與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的幾類問題研究

盧俐君

【摘要】導(dǎo)數(shù)是中學(xué)乃至大學(xué)數(shù)學(xué)中微積分部分的基礎(chǔ)知識，譬如復(fù)變函數(shù)、泛函等都是以導(dǎo)數(shù)作為基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)在的幾種問題，尤其在單調(diào)性、不等式等方面，求解非常方便、簡潔。同時衍生出的拉格朗日乘子法為解決最優(yōu)化問題提供了幾乎無可取代的作用，不僅拓寬了解題方法，而且加快了解題速度。以導(dǎo)數(shù)在極限、不等式和函數(shù)三個方面中的應(yīng)用為例，通過幾個問題總結(jié)導(dǎo)數(shù)的解題思路與方法。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 不等式 拉格朗日乘子法

一、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性

小結(jié)：導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性相關(guān)的問題本質(zhì)都是要轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的恒成立問題，這也是導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中的重難點。這類問題主要有兩類解題思路：參變分離和分類討論。要注重體會二者的區(qū)別和聯(lián)系。注意（1）參變分離使用得較為頻繁；（2）優(yōu)先考慮定義域。

二、導(dǎo)數(shù)與不等式

導(dǎo)數(shù)與不等式主要包含以下兩類問題：

（1）含參不等式的恒成立問題。

在含參不等式中，如果能夠?qū)?shù)分離出來，則將另一端看作一個函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或端點值。若不能夠分離，則先把不等式函數(shù)化，再根據(jù)函數(shù)的定義域并結(jié)合函數(shù)圖像，求出這個函數(shù)在其定義域上的最值或值域。

三、拉格朗日乘數(shù)法

四、總結(jié)

導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用，為我們解決函數(shù)問題提供了有力的工具，用導(dǎo)數(shù)可以解決函數(shù)中的最值問題，不等式問題，單調(diào)性問題。同時，導(dǎo)數(shù)在其他領(lǐng)域，如物理學(xué)的加速度和曲率半徑等涉及變化率的問題中也發(fā)揮了巨大作用。

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