高中數(shù)學中三角函數(shù)解題思路教學探析

陳艷

【內(nèi)容摘要】三角函數(shù)是數(shù)學知識的一個特殊的領(lǐng)域，在高中數(shù)學知識的學習中，三角函數(shù)所占的比重是非常大的。三角函數(shù)也具有獨特的解題思維，教師在三角函數(shù)解體的思路上要打開學生思維。另外，三角函數(shù)方面的知識也是非常錯綜復雜的，三角函數(shù)知識包括嚴謹?shù)乃季S邏輯，復雜多變的函數(shù)公式和千變?nèi)f化的函數(shù)圖像。解答三角函數(shù)方面的問題要掌握正確的方式方法，需要掌握的不僅僅是解體方法，更重要的是要有解題的思維。下面就三角函數(shù)的概念、公式和思維方式淺談自己的觀點。

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 思維 解題方法

一、深刻理解概念

在解答三角函數(shù)的問題之前，應該先將書本上三角函數(shù)的概念吃透。課本上總結(jié)的函數(shù)概念都是數(shù)學家經(jīng)過嚴謹?shù)耐魄玫玫降?，非常具有理解價值。另一方面來講，三角函數(shù)的概念也是函數(shù)的基本定義，正確解答高中三角函數(shù)的題目，深刻的理解概念就是重要前提。三角函數(shù)領(lǐng)域的概念也是相當多的，比如正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義和其單調(diào)區(qū)間的確定等。如何熟練的掌握繁多的概念定義決定了是否能夠正確解答三角函數(shù)的題目，在學習概念時要分析概念中的每一個字，每一句話，仔細推敲和反復練習題目進行鞏固。

例如函數(shù)f（x）=A sin（Cx-π6）+1（A>0，C>0）的最大值為3，其圖像相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）設(shè)α∈（0，π2），則f（α2）=2，求α的值

解析：本題考察三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)，熟練掌握倍角公式及公式之間的運算，考察基本功，通過圖形來判斷各方面之間的關(guān)系，通過觀察圖像的對稱軸來寫出解析式可以很好的解析本題，以此來解答本題，切記不可混淆各個公式。

解：（1）因為函數(shù)f（x）的最大值是3，所以A+1=3，即A=2.

因為函數(shù)圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，所以最小周期值T=π，所以C=2.故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x-π6）+1.

（2）因為f（α2）=2sin（α-π6）+1=2，即sin（α-π6）=12，因為0<α<π2，所以-π6<α-π6<π3，所以α-π6=π6，故α=π3.

二、準確記住公式

高中數(shù)學三角函數(shù)領(lǐng)域中的公式可謂是最多的而且是最具有靈活性的，繁多的函數(shù)公式和變化多端的函數(shù)變換形式使得解答三角函數(shù)題目難上加難。在學習公式的時候，要掌握三角函數(shù)公式的規(guī)律，三角函數(shù)的公式都是具有很強的關(guān)聯(lián)性的。例如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)、正切函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，三角函數(shù)的二倍角公式和萬能公式的使用。這些都是有很強的關(guān)聯(lián)的。在掌握公式的時候，可以自己創(chuàng)一個公式口訣來幫助記憶。另外，在利用三角函數(shù)公式進行解題時，要正確的運用公式，因為三角函數(shù)的大部分公式之間都是可以相互轉(zhuǎn)換的，只要換一個思路就可以換一個函數(shù)公式進行解答。但是最好的解答方式是運用最簡便的公式解出題目，可以適當?shù)幕睘楹?，根?jù)良好的解題思路運用適當?shù)暮瘮?shù)公式進行解答。

例如，已知角α的終邊經(jīng)過點（3，-4），則tanα2=（ ）。

分析：解答這類三角函數(shù)的題目時，要熟練的掌握三角函數(shù)的圖像和公式之間的轉(zhuǎn)換。利用任意角的三角函數(shù)的定義先求出tanα的值，然后再由三角函數(shù)

的二倍角公式可求出tanα2的值。因為題目中提出角a的終邊上的點P（3，-4），所以可以知道α2是第二象限角或者是第四象限角。然后由任意角的三角函數(shù)的定義可得tanα=-43。然后利用三角函數(shù)的二倍角公式可以求出tanα2=-12或tanα2=2。因為α2是第二象限角或者是第四象限角，所以tanα2的值為負值，所以舍去結(jié)果tanα2=2。則tanα2=-12.所以此題的答案就解出來了。

三、培養(yǎng)學生的思維能力

三角函數(shù)知識的學習最重要的就上要具有抽象的思維能力和解題思路。三角函數(shù)領(lǐng)域的題目都是比較固定的形式，所以解答三角函數(shù)的題目不可以用“背題”的方法進行解答。三角函數(shù)對于學生的思維能力要求較高，因為三角函數(shù)在日常生活中的應用不是特別廣泛，這就導致學生接觸三角函數(shù)的案例的機會很少。所以，培養(yǎng)學生的抽象的思維能力和嚴謹?shù)慕忸}思維是解答三角函數(shù)問題的有效前提。

例如平面區(qū)域如下圖所示，使目標函數(shù)z=x+a y（a>0），取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值是多少（ ）。

在分析這道三角函數(shù)的題目時，要求學生掌握三角函數(shù)圖像的特點，先對目標函數(shù)z=x+a y（a>0）進行變形，得到y(tǒng)=1ax+za.根據(jù)目標函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個可以得出1a=-23.則a的值為1a的倒數(shù)，即為32.所以此題的答案就是a=32.

結(jié)束語

三角函數(shù)的問題說簡單也不簡單，但是說難也不難。學生在解答三角函數(shù)之類的數(shù)學問題時要利用正確的方法，鍛煉自己的數(shù)學思維和抽象思維，肯于勤下功夫去了解它，鉆研它，那么一切的問題都會迎刃而解的。高中三角函數(shù)相對來說比較難，解答問題的阻力也會隨著變大，但是，學生只要掌握合理的學習方法和培養(yǎng)正確的解題思路，三角函數(shù)就變成了一成不變的題目。無非就是公式的互相轉(zhuǎn)換，函數(shù)圖象的平移、翻轉(zhuǎn)變化。教師在授課時也要把側(cè)重點偏移到培養(yǎng)學生思維能力和解題思路上去，使三角函數(shù)問題不再成為學生的困擾。

【參考文獻】

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[2] 劉玉生著《三角函數(shù)公式之間的轉(zhuǎn)換》[M].東方出版社.2015（15）：143-146.

[3] 張志《學習思維的培養(yǎng)》[M].人民教育出版社.2016（13）：213-214.

（作者單位：長春市養(yǎng)正高級中學）