú)動(dòng)于衷，造成一些學(xué)生看似處于解決問(wèn)題的狀態(tài)，但實(shí)質(zhì)上經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備“一片空白”，處于不理解的狀態(tài)，解決問(wèn)題時(shí)顯得盲動(dòng)，未能構(gòu)建解決問(wèn)題的模型。

筆者曾教過(guò)這樣一名學(xué)生，他的父親是開(kāi)出租車的，每天送孩子到校上課。有一次，筆者出了這樣一道題：王華乘出租車去5千米處的新華書(shū)店購(gòu)買書(shū)籍，出租車起步價(jià)8元（3千米以內(nèi)），以后每增加1千米付1.5元。王華一共付了多少元？

大部分同學(xué)都順利地解決了問(wèn)題，這名學(xué)生直接列式：8+1.5×5。我很納悶：為什么每天置身于“乘車情境”體驗(yàn)乘車生活，卻不能正確解決這樣的實(shí)際問(wèn)題呢？而一些學(xué)生很少乘車，卻能夠建構(gòu)模型呢？

事實(shí)表明，有乘車經(jīng)歷的學(xué)生不一定有解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，如果不能主動(dòng)地思考，依然不能形成豐厚的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（四）差錯(cuò)辨析“模糊化”，融錯(cuò)教育流于形式

在教學(xué)中，不少學(xué)生在教師的指導(dǎo)下對(duì)于學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的差錯(cuò)雖然能夠糾正，但這樣的糾正往往浮于表面，主要表現(xiàn)為：關(guān)注結(jié)果、忽視過(guò)程，對(duì)錯(cuò)誤的原因沒(méi)有刨根問(wèn)底；依葫蘆畫(huà)瓢、未主動(dòng)建構(gòu)，訂正過(guò)程流于形式；等等。由于學(xué)生未能認(rèn)真有效地反思，這樣的活動(dòng)有過(guò)程但無(wú)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，因而這樣的教學(xué)是低效的。

二、解決問(wèn)題的主要對(duì)策

（一）引領(lǐng)自主操作，在比較優(yōu)化中提升活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

對(duì)于操作活動(dòng)而言，如果只有動(dòng)手體驗(yàn)，沒(méi)有抽象提煉的過(guò)程，將動(dòng)手操作淪為課堂的一種表演方式，這樣的活動(dòng)是徒勞而無(wú)益的。因此，在教學(xué)活動(dòng)中要強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)作思維，幫助學(xué)生積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

以教學(xué)“三角形的內(nèi)角和是180度”這一知識(shí)點(diǎn)為例。

一是應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生明確操作的意義，即“為什么這樣操作”，進(jìn)而引領(lǐng)學(xué)生自行設(shè)計(jì)活動(dòng)方案，對(duì)操作方法有所體驗(yàn)和感悟，以利于學(xué)生實(shí)施遷移。教師可以先組織學(xué)生交流：三角形按角分類可以分成哪幾類？猜想一下： 為什么有一個(gè)角是直角或有一個(gè)角是鈍角時(shí)就能確定三角形的類型呢？很可能與三角形的什么有關(guān)？學(xué)生往往作出這樣的猜想：可能與三角形三個(gè)角的和有關(guān)。教師繼續(xù)拋出問(wèn)題：要探索三角形三個(gè)角的和，你準(zhǔn)備怎樣設(shè)計(jì)研究方案？學(xué)生通過(guò)交流，設(shè)計(jì)了這樣一些方案：先準(zhǔn)備一些不同類型的三角形，然后量一量每個(gè)角的度數(shù)，再相加；還可以先折一折，將三個(gè)角拼在一起，看組成一個(gè)怎樣的角（設(shè)計(jì)這種方案的學(xué)生相對(duì)較少）……通過(guò)設(shè)計(jì)活動(dòng)方案，學(xué)生積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)活動(dòng)的目的有了清晰認(rèn)識(shí)，對(duì)操作過(guò)程有了自主的設(shè)計(jì)。

二是探索不同的操作路徑。教師要啟迪學(xué)生思考怎樣操作的問(wèn)題。在各個(gè)小組，學(xué)生自己選擇方法進(jìn)行研究，有的采用量一量、算一算的方法；有的采用拼一拼、比一比的方法。在量一量、算一算的活動(dòng)中，教師為各個(gè)小組提供了不同類型的三角形，便于學(xué)生進(jìn)行豐富而深刻的探索。學(xué)生通過(guò)操作又產(chǎn)生了新的問(wèn)題：三角形三個(gè)角的和接近180°，但不一定正好是180°，有的學(xué)生認(rèn)為：三角形的內(nèi)角和一定是180°。教師繼續(xù)拋出問(wèn)題：看來(lái)，利用算一算的方法還具有一定的誤差！那有沒(méi)有其他操作的方法呢？有的小組展示了折一折、撕一撕（這樣操作的學(xué)生并不多，教師可以激勵(lì)學(xué)生展示評(píng)價(jià)）的過(guò)程，將三個(gè)角拼在一起，形成了一個(gè)平角，一個(gè)平角是180°，所以三角形的內(nèi)角和也是180°。為了進(jìn)一步驗(yàn)證，教師借助多媒體進(jìn)行了拼角過(guò)程的演示，讓學(xué)生形成了正確的表象。

三是注重操作方法的優(yōu)化比較。學(xué)生真正意義上的積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，還在于他們主動(dòng)尋求有序操作并優(yōu)化操作過(guò)程。在教學(xué)“三角形內(nèi)角和是180度”之后，一名教師設(shè)計(jì)了一個(gè)富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題：如果給你一個(gè)任意的四邊形、五邊形等，你能設(shè)計(jì)出求內(nèi)角和的研究方案嗎？學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣一些方案：可以先量一量各個(gè)角的度數(shù)，再相加；還可以折一折或撕一撕，看拼成的角是一個(gè)什么角（學(xué)生自問(wèn)：如果大于一個(gè)周角怎么辦？）；也可以先分一分，看能不能分成幾個(gè)三角形，再用三角形的內(nèi)角和乘三角形的個(gè)數(shù)；等等。經(jīng)過(guò)思辨發(fā)現(xiàn)：隨著角的個(gè)數(shù)的增多，量一量、拼一拼的方法都比較麻煩，將這些多邊形分成一些三角形進(jìn)行研究比較快捷。

顯而易見(jiàn)，操作經(jīng)驗(yàn)的獲得不僅僅是靠學(xué)生簡(jiǎn)單的操作一下就行的，而是建立于明確操作目的、精設(shè)操作方案、嘗試多種操作、比較優(yōu)化方法等系列活動(dòng)之中，只有這樣，經(jīng)驗(yàn)的積累才會(huì)豐富、深刻并富有意義。

（二）啟迪準(zhǔn)確分析，在拓寬思路中豐實(shí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在解決實(shí)際問(wèn)題的活動(dòng)中，學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系、主動(dòng)建構(gòu)模型的經(jīng)驗(yàn)不足，教師應(yīng)從學(xué)生認(rèn)知實(shí)際出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生準(zhǔn)確分析數(shù)量之間的關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)模型，不斷豐實(shí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

如以下面這道題的教學(xué)為例：兩個(gè)小隊(duì)一共植樹(shù)105棵，其中第一小隊(duì)植樹(shù)棵數(shù)是第二小隊(duì)的。兩個(gè)小隊(duì)各植樹(shù)多少棵？

教師可以先啟迪學(xué)生思考：由“第一小隊(duì)植樹(shù)棵數(shù)是第二小隊(duì)的”你想到了什么？在小組里交流。

學(xué)生出現(xiàn)了各種各樣的想法：第二小隊(duì)植樹(shù)棵數(shù)是第一小隊(duì)的；兩個(gè)小隊(duì)一共植樹(shù)棵數(shù)是第二小隊(duì)的（1+）；第一小隊(duì)植樹(shù)棵數(shù)是兩個(gè)小隊(duì)植樹(shù)總棵數(shù)的， 第二小隊(duì)植樹(shù)棵數(shù)是兩個(gè)小隊(duì)植樹(shù)總棵數(shù)的； 設(shè)第二小隊(duì)植樹(shù)x棵，則第一小隊(duì)植樹(shù)x棵，兩隊(duì)一共植樹(shù) （1+）x棵……

教師繼續(xù)啟迪學(xué)生從不同的角度尋找數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生思維活躍，解決問(wèn)題的路徑多種多樣，如：

用整數(shù)方法解決：

第一小隊(duì)：105÷（2+5）×2

第二小隊(duì)：105÷（2+5）×5

用按比例分配的方法解決：

第一小隊(duì)：105×

第二小隊(duì)：105×

用分?jǐn)?shù)知識(shí)解決：

第二小隊(duì)： 105 ÷ （1+）

用方程解決：

解：設(shè)第二小隊(duì)植樹(shù)x棵

x+x=105

在這樣的活動(dòng)中，學(xué)生從不同角度分析數(shù)量之間的關(guān)系，體驗(yàn)了不同方法的運(yùn)用，生成了多種解決問(wèn)題的路徑，獲得了多樣化的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題、深度理解數(shù)量關(guān)系提供了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

（三）注重聯(lián)系實(shí)際，在建構(gòu)模型中升華活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)實(shí)踐表明，生活中的一些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，一些學(xué)生看似解決了，但他們只是“就事論事”，解決問(wèn)題或是不合情理，或是不夠優(yōu)化。

由于部分學(xué)生對(duì)這樣的“實(shí)際生活”缺乏體驗(yàn)，他們建立了這樣的模型：每次玩?zhèn)€人項(xiàng)目，盡可能每個(gè)項(xiàng)目付出的錢數(shù)要少，所以絕大部分學(xué)生的解答是打水球、水上射擊、參觀水族館（或游泳）等。

針對(duì)這樣的問(wèn)題，教師可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)模擬現(xiàn)實(shí)情境，并讓學(xué)生進(jìn)行小組交流：在生活中坐船時(shí)，是一個(gè)人單獨(dú)坐船，還是幾個(gè)人合坐一條船？租金怎樣分擔(dān)？

通過(guò)交流，學(xué)生意識(shí)到：也可以參與一些集體項(xiàng)目， 每個(gè)人可以平均分擔(dān)租金。解決問(wèn)題的模型發(fā)生了質(zhì)的變化：由“每次參加單人項(xiàng)目、盡可能選擇付出錢數(shù)少的”到“既可以參加集體項(xiàng)目也可以參加個(gè)人項(xiàng)目、盡可能選擇付出錢數(shù)少的”。

數(shù)學(xué)離不開(kāi)生活，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)源于對(duì)生活的思考。在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生解決了問(wèn)題。8÷4=2（元），6÷2=3（元），10=2+3+2+3。因此，最多可以玩四個(gè)項(xiàng)目。

由此可見(jiàn)，教學(xué)中教師必須聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，讓生活經(jīng)驗(yàn)促發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，從而促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)解決問(wèn)題的模型。

（四）巧妙實(shí)現(xiàn)融錯(cuò)，在辨析矯正中深化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

教學(xué)中學(xué)生會(huì)生成許多錯(cuò)誤，教師如果充分利用這些“差錯(cuò)”資源，讓學(xué)生進(jìn)行辨析、矯正，經(jīng)歷思辨、比較過(guò)程，可以有效提升學(xué)生的思維經(jīng)驗(yàn)。

在六年級(jí)教學(xué)中，對(duì)于“正方形的面積與邊長(zhǎng)成正比例嗎”這一論題，學(xué)生的初始練習(xí)錯(cuò)誤率達(dá)40%左右，一周后再次練習(xí)錯(cuò)誤率依然較高。學(xué)生一錯(cuò)再錯(cuò)，這表明了學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)尤為膚淺。究其原因，從審題方面看，有的學(xué)生審題失誤，將面積看成周長(zhǎng)；從思維層面看，有的學(xué)生思路不暢，對(duì)面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系含糊不清；從糾錯(cuò)態(tài)度看，有的學(xué)生應(yīng)付了事，寫(xiě)個(gè)答案算了；當(dāng)然，還可能有其他原因。不妨從以下幾個(gè)維度幫助學(xué)生構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)。

經(jīng)驗(yàn)之一在于對(duì)意義的深度理解。正方形的面積與邊長(zhǎng)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，關(guān)鍵是看相對(duì)應(yīng)量的兩個(gè)數(shù)之比的比值是否一定（如下表）。

經(jīng)驗(yàn)之二在于辨析知識(shí)點(diǎn)易混處。對(duì)于正方形的面積與邊長(zhǎng)、正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)而言，它們之間的關(guān)系有怎樣的區(qū)別？要讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)關(guān)系進(jìn)行比較：

正方形的面積÷ 邊長(zhǎng)=邊長(zhǎng)

正方形的周長(zhǎng)÷邊長(zhǎng)=4

通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)：正方形的面積除以邊長(zhǎng)，比值表示邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)在變化，不符合正比例的意義；而正方形的周長(zhǎng)除以邊長(zhǎng)，商4，比值一定，所以正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)成正比例關(guān)系。

經(jīng)驗(yàn)之三在于審題的認(rèn)真細(xì)致。引領(lǐng)學(xué)生觀察，在解決問(wèn)題時(shí)，要細(xì)心審題，不能屢錯(cuò)屢犯。

總之，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是教學(xué)的重中之重，教師不僅要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)行歸因分析，還要善于尋求有效的方法對(duì)癥下藥，促進(jìn)學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷積累，學(xué)習(xí)水平不斷提高，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)的新境界！

（江蘇省如皋經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 226500）