讓數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)落地生根

沈文漢 李賓

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)確定為重要的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，成為“四基”之一，要讓數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)落地生根，不僅要明確什么是數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更要精心耕耘學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的土壤，探索積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的途徑和方法，通過(guò)落實(shí)過(guò)程性目標(biāo)、轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式、豐富活動(dòng)內(nèi)涵、強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用等措施積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；過(guò)程性目標(biāo)；數(shù)學(xué)應(yīng)用；初中數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2018）11A-0062-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》課程目標(biāo)中明確提出，通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[1]。由于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有“內(nèi)隱性”的特征，所以它不像其他“三基”那樣“道得清、說(shuō)得明”，它是看不見、摸不著的，有時(shí)很難用直觀語(yǔ)言表達(dá)，有時(shí)用傳統(tǒng)的評(píng)價(jià)方式無(wú)法考察、無(wú)法測(cè)量。如果我們不能從義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的培養(yǎng)目標(biāo)出發(fā)，不能從學(xué)生的全面發(fā)展和終身發(fā)展出發(fā)，對(duì)“四基”各自的教育功能和教育價(jià)值沒(méi)有充分的認(rèn)識(shí)，那么“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”就會(huì)成為一個(gè)“軟”目標(biāo)，在實(shí)際教學(xué)中難以落實(shí)，最終不會(huì)落地生根。

一、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)雖然是在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確了“四基”地位，但并不是這幾年才提出的一個(gè)概念，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》課程總目標(biāo)中已經(jīng)提出了通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來(lái)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能[2]。只不過(guò)當(dāng)時(shí)是將數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)歸為數(shù)學(xué)知識(shí)的范疇。盡管這個(gè)概念提出的時(shí)間比較早，但關(guān)注的人不多，研究的人不多。由于大家對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概念還比較模糊，理解還不到位，不少教師只是把它當(dāng)成“數(shù)學(xué)活動(dòng)”和“經(jīng)驗(yàn)”的復(fù)合詞，簡(jiǎn)單地理解為“學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”，導(dǎo)致教師在平時(shí)的教學(xué)中落實(shí)不到位。那么什么是“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”？目前還沒(méi)有統(tǒng)一的說(shuō)法，史寧中教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)主體通過(guò)親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程所獲得的具有個(gè)性特征的經(jīng)驗(yàn)”[3]。張奠宙教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下，通過(guò)對(duì)具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時(shí)所形成的認(rèn)識(shí)”[4]。重慶師大仲秀英教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中獲得的對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)的理解，及在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成的觀念、情感等內(nèi)容構(gòu)成的組合性經(jīng)驗(yàn)”[5]。盡管對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的界定眾說(shuō)紛紜，但有些觀念是接近的或相同的，大家一致認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是“數(shù)學(xué)的”，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中所從事的具有明確目標(biāo)的數(shù)學(xué)活動(dòng)；數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是“經(jīng)驗(yàn)的”，一是獲得經(jīng)驗(yàn)的事物，二是獲得經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程；數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是“活動(dòng)的”，這里的“活動(dòng)”不僅僅是具體操作活動(dòng)，還包含思維活動(dòng)和探究活動(dòng)。我們可以將數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從形式、內(nèi)涵和類型方面進(jìn)行如圖1的概括：

二、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)途徑和方法

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累不是一朝一夕就能夠完成的，需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。它不是通過(guò)幾節(jié)課或一段時(shí)間強(qiáng)化訓(xùn)練完成的，需要在平時(shí)教與學(xué)的全過(guò)程中、在每一節(jié)課的活動(dòng)中、在活動(dòng)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中逐步孕育，逐步發(fā)展，逐步積累，逐步提升。它不是在某一種單一的活動(dòng)中迅捷完成的，需要在操作活動(dòng)中、在思維活動(dòng)中、在探究活動(dòng)中、在綜合應(yīng)用中通過(guò)不斷積累來(lái)完成。

（一）落實(shí)過(guò)程性目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)課程目標(biāo)分為兩類：一類是結(jié)果性目標(biāo)，另一類是過(guò)程性目標(biāo)。結(jié)果性目標(biāo)一般指向基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，而過(guò)程性目標(biāo)更多是指向數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。所以我們平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)要更加關(guān)注“過(guò)程”，把數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累和過(guò)程性目標(biāo)建立聯(lián)系，要從數(shù)學(xué)目標(biāo)出發(fā)，從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，組織開展有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷操作實(shí)驗(yàn)、觀察發(fā)現(xiàn)、猜想驗(yàn)證、歸納證明、應(yīng)用創(chuàng)新等過(guò)程。比如，在學(xué)習(xí)“確定圓的條件”這部分內(nèi)容時(shí)，如果我們只是從知識(shí)和技能的層面去考慮，那只要讓學(xué)生知道“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”這個(gè)結(jié)論，并會(huì)畫圖就行了。平時(shí)不少教師也只是做到了這一點(diǎn)。為了全面落實(shí)“四基”，落實(shí)過(guò)程性目標(biāo)，我們可以安排數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“最小覆蓋圓”，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷利用圓形紙片覆蓋線段、三角形、四邊形的過(guò)程，理解基本圖形的“覆蓋圓”和“最小覆蓋圓”的概念，探索基本圖形的最小覆蓋圓，進(jìn)一步掌握確定圓的條件，并獲得和數(shù)學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)由“雙基”變?yōu)椤八幕?，而“四基”的落?shí)關(guān)鍵在課堂，為此我們要轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式。在學(xué)生掌握知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的同時(shí)，教師要讓學(xué)生更多地經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，更多地關(guān)注探究的過(guò)程、思考的過(guò)程、抽象的過(guò)程、預(yù)測(cè)的過(guò)程、推理的過(guò)程、反思的過(guò)程，讓學(xué)生親自參與、主動(dòng)實(shí)踐、深入探究，引導(dǎo)學(xué)生自己去收集資料，自己去設(shè)計(jì)方案，自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、方法和策略解決實(shí)際問(wèn)題，積累豐富的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（三）豐富活動(dòng)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的很多經(jīng)驗(yàn)是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷來(lái)積累。我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中，必須讓學(xué)生積極參與活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多樣化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.豐富操作活動(dòng)。學(xué)生在實(shí)際的、外顯操作活動(dòng)中獲得的直接感受和體驗(yàn)就是操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。要獲得操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，首先要有操作活動(dòng)。操作活動(dòng)包括幾何操作、數(shù)學(xué)表征工具的直接操作、數(shù)學(xué)公式和符號(hào)的直接操作。我們常用的剪、拼、折、平移、旋轉(zhuǎn)等操作活動(dòng)就是幾何操作活動(dòng)，使用示意圖、統(tǒng)計(jì)圖表、程序語(yǔ)言等表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的操作活動(dòng)就是數(shù)學(xué)表征工具的直接操作，使用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行的操作活動(dòng)就是數(shù)學(xué)公式和符號(hào)的直接操作。盡管數(shù)學(xué)操作活動(dòng)在一般情況下不能直接解決問(wèn)題，但它可以幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，促進(jìn)思維的發(fā)展，同時(shí)為探究問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。比如在探究角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的軸對(duì)稱性、等腰三角形“三線合一”等問(wèn)題時(shí)，我們常常會(huì)讓學(xué)生經(jīng)歷折紙等操作活動(dòng)，探索相關(guān)性質(zhì)，加深對(duì)知識(shí)的理解。

2.豐富思維活動(dòng)。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是從感性認(rèn)識(shí)逐步向理性思維發(fā)展的過(guò)程，學(xué)生在理性思維過(guò)程中形成的經(jīng)驗(yàn)就是思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括歸納的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計(jì)推斷的經(jīng)驗(yàn)，幾何推理的經(jīng)驗(yàn)等。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象概括的過(guò)程，在學(xué)生充分感知的基礎(chǔ)上，適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、思考，使他們學(xué)會(huì)從一些現(xiàn)象和事實(shí)中舍去個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，通過(guò)抽象概括形成一般化的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)事物本質(zhì)的把握，從而形成概念，得出規(guī)律，獲得感性經(jīng)驗(yàn)背后理性的、抽象的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

案例1：把一張足夠長(zhǎng)的紙條按同一方向?qū)φ郏鐖D2所示：

觀察：經(jīng)過(guò)第1次對(duì)折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

經(jīng)過(guò)第2次對(duì)折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

經(jīng)過(guò)第3次對(duì)折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

發(fā)現(xiàn)：每次對(duì)折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)之間有什么關(guān)系？

猜想（驗(yàn)證）：經(jīng)過(guò)第4次對(duì)折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

歸納：經(jīng)過(guò)第n次對(duì)折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

（通過(guò)觀察圖形和思維活動(dòng)，從數(shù)和形兩個(gè)角度刻畫同一問(wèn)題）

證明：提升策略性、方法性經(jīng)驗(yàn)，從而得到數(shù)學(xué)等式：1+2+22+…+2n-1=2n-1 。

應(yīng)用（創(chuàng)新）：遷移到“拉面”等其他活動(dòng)中去鞏固，并進(jìn)一步發(fā)展獲取的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.豐富探究活動(dòng)。數(shù)學(xué)活動(dòng)不僅僅是直觀、形象的“手指運(yùn)動(dòng)”，還應(yīng)該有生動(dòng)的思維活動(dòng)，需要學(xué)生經(jīng)歷具體問(wèn)題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化的過(guò)程，使得行為操作和思維操作相互作用、深度融合，形成探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

案例2：“最小覆蓋圓”教學(xué)片段

第一步，先設(shè)計(jì)“覆蓋兩點(diǎn)，直觀感受”的環(huán)節(jié)，目的是幫助學(xué)生把握線段最小覆蓋圓的特征。

第二步，設(shè)計(jì)“覆蓋三點(diǎn)，驗(yàn)證歸納”的環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷歸納活動(dòng)，獲得三角形的“最小覆蓋圓”應(yīng)優(yōu)先考慮以最長(zhǎng)邊為直徑的圓，再考慮三角形的外接圓的經(jīng)驗(yàn)。

第三步，設(shè)計(jì)“覆蓋四點(diǎn)，理性分析”的環(huán)節(jié)，先從正方形、菱形等特殊四邊形開始，再到一般四邊形，滲透轉(zhuǎn)化思想、分類思想，同時(shí)也為進(jìn)一步完善基本圖形的最小覆蓋圓尋找策略，積累具體問(wèn)題抽象化、形式化的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在上述活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生不僅經(jīng)歷了外顯的操作活動(dòng)（畫、量），還經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思考。

（四）強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)應(yīng)用是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法進(jìn)行問(wèn)題解決的過(guò)程，它是學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用意識(shí)的生成便是知識(shí)經(jīng)驗(yàn)形成的標(biāo)志。

在學(xué)生學(xué)習(xí)了蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)“利用相似三角形解決問(wèn)題”和“利用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題”后，我們可以安排蘇科版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)中“測(cè)量旗桿的高度”這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

案例3：“測(cè)量旗桿的高度”教學(xué)片段[6]

首先，通過(guò)觀察、估計(jì)、求平均值等過(guò)程，估計(jì)旗桿的高度；其次，利用影長(zhǎng)、標(biāo)桿和測(cè)角儀等方法，用所學(xué)過(guò)的相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，求出旗桿的高度，這三種方案都需要在感性操作的基礎(chǔ)上回歸理性的計(jì)算，將動(dòng)手測(cè)量與動(dòng)腦思考相結(jié)合；最后，通過(guò)比較各種方案的優(yōu)點(diǎn)和不足，優(yōu)選測(cè)量工具，改進(jìn)測(cè)量方案，使得測(cè)量更精確。

安排這樣的實(shí)驗(yàn)課可以幫助學(xué)生深化對(duì)知識(shí)的理解，給學(xué)生提供一個(gè)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理、整合、內(nèi)化的活動(dòng)載體，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生自主探索問(wèn)題的意識(shí)和能力，積累學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和策略對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行探索、思考、總結(jié)、推廣等方面的綜合應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)教學(xué)講究以學(xué)生為主體的“順?biāo)浦邸保@里的“水”是指學(xué)生已經(jīng)具備的“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”；數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也很講究“水到渠成”，而這里的“水”指的也是指“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。學(xué)生積累一定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有利于理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，有利于掌握數(shù)學(xué)思維方法，有利于體驗(yàn)并領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想的無(wú)窮魅力，從而形成比較完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有效提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展產(chǎn)生積極影響。為此，我們要精心耕耘學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的土壤，讓數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)落地生根。

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：8.

[2]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：6.

[3]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：120.

[4]張奠宙，竺仕芬，林永偉.基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的界定與分類[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008（5）：4-7.

[5]仲秀英.學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵探究[J].課程·教材·教法，2010（10）：52-56.

[6]董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)（九年級(jí)全一冊(cè)）[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2015：41.

責(zé)任編輯：石萍