2018年全國高考數(shù)學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”試題分析及教學(xué)思考

項(xiàng)麗紅 逯彥周

【摘 要】 ?通過對2018年全國高考數(shù)學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”試題的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)試題對于概率統(tǒng)計(jì)知識的考查主要集中在基礎(chǔ)知識上，絕大部分題目難度低，考綱中要求的知識點(diǎn)大部分被覆蓋;以數(shù)學(xué)史料為引子，考查數(shù)學(xué)思想方法;將問題設(shè)置在一定情境中考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);將概率統(tǒng)計(jì)知識與其他知識相結(jié)合考查應(yīng)用、創(chuàng)新意識，并以此為依據(jù)提出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】 ?2018年高考;概率統(tǒng)計(jì);試題分析;教學(xué)思考

統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的科學(xué)，概率的概念是數(shù)據(jù)分析的理論基礎(chǔ)，貫穿數(shù)據(jù)分析的整個(gè)過程，是數(shù)據(jù)分析各階段的思想基礎(chǔ) [1].高中階段的概率統(tǒng)計(jì)知識不僅是高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，同時(shí)也是大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用.本文對2018年全國高考數(shù)學(xué)試卷中的概率統(tǒng)計(jì)試題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并對教師教學(xué)給出幾點(diǎn)建議.

1 高考試卷考查“概率統(tǒng)計(jì)”知識的試題統(tǒng)計(jì)

2018年全國高考數(shù)學(xué)文、理科試卷共13套，其中全國卷6套（分別為全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷文、理各1套），自主命題卷7套（分別為北京卷、天津卷文、理各1套，上海卷、江蘇卷、浙江卷不分文理各1套），均對概率統(tǒng)計(jì)知識進(jìn)行了考查，共計(jì)23題.現(xiàn)將13套試卷中考查概率統(tǒng)計(jì)知識的試題按照題型、分值、考查內(nèi)容、交匯章節(jié)及難度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表1所示.[FL）]

由表1知，從題型、分值看，全國卷Ⅰ卷文1道解答題，分值為12分，占試卷總分的8.0%;全國Ⅰ卷理選擇、填空、解答題各1道，分值為22分，占試卷總分的14.7%;全國Ⅱ卷文、理選擇、解答題各1道，分值為17分，占試卷總分的11.3%;全國Ⅲ卷理選擇、解答題各1道，分值為17分，占試卷總分的 11.3%，文選擇、填空、解答題各1道，分值為22分，占試卷總分的14.7%;北京卷文、理各1道解答題，分值分別為13、12分，占試卷總分的8.7%、8.0%;天津卷文、理各1道解答題，分值均為13分，占試卷總分的8.7%;上海卷2道選擇題，江蘇卷2道填空題，分值均為10分，占試卷總分的6.7%;浙江卷選擇、填空題各1道，分值為8分，占試卷總分的5.3%.

從考查內(nèi)容看，13套試卷對概率統(tǒng)計(jì)知識的考查涉及幾何概型、古典概型、頻率分布直方圖、樣本估計(jì)總體、樣本數(shù)字特征（平均數(shù)、中位數(shù)）、回歸直線方程、莖葉圖、2×2列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣、列舉法計(jì)算基本事件數(shù)、計(jì)數(shù)原理、組合、互斥事件概率加法公式、獨(dú)立事件概率乘法公式、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、兩點(diǎn)分布及其方差、二項(xiàng)分布及其期望與方差、超幾何分布及其期望、離散型隨機(jī)變量的分布列及方差，內(nèi)容零碎，覆蓋面廣.

從難易程度來看，絕大部分試題難度低，但全國Ⅰ、Ⅲ卷理、北京卷理、天津卷理、浙江卷、上海卷中出現(xiàn)中檔題，全國Ⅰ卷理出現(xiàn)了較難的題.

2 高考試卷考查“概率統(tǒng)計(jì)”知識的試題特點(diǎn)分析

2.1 以經(jīng)典類型題為主，考查基礎(chǔ)知識

試題以考查概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中的基礎(chǔ)知識為主，多為考生在平時(shí)訓(xùn)練中所做的經(jīng)典類型題，如全國Ⅰ卷理15、文19，全國Ⅱ卷文5、文理18，全國Ⅲ卷文14、文理18，北京卷文、理17，天津卷文15、理16，上海卷9，江蘇卷3、6，浙江卷16均屬于這類題.

例1? （江蘇卷6）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為[CD#3].

分析 本題考查基本事件數(shù)的求法及古典概型，屬于基礎(chǔ)題.先算出基本事件數(shù)，方法有列舉法、樹狀圖法及排列組合法，再用古典概型概率公式得出結(jié)果.

2.2 以數(shù)學(xué)史料為引子，考查數(shù)學(xué)思想方法

例2 （全國Ⅰ卷理10）下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（? ）.

A.p1=p2 ??B. p1=p3

C. p2=p3? D. p1=p2+p3

分析? 本題以希波克拉底所研究的幾何圖形為引子，考查面積型幾何概型問題及數(shù)形結(jié)合思想方法.根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關(guān)圖形的面積公式求得結(jié)果.設(shè)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分的面積分別為S1、S 2、S 3，易求得 S1= S2，所以 p1= p2，故選A.

例3? （全國Ⅱ卷理8）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（? ）.

A. 1 12?? B.? 1 14 ???C.? 1 15?? D.? 1 18

分析 本題以哥德巴赫猜想為引子考查古典概型及分類思想方法.不超過30的素?cái)?shù)有10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有 C 210=45種方法，其中和等于30的選法有3種（7+23=11+19=13+17=30），故概率為 3 45 = 1 15 ，選C.

2.3 以問題情境為載體，考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

概率統(tǒng)計(jì)試題幾乎都有一定的背景，這些背景就是問題情境，將數(shù)學(xué)知識融入情境中進(jìn)行考查，既有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，又能體現(xiàn)出對學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的要求.

例4 （北京卷文17）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;

（Ⅱ）隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評的概率;

（Ⅲ）電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？（只需寫出結(jié)論）

分析 本題主要考查樣本估計(jì)總體、古典概型.以電影的好評率為問題情境考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，貼近生活.（1）分別計(jì)算樣本中電影總部數(shù)及第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)，代入公式可得概率;（2）利用古典概型公式，計(jì)算沒有獲得好評的電影部數(shù)，代入公式可得概率;（3）根據(jù)每類電影獲得好評的部數(shù)做出合理建議.

2.4 以知識融合為新意，考查應(yīng)用、創(chuàng)新意識

例5? （全國Ⅲ卷理8）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為P，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P（X=4）<P（X=6），則P=（? ）.

A.0.7?? B. 0.6?? C. 0.4?? D. 0.3

分析 本題主要考查二項(xiàng)分布相關(guān)知識，將二項(xiàng)分布的概率與不等式結(jié)合，屬于中檔題.利用公式

D（x）=nP（1-P）

=2.4，得P=0.4或P=0.6，又由P X=4 =C410P4 ?1-P 6<P X=6 =C610P6 ?1-P 4得：P>0.5，故P=0.6，選B.

例6 （全國Ⅰ卷理20）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0<p<1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)p 0.

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p 0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

（?。┤舨粚υ撓溆嘞碌漠a(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX;

（ⅱ）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

分析 本題考查的是有關(guān)隨機(jī)變量的問題，在解題的過程中，一是要明確獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功次數(shù)對應(yīng)的概率公式，再者要用函數(shù)的思想來研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點(diǎn)，在做第（2）問時(shí)，需要明確離散型隨機(jī)變量的可取值以及對應(yīng)的概率，應(yīng)用期望公式求得結(jié)果，再通過期望的大小關(guān)系得到結(jié)論.題目將概率與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查學(xué)生的應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識以及對知識進(jìn)行遷移以解決問題的能力，難度較大.

（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p）= C 220 p 2 （1-p） 18.因此 f′（p）= C 220[2p （1-p） 18-18 p 2 （1-p） 17]=2 C 220p （1-p） 17（1-10p）.令 f′（p）=0，得p=0.1.當(dāng)p∈（0，0.1）時(shí)， f′（p）>0;當(dāng)p∈（0.1，1）時(shí)， f′（p）<0.所以f（p）的最大值點(diǎn)為 p0=0.1.

（2）由（1）知，p=0.1.

（ⅰ）令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y.所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ⅱ）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于EX>400，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

3 高中數(shù)學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”教學(xué)的若干建議

根據(jù)以上分析，不難發(fā)現(xiàn)，高考試題對于概率統(tǒng)計(jì)知識的考查主要集中在基礎(chǔ)知識上，絕大部分題目難度低，考綱中要求的知識點(diǎn)大部分被覆蓋;以數(shù)學(xué)史料為引子，考查數(shù)學(xué)思想方法;將問題設(shè)置在一定情境中考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);另外將概率統(tǒng)計(jì)知識與其他知識相結(jié)合考查應(yīng)用、創(chuàng)新意識.因此，在教學(xué)中應(yīng)該：3.1 注重基礎(chǔ)知識

2018年高考數(shù)學(xué)試卷中的概率統(tǒng)計(jì)試題，緊扣考綱，考查內(nèi)容零碎，覆蓋面廣.雖然題目千變?nèi)f化，但都以考查基礎(chǔ)知識為主.所以在平時(shí)教學(xué)中，要以課程標(biāo)準(zhǔn)為基準(zhǔn)，以教科書為藍(lán)本，緊扣考綱，通過經(jīng)典類型題進(jìn)行重點(diǎn)練習(xí)，舉一反三，打好基礎(chǔ)，提高學(xué)生應(yīng)對試題變化的能力.

3.2 重視數(shù)學(xué)思想方法

日本數(shù)學(xué)家米山國藏在多年的數(shù)學(xué)教育中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)校所接受的數(shù)學(xué)知識，畢業(yè)后很快會(huì)忘記，而唯有頭腦中銘記的數(shù)學(xué)精神及數(shù)學(xué)的思想方法、研究方法、推理方法等，卻能隨時(shí)隨地發(fā)揮作用 [2].數(shù)學(xué)思想具有普遍的指導(dǎo)意義，蘊(yùn)涵于分析和解決數(shù)學(xué)問題的過程之中.概率統(tǒng)計(jì)知識中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，有數(shù)學(xué)中基本的思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等，也有概率統(tǒng)計(jì)特有的數(shù)學(xué)思想，如大數(shù)定律思想、隨機(jī)變量思想、抽樣思想等 [3].因此在平時(shí)教學(xué)中，要重視這些數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，從而提高學(xué)生面對不同問題能看破迷霧，抓住本質(zhì)的能力.

3.3 重視問題情境

合適的的問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體 [4].數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，與人類和社會(huì)發(fā)展緊密聯(lián)系.將數(shù)學(xué)問題置于一定情境中，不僅能使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，還能提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更能使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá) 世界.

3.4 注重概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與其他知識的綜合性練習(xí)

從前面的分析不難發(fā)現(xiàn)，高考試卷中的概率統(tǒng)計(jì)試題絕大多數(shù)難度較低，只有個(gè)別題目難度中等或較大，而這些中檔題和較難題往往是將概率統(tǒng)計(jì)知識與其他知識融合，如與立體幾何、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合，以考查學(xué)生的應(yīng)用、創(chuàng)新意識.因此在平時(shí)教學(xué)中，要注重概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與其他知識的綜合性練習(xí)，強(qiáng)化知識之間的融合性，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力，加強(qiáng)其應(yīng)用、創(chuàng)新意識.

參考文獻(xiàn)

[1] 章建躍，宋莉莉，王嶸，周丹.美國高中數(shù)學(xué)核心概念圖[J].課程·教材·教法，2013，33（11）：115-121.

[2] 米山國藏. 毛正中，吳素華譯.數(shù)學(xué)的精神思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986.

[3] 邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.