關(guān)于熱傳導(dǎo)方程源項系數(shù)的確定方法

甄葦葦，曾 劍，任建龍

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

關(guān)于熱傳導(dǎo)方程源項系數(shù)的確定方法

甄葦葦，曾 劍，任建龍

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

考慮了一類利用終端觀測值反演熱傳導(dǎo)方程中源項系數(shù)的反問題,此類問題無論是在理論討論還是在實際應(yīng)用中都有極其重要的研究意義?；谧顑?yōu)控制框架下討論了控制泛函極小元的存在性及其滿足的必要條件,最后證明了最優(yōu)解的唯一性及穩(wěn)定性。

熱傳導(dǎo)方程;最優(yōu)控制; 唯一性; 穩(wěn)定性

本文考慮一類特殊的退化拋物型方程的源項系數(shù)的反問題,具體的數(shù)學(xué)模型如下:

(1)

其中0<α<1且c(x)和φ(x)是兩個給定的光滑函數(shù)滿足如下條件:

φ(x)∈L2(0,1),φ(x)≥0,φ(x)≡0,x∈(0,1),

(2)

而f(x)是未知系數(shù)滿足:f∈L2(Q)。

假設(shè)給定如下的附加條件：

u(x,T)=g(x),x∈[0,l],

(3)

其中：g(x)是一個已知函數(shù)。利用條件(1)/條件(3)來同時確定函數(shù)u和f。

鑒于不適定問題的研究是偏微分方程的一個重要分支[1,2]。許多學(xué)者針對類似于式(1)/式(3)的問題求解做了大量的研究工作[3-8],該問題的難度在于問題的不適定。文獻[3,4]中作者運用最優(yōu)控制理論框架反演了方程ut-a(x)uxx+b(x)ux+c(x)u=f(x,t),(x,t)∈Q中的首項系數(shù)a(x),而對于反演方程中源項f=f(x)的情況可參見文獻[5]。文獻[6]利用觀測數(shù)據(jù)從數(shù)值計算的角度對拋物型方程中未知源項的反演問題做了研究。文獻[8]研究了一類時間分?jǐn)?shù)階擴散方程的源項反演問題。

1 最優(yōu)化問題

由于問題是嚴(yán)重不適定的,故我們將原系數(shù)反演問題轉(zhuǎn)化為如下的一個優(yōu)化控制問題。

(4)

其中

(5)

Α={f(x)|0<γ≤f≤κ,fx∈L2(0,1)},

(6)

u(x,t;f)是對應(yīng)于任意給定的系數(shù)f(x)∈Α,方程(1)的解,N是正則化參數(shù),γ,κ是兩個給定的正數(shù)。

我們要求觀測數(shù)據(jù)g(x)滿足:

g(x)∈C(0,1),

(7)

并假設(shè)c(x)有下界,即c(x)≥c0,其中c0是一個正整數(shù)。

首先,我們對正問題做一些討論,給出幾個相關(guān)的定義及引理。

定義1.2u是方程(1)的弱解,如果滿足u∈C([0,T];L2[0,1]∩B),u(x,0)=φ(x),x∈(0,1),并且對任意的t∈(0,T],有如下的積分方程:

(8)

引理1.1 對任意給定的f∈L(0,1),φ∈L(0,1),方程(1)存在唯一弱解且滿足如下估計式：

2 必要條件

定理2.1 令f是最優(yōu)控制問題(5)的極小元,則存在三元函數(shù)組(u,v;f)滿足下面條件：

(9)

(10)

和

(11)

證明: 對任意h∈Α,0≤δ≤1有

fδ≡(1-δ)f+δh∈Α。

則有

(12)

令uδ為方程(1)對應(yīng)于給定系數(shù)f=fδ的解。由于f是控制問題(5)的最優(yōu)解,從而有

(13)

(14)

(15)

由式(14)得到

(16)

令Lξ=ξt-((x+τ)αξx)x+cξ,并假設(shè)η是下面方程的解

(17)

這里L(fēng)*是算子L的共軛算子。

由格林公式可得

(18)

得

(19)

定理2.1證畢。

3 唯一性和穩(wěn)定性

定理3.1 假設(shè)g1(x)和g2(x)是滿足條件(7)的兩個給定的函數(shù),并令f1(x)和f2(x)為最優(yōu)控制問題的p1為別對應(yīng)于g1(x)和g2(x)的極小元。如果存在一點x0∈[0,1]使得f1(x0)=f2(x0),則有下面的估計

這里C與T,l及N無關(guān)。

證明: 在式(11)中,當(dāng)f=f1時取h=f2,而當(dāng)f=f2時取h=f1,于是有

(20)

(21)

這里{ui,ξi}(i=1,2)分別是方程(9)和方程(10)當(dāng)f=fi(i=1,2)時的解。

令u1-u2=U,ξ1+ξ2=E,則U和E滿足

(22)

(23)

由極值原理知方程(23)只有零解,于是可得

ξ1(x,t)=-ξ2(x,t)。

(24)

此外,ξ1滿足下面的方程

(25)

由式(22)和式(25)可知

U(x,t)=-ξ1(x,t)。

(26)

由式(20)、式(21)、式(25)及式(26)可得

(27)

由定理3.1的假設(shè)和H?lder不等式,在0≤x≤1上有

(28)

由此可得

(29)

合并式(28)和式(29)有

定理證畢。

[1] 姜禮尚,陳亞浙.數(shù)學(xué)物理方程講義[M].3版.北京:高等教育出版社,2006:108-158.

[2] 劉繼軍.不適定問題的正則化方法及應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2005:51-55.

[3] Jiang L S,Chen Q H,Wang L J.A new well-posed algorithm to recover implied local volatility[J].Quantitative Finance,2003,3(6):451-457.

[4] Jiang L S,Tao Y S.Identifying the volatility of underlying assets from option prices[J].Inverse Problems,2001,17(1):137-155.

[5] Yang L,Deng Z C,Yu J N.Optimization method for the inverse problem of reconstructing the source term in a parabolic equation[J].Math Comput Simul,2009,80(2):314-326.

[6] Yang L,Dehghan M,Yu J N.Inverse probem of time-dependent heat sources numerical reconstruction[J].Math Comput Simul,2011,81(8):1656-1672.

[7] Deng Z C,Yang L.An inverse problem of identifying the radiative coefficient in a degenerate parabolic equation[J].Chinese Annals Math,2014,35B(3):355-382.

[8] Yang F, Fu C L.Amollification regularization method for the inverse spatial-dependent heat source problem[J].J Comput Appl Math,2014,255(2): 555-567.

Method for Identifying the Source Term Coefficient in a Class of Heat Conduction Equations

ZHEN Weiwei, ZENG Jian, REN Jianlong

(Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

This paper studies an inverse problem of identifying the source term coefficient in a class of heat conduction equations from the final observation, which is of great significance both in theory and practice. Based on the optimal control framework, the existence of the minimizer and the necessary conditions are deduced. At the end of the paper, the uniqueness and the stability of the solution are also proved.

heat conduction equations; optimal control; uniqueness; stability

10.3969/j.issn.1674-5403.2017.04.015

O175.26

A

1674-5403(2017)04-0065-05

2017-07-17

甄葦葦(1994-),女,山西長治人,在讀碩士研究生,主要從事數(shù)學(xué)物理反問題方面的研究.

國家自然科學(xué)基金項目(11261029).