平板車最大拐彎長度問題的解決及推廣

王偉民

【摘 要】 ?分析過直角角平分線上確定點的所有直線中，被直角邊截得的線段最短的直線應(yīng)滿足的條件，以此為依據(jù)解決一個平板車過等寬直角通道的實際問題，并將解決問題的方法推廣到一般情形——用求導(dǎo)方法，確定過直角內(nèi)部任意確定點的所有直線中，被直角邊截得的線段最短的直線滿足的條件，并舉例說明這一結(jié)論的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 ?直角通道;角平分線;導(dǎo)數(shù);駐點;線段最短

例1 （2016年·瑤海區(qū)期末）如圖1所示，要使寬2米的矩形平板車通過寬為22 米的等寬的直角通道，則平板車的長最多為（? ）.

這是早前某數(shù)學(xué)群內(nèi)一位老師給出的問題.當(dāng)時，這位老師連同該題目的參考答案也一并給了出來——當(dāng)矩形平板車的長所在的直線與通道邊所在直線的夾角為45°，即平板車的外邊跟外面的通道圍成一個等腰直角三角形時，平板車?yán)锩娴倪吘嚯x通道內(nèi)拐角最近，當(dāng)該距離為0，平板車外面的兩個角的頂點剛好在直角通道外邊時，板車的長度最大，利用幾何知識可求得平板車的最大長度為4米，故本題的正確選項是C.

給出該題目的老師不是說對參考答案有疑問，而是對參考答案中“平板車的外邊跟外面的通道圍成一個等腰直角三角形時，平板車?yán)锩娴倪吘嚯x通道內(nèi)拐角最近”的論斷不理解，不清楚這一論斷的推理依據(jù)，而參考答案也沒有給出這一論斷的論證過程.

由于矩形的兩組對邊分別平行，所以，當(dāng)內(nèi)拐角距離平板車?yán)锩娴倪呑罱鼤r，它到平板車外面邊的距離也最近，因此，例1的這個“平板車過直角通道車長最大值確定”的實際問題，就“演變”成為下面的數(shù)學(xué)問題——過直角角平分線上一個確定點的所有直線中，哪一條被直角的兩邊截得的線段長度最短.

可以證明，過直角角平分線上確定點的所有直線中，與直角邊的夾角為45°的直線，被兩條直角邊截得的線段長度最短.如圖2所示，P是直角∠AOB平分線上的一個確定點，AB、CD是過P的兩條直線，其中AB與直角∠AOB兩邊的夾角為45°，CD是任意一條直線，我們只需證明AB

證明? 如圖3所示，分別在線段CD和AB上截取PE=PB，PF=PC，連接BE、CF，

則∠1=45°+ 1 2 α，∠2=45°- 1 2 α.

易證：DE>EB>FC>AF.

所以PD-PE>PA-PF.

所以PD+PF>PA+PE，即PD+PC>PA+PB.

所以AB<CD.

即過直角角平分線上一確定點的所有直線中，與直角邊的夾角為45°的直線，被兩直角邊截得的線段長度最短.所以，例題1給出的問題中，大小和形狀確定的矩形平板車，當(dāng)車的長邊與通道夾角為45°時，可以保證車的里邊距離內(nèi)拐角最遠(yuǎn).據(jù)此，我們可以計算出滿足條件的平板車的最長長度為4米（具體解題過程略）

那么，如果題目給出的不是等寬的直角通道，問題的解法還是一樣的嗎？

例2 如圖4所示，要使寬是 4 10? 5 米的矩形平板車通過寬度分為2 2 米和16 2 米的的直角通道，則平板車的長最多為多少米？

顯然，為解決這一實際問題，我們必須探究過直角內(nèi)部的任意確定點的所有直線中，被直角兩邊截取線段長度最短的條件.

如圖5所示，P（m，n）是坐標(biāo)平面第一象限內(nèi)的任意一點，過P作任意直線AB，與x軸和y軸分別交于A、B兩點，設(shè)AB與x軸負(fù)方向所夾的銳角為θ，并設(shè)直線AB的方程為y=-xtanθ+b，將x=m，y=n代入，求得b=n+mtanθ，所以，直線AB的解析式為y=-xtanθ+n+mtanθ.

所以x=0時，y=n+mtanθ;y=0時，x= n+mtanθ tanθ .

所以AB2=x2+y2

= （ n+mtanθ tanθ ）2+ （n+mtanθ）2

= （n+mtanθ）2 （1+ cot2θ）

= （ n+mtanθ sinθ ）2.

對θ求導(dǎo)得

（AB2）′=

2 n+mtanθ sinθ · m sec2θsinθ-（n+mtanθ）cosθ ?sin2θ

= 2（n+mtanθ）（m sec2θsinθ-ncosθ-msinθ） ?sin3θ

= 2（n+mtanθ）（m tan2θsinθ-ncosθ） ?sin3θ ，

令導(dǎo)數(shù)為0，確定駐點.

因為θ為銳角時，2（n+mtanθ）≠0，

所以m tan2θsinθ-ncosθ=0.

所以 tan3θ= n m .

所以θ=arctan 3? n m? .

實際上，當(dāng)m=n時，θ=arctan 3? n m? =arctan1= 45°，這正是例題1中最后推理出的“過直角角平分線上確定點的直線中，被直角邊截得線段最短的直線”應(yīng)滿足的條件.我們運(yùn)用這一結(jié)論對例題2進(jìn)行求解.

解析 如圖6所示，設(shè)車長AD的長度最大，

A、D兩點緊貼通道外墻且BC邊離通道內(nèi)拐角P最近時，

∠FDC=∠AEB=∠DAO=θ.

由以上分析知tanθ= 3? 2 2? 16 2?? = 1 2 ，

所以GE=2GP=4 2 ，

所以O(shè)E=OG+GE=20 2 ，

所以O(shè)F= 1 2 OE=10 2 .

因為DF= DC cosθ =? 4 10 ?5?? 2 5? 5? =2 2 ，

所以O(shè)D=OF-DF=8 2 ，

所以AD= OD sinθ = 8 2??? 5? 5? =8 10 .

答：平板車的長最多為8 10 米.