構(gòu)造函數(shù)，突破難題

姜曉麗

[摘? 要] 在2017年江蘇省和山東省的最后一道數(shù)學(xué)題中，都對函數(shù)問題進行了考查，筆者仔細研究了這兩道題，發(fā)現(xiàn)其中都用到了構(gòu)造函數(shù)的知識，在此將這兩道題放在一起進行分析，通過對比分析，找到其中的不同點.

[關(guān)鍵詞] 構(gòu)造;函數(shù);單調(diào)性

構(gòu)造函數(shù)類的相關(guān)問題是高考的重點、難點，若用常規(guī)方法解決這類問題，難免會走進死胡同. 構(gòu)造函數(shù)的中心思想就是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問題通過構(gòu)造函數(shù)進行轉(zhuǎn)化，起到化難為易、化繁為簡的效果. 對于不同的問題，需要采用不同的方法進行函數(shù)的構(gòu)造，做到具體問題具體分析，而這也是這類問題的難點所在.

真題呈現(xiàn)，提煉方法

1. 真題再現(xiàn)

（2017年江蘇）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1（a>0，b∈R）存在極值，且導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的極值點為f（x）的零點. （極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值）

（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域;

（2）證明：b2>3a.

2. 試題解析

由于本文的內(nèi)容主要是構(gòu)造函數(shù)，所以對于第（1）問一筆帶過，在此直接給出答案，具體過程不一一敘述.對于第（2）問，為了證明不等式b2>3a，可以嘗試采用構(gòu)造函數(shù)的方式來分析，構(gòu)造函數(shù)h（a）=b2-3a，該函數(shù)含有a，b，可以求b關(guān)于a的函數(shù)式，并分析函數(shù)定義域，然后根據(jù)定義域來討論函數(shù)h（a）的值域.

本題中第一問是第二問的鋪墊，第二問的解決需要依托第一問的答案.本題的關(guān)鍵在于函數(shù)的構(gòu)造，通過構(gòu)造函數(shù)h（a）=b2-3a，可以充分利用第一問的解題結(jié)果. 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及相應(yīng)的極值條件，可以判斷不等式是否成立. 通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后通過分析函數(shù)的值域來證明不等式恒成立，這是解決不等式問題的一種常規(guī)方法.

構(gòu)造函數(shù)，事半功倍

對于求兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，一般可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法去解決，通過新構(gòu)造的函數(shù)，將原本兩個孤立的函數(shù)結(jié)合到一起，再結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，可以事半功倍地解決問題，下面的例題就是通過構(gòu)造函數(shù)解決問題的典型.

（2015年江蘇）已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=0，0<x≤1，x2-4-2，x>1，那么對于方程f（x）+g（x）=1的實根個數(shù)為_______.

思路點撥：設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=-lnx，0<x≤1，-x2+2+lnx，1<x≤2，x2-6+lnx，x>2，將問題進行轉(zhuǎn)化，方程f（x）+g（x）=1的實根個數(shù)即為函數(shù)h（x）與函數(shù)y=1與函數(shù)y=-1的交點，利用相關(guān)的導(dǎo)數(shù)知識可以畫出h（x）的圖像，通過所作的圖像，可以直觀地看出h（x）與y=1和y=-1共有4個交點，所以方程f（x）+g（x）=1的實根個數(shù)為4個.

本題中通過構(gòu)造函數(shù)的方法，得到h（x），從而將求方程f（x）+g（x）=1的實根個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求h（x）與函數(shù)y=1和函數(shù)y=-1的交點個數(shù)，巧妙地將抽象的問題具體化，提高了解題的效率，起到了事半功倍的作用.

舉一反三，拓展提高

構(gòu)造函數(shù)不僅僅局限于解決不等式的證明問題，構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，在2017年山東省的高考試題中，同樣也出現(xiàn)了構(gòu)造函數(shù)的問題.在山東省高考數(shù)學(xué)卷第20題中，需要用到構(gòu)造函數(shù)的知識去解決問題，通過二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出所構(gòu)造函數(shù)的極值. 問題的難點在于構(gòu)造函數(shù)的選擇，需要根據(jù)題目中的具體情況進行分析和討論.

（2017年山東）已知函數(shù)f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx-sinx+2x-2），其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求曲線y=f（x）在點（π，f（π））處的切線方程;

（2）令h（x）=g（x）-af（x）（a∈R），討論h（x）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

思路突破：

（1）略;（2）本題的構(gòu)造函數(shù)是直接給出的，所以問題的形式變得簡單一些，但是本題中需要二次構(gòu)造函數(shù)，對于求h（x）的極值，首先需要利用導(dǎo)數(shù)分析三角函數(shù)的性質(zhì)，求導(dǎo)得h′（x）=2（ex-a）（x-sinx），可將其分成兩部分進行分析，構(gòu)造函數(shù)m（x）=x-sinx，并分析其單調(diào)性和值域;然后分析（ex-a）的性質(zhì)，需要考慮參數(shù)a的取值范圍，分a≤0和a>0兩種情況.

問題解析：

（1）略;

（2）由題意可知h（x）=ex（cosx-sinx+2x-2）-a（x2+2cosx），因為h′（x）=2（ex-a）（x-sinx）. 令m（x）=x-sinx，m′（x）=1-cosx≥0，所以m（x）在R上單調(diào)遞增. 當(dāng)x>0時，m（x）>0;當(dāng)x<0時，m（x）<0.

①當(dāng)a≤0時，分析可知x=0時h（x）取得極小值，極小值為h（0）=-2a-1.

②當(dāng)a>0時，h′（x）=2·（ex-elna）（x-sinx），由h′（x）=0得x1=lna，x2=0. 當(dāng)0<a<1時，lna<0，分析可知x=lna時，h（x）取得極大值，極大值為h（lna）=-a·[ln2a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]，極小值為h（0）= -2a-1. 當(dāng)a=1時，h（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，無極值. 當(dāng)a>1時，lna>0，分析可知極大值為h（0）=-2a-1，極小值為h（lna）= -a[ln2a-2lna+sin（lna）+cos（lna）+2].

本題的函數(shù)形式以三角函數(shù)為主體，通過建立原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將復(fù)雜的導(dǎo)函數(shù)通過構(gòu)造函數(shù)的方式分為兩部分，對于h（x）的導(dǎo)函數(shù)，直接判斷單調(diào)性存在一定困難，此時進行二次構(gòu)造，構(gòu)造出m（x），問題的形式簡化了許多，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分類討論的思想方法對問題進行充分簡化，實現(xiàn)了化繁為簡的解題效果. 三角函數(shù)性質(zhì)掌握是解決三角函數(shù)綜合題的基礎(chǔ)，構(gòu)造法、分類討論等思想方法的合理使用是解題的關(guān)鍵，兩者的有效結(jié)合可實現(xiàn)問題的準(zhǔn)確作答，同時該種解題思想同樣可以推廣到同類型問題.

總結(jié)提高

構(gòu)造函數(shù)相關(guān)的問題是高中數(shù)學(xué)中的重點與難點，在高考中一般以壓軸題的形式出現(xiàn)，比如本文中分析的兩道題都出現(xiàn)在江蘇高考和山東高考的最后一題.對于這類難題，在構(gòu)造函數(shù)時需要具體問題具體分析，要靈活變通，合理構(gòu)造，不能拘泥于一種形式. 構(gòu)造函數(shù)問題是對學(xué)生高中所學(xué)知識的全方位考查，在此將所學(xué)的知識融會貫通，所以對學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力提出了比較高的要求.