分類例談多元函數(shù)最值問題求解策略

☉浙江省寧波市北侖中學(xué) 范東暉

分類例談多元函數(shù)最值問題求解策略

☉浙江省寧波市北侖中學(xué) 范東暉

多元函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念之一，隨著新課改的推進(jìn)，多元函數(shù)的值域與最值問題在自主招生、高考和各類數(shù)學(xué)競賽中也常有涉及.本文就常見的多元函數(shù)最值問題的求解策略加以梳理，供參考.

一、整體換元法

整體換元就是將數(shù)學(xué)問題中某一式子看成一個(gè)整體，然后用一個(gè)所謂的”元”去代替它，再用替換了的變量根據(jù)條件去構(gòu)造成新的數(shù)學(xué)關(guān)系，這樣通過替換不僅可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的簡單化，而且使得與已知條件的聯(lián)系更為直觀.

例1 已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2-ab+b2=3，求a2+ab+b2的最小值和最大值.

解析：將a2-ab+b2=3代入，得a2+ab+b2=（3+ab）+ab=3+2ab，下面只要求出ab的最值即可.由a2-ab+b2=3，得a2+2ab+b2=3+3ab，所以ab≥-1，當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|b|=1，ab＜0時(shí)等號(hào)成立；再由a2-ab+b2=3，得a2-2ab+b2=3-ab，所以ab≤3，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).于是-1≤ab≤3.

因此，a2+ab+b2的最小值是1，最大值是9.

評(píng)注：根據(jù)結(jié)論與條件中數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將條件整體代入結(jié)論表達(dá)式，盡管不能消元，但可化簡所求的結(jié)論.

例2 （2015年浙江省高考題）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+xy+y2=1，則2x+y的最大值是_______.

解析：令2x+y=t，則y=-2x+t，代入已知條件，并化簡得6x2-3tx+t2-1=0.因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，所以由Δ=9t2-24（t2-1）≥0，得，所以2x+y的最大值是

評(píng)注：本題將要求的結(jié)論2x+y整體換元，代入已知條件，將問題轉(zhuǎn)化為“方程有解需要滿足的條件”來求解，這也是一種通性通法.

例3 已知x，y，z∈R+，且.求證：

即a+b+c≥9.

二、配方法

當(dāng)所給出的多元函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)具有二次關(guān)系時(shí)，可考慮配方法來解決.

例4 （2014年浙江省競賽題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax+b滿足：對(duì)任意x∈［0，1］，有|f（x）|≤1，則ab的最大值為__________.

解析：易知a=f（1）-f（0），b=f（0），則ab=f（0）·［f（1）-

例5（2007年浙江省競賽題）設(shè)f（x，y，z）=sin2（x-y）+sin2（y-z）+sin2（z-x），x，y，z∈R，求f（x，y，z）的最大值.

評(píng)注：本題給出的式子的結(jié)構(gòu)關(guān)系，利用基本不等式并不奏效，根據(jù)式中項(xiàng)與項(xiàng)之間的次數(shù)關(guān)系，我們選擇了配方法.

三、不等式法

利用基本不等式（均值不等式）和柯西不等式等求解最值問題.

1.利用基本不等式

故a3b2c≤27×4.

當(dāng)且僅當(dāng)a=3，b=2，c=1時(shí)，等號(hào)成立.

評(píng)注：本題應(yīng)用了三元均值不等式來求多元函數(shù)的最值，但要注意應(yīng)用條件“一正二定三相等”.

例7 （2015年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a+4b=2c，4a+2b=4c，求c的最小值.

解析：將2a，2b，2c分別記為x，y，z，則x，y，z＞0.

由條件知，x+y2=z，x2+y=z2，

故z2-y=x2=（z-y2）2=z2-2y2z+y4.

由于c=log2z，故c的最小值為

評(píng)注：本題先用換元法將已知化簡，先求z=2c的最小值，進(jìn)而求得c的最小值，同時(shí)要特別注意等號(hào)取得的條件.

2.利用柯西不等式

例8（2013年浙江省競賽題）設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在［3，4］上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求a2+b2的最小值.

解析：由已知得，設(shè)t為二次函數(shù)在［3，4］上的零點(diǎn)，則有at2+（2b+1）t-a-2=0，變形為（2-t）2=［a（t2-1）+2bt］2≤（a2+b2）［（t2-1）2+4t2］=（a2+b2）（1+t2）2.

四、數(shù)形結(jié)合法

當(dāng)我們所要求的多元函數(shù)的結(jié)構(gòu)式與我們學(xué)過的一些公式（如兩點(diǎn)間距離公式、斜率公式、點(diǎn)到直線的距離公式、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式等）的結(jié)構(gòu)類似時(shí)，可考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

上題例8也可用數(shù)形結(jié)合法求解，把等式看成關(guān)于的直線方程：（x2-1）a+2xb+x-2=0，利用直線上一點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)的距離大于原點(diǎn)到直線的距離，即，接下來的解法同例8.

例9 已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，則（a-c）2+（b-d）2最小值是________.

解析：由已知可得b=-a2+3lna，d=c+2.（a，b），（c，d）可視為平面上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，則問題等價(jià)于求直線l：y=x+2上的點(diǎn)與函數(shù)y=-x2+3lnx的圖像上的點(diǎn)距離的平方的最小值.

由圖像易知，與直線l平行且與曲線y=-x2+3lnx相切的直線l0與直線l之間的距離的平方，即為所求最小值.

設(shè)切點(diǎn)（x0，y0），則由知，解得x0=1，所以切點(diǎn)為（1，-1），切線方程為y=x-2.

所以（a-c）2+（b-d）2的最小值為

評(píng)注：本題有4個(gè)參數(shù)，又夾雜著對(duì)數(shù)運(yùn)算，比較難于找到問題的本質(zhì).采用數(shù)形結(jié)合的思想，把隱含的條件顯露出來，使看似一籌莫展的問題柳暗花明.

五、利用函數(shù)的單調(diào)性

先將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來確定最值.

例10設(shè)0≤x≤π，0≤y≤1.試求函數(shù)f（x，y）=（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x的最小值.

解析：由題意易知，對(duì)一切0≤x≤π，有sinx≥0，sin（1-y）x≥0.

，有tanx＞x＞sinx，

且sin（x+δ）=sinx·cosδ+cosx·sinδ≤sinx+δcosx.

則

又因?yàn)?＜（1-y）x≤x≤π，

注意到（1-y）2=1-2y+y2≥1-2y＞0，

故（2y-1）sinx+（1-y）sin（1-y）x≥0，即f（x，y）≥0.

當(dāng)y=0時(shí)，等號(hào)成立.

綜上，當(dāng)x=0或y=0時(shí)，f（x，y）min=0.

六、賦特殊值法

有些競賽題直接解答有難度，不妨“退后一步”，從特殊出發(fā)，先探索出結(jié)論，再證一般性.

設(shè)x-2=cosθ（θ∈［0，π］），則

設(shè)g（x）=x3-ax2-bx-c，在區(qū)間［1，3］上，關(guān)于x=2對(duì)稱地取值

則

七、逐步調(diào)整法

例12 （北大自主招生題）已知a1+a2+a3=b1+b2+b3，a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，若min（a1，a2，a3）≤min（b1，b2，b3）.

求證：max（a1，a2，a3）≤max（b1，b2，b3）.

證明：不妨設(shè)a1≥a2≥a3，b1≥b2≥b3，條件為：a3≤b3，

要證：a1≤b1.

由假設(shè)可知α≥β.

若α=β，則a1+a2=b1+b2，a1a2=b1b2，從一元二次方程根的角度可知，a1=b1.

若α＞β，因?yàn)閍1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1，所以

評(píng)注：本題采用分析法、換元法解決，利用式子的輪換對(duì)稱，假定字母的大小順序，從而產(chǎn)生分析法的思路.

最后指出，求解多元函數(shù)的最值問題，除了上述方法外，還有減元法、判別式法、分類討論法等，有時(shí)還需要多種方法的綜合運(yùn)用.由于篇幅所限，這里不再一一舉例.