基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下解答數(shù)列填空題

姚恵芳 徐丹

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面.筆者認(rèn)為核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)、個(gè)體發(fā)展中應(yīng)具備的最關(guān)鍵、最重要、不可缺的素養(yǎng).就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，核心素養(yǎng)的內(nèi)涵包括數(shù)學(xué)核心知識(shí)、數(shù)學(xué)核心能力、數(shù)學(xué)核心品質(zhì)，但不是它們的簡單相加.任何一門學(xué)科的目標(biāo)定位和教學(xué)活動(dòng)都要從素養(yǎng)的高度來進(jìn)行.

下面筆者就數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象五個(gè)方面具體研究基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下怎樣解答與數(shù)列相關(guān)的填空題.

核心素養(yǎng)之一

數(shù)學(xué)抽象：數(shù)學(xué)抽象（Mathematical abstraction）是數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本概念.指抽取出同類數(shù)學(xué)對象的共同的、本質(zhì)的屬性或特征，舍棄其他非本質(zhì)的屬性或特征的思維過程.

問題一定義映射f：A→B，其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R，已知對所有的有序正整數(shù)對（m，n）滿足下述條件：① f（m，1）=1;② 若n>m，則f（m，n）=0;③ f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）].則f（2，2）=，f（n，2）=_____.

解析由f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]知，令m=1，n=2，即得f（2，2）=2[f（1，2）+f（1，1）]=2[f（1，2）+1]=2，令n=2，即得f（m+1，2）=2[f（m，2）+f（m，1）]=2[f（m，2）+1]，記bm=f（m，2），則bm+1=f（m+1，2），即bm+1=2bm+2，令bm+1+c=2（bm+c），解得c=2，由b1+2=2≠0，因此，bm+2≠0，所以數(shù)列{bm+2}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即bm+2=2m，所以f（m，2）=2m-2，即f（n，2）=2n-2.

評注本題的關(guān)鍵是通過已知條件，將抽象的解析式具體轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問題，從思維角度來講有著化難為易，化繁為簡的效果，自然而順暢，適合學(xué)生采用，實(shí)踐性比較強(qiáng).

核心素養(yǎng)之二

邏輯推理：邏輯推理即演繹推理的同義詞，演繹推理的邏輯形式對于理性的重要意義在于，它對人的思維保持嚴(yán)密性、一貫性，有著不可替代的校正作用.

問題二已知數(shù)列{an}滿足an+1=an2（an為偶數(shù)），

an+12（an為奇數(shù)）， 已知am=1，則數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和的最大值為.

解析an為偶數(shù)時(shí)，an=2an+1;an為奇數(shù)時(shí)，an=2an+1-1.由此可以得出am-1=2，或am-1=1，在往前推得am-2=4或am-2=3或am-2=2或am-2=1，以此類推，得到這個(gè)數(shù)列的最大的各項(xiàng)依次為am=1，am-1=21，am-2=22，am-3=23，…，a1=2m-1，前m項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和的最大值為1-2m1-2=2m-1.

評注本題主要是利用后一項(xiàng)推得前一項(xiàng)，從而得出首項(xiàng)a1，不完全歸納思想在這里體現(xiàn)出它該有的思路和魅力，解完此題，對照等比數(shù)列和等差數(shù)列的共同屬性是由后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值和差值為同一個(gè)常數(shù)，通常是由前一項(xiàng)推出后一項(xiàng)，而此題的思路與之方向相反，但是原理差別不大，都是由相鄰項(xiàng)來導(dǎo)出所有的項(xiàng)，值得借鑒.

核心素養(yǎng)之三

數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模就是通過計(jì)算得到的結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)，來建立數(shù)學(xué)模型的全過程.

問題三若數(shù)列{an}滿足a1=2，且對任意的m，n∈N，都有an+mam=an，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=.

解析由于對任意的m，n∈N，都有an+mam=an，不妨令m=1，必有an+1a1=an，即an+1an=a1=2，從而得出數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而Sn=2（1-2n）1-2=2n+1-2.

評注本題的主旨是通過任意兩項(xiàng)的遞推關(guān)系得出后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系，構(gòu)造一個(gè)常見的等比數(shù)列，從一般到特殊，簡明扼要，通俗易懂，讓學(xué)生深刻體會(huì)構(gòu)造特殊數(shù)列的優(yōu)點(diǎn)，自然、簡單、容易聯(lián)想到，大大增強(qiáng)了解題的有效性.

核心素養(yǎng)之四

數(shù)學(xué)運(yùn)算：數(shù)學(xué)上，運(yùn)算是一種行為，通過已知量的可能的組合，獲得新的量.運(yùn)算的本質(zhì)是集合之間的映射.但是現(xiàn)實(shí)中學(xué)生在課堂內(nèi)外表現(xiàn)出的實(shí)際情形是運(yùn)算能力普遍較弱，下面就數(shù)列中求參數(shù)的取值范圍來探討提高學(xué)生運(yùn)算能力的重要性.

問題四已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，且滿足a2n=S2n-1（n∈N）.若不等式λan+1≤n+8·（-1）nn對任意的n∈N恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為.

解析已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，a2n=S2n-1=（2n-1）（a1+a2n-1）2=（2n-1）an，因?yàn)閍n≠0，所以an=2n-1，因此，an+1=2n+1，λan+1≤n+8·（-1）nn等價(jià)于λ≤（2n+1）1+8（-1）nn對n∈N恒成立.

由于出現(xiàn)（-1）n，n∈N這樣的式子，所以就要分奇、偶數(shù)來討論.

評注以上的運(yùn)算其實(shí)涉及分類討論，這樣的分類算是比較簡單的，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力不能僅僅停留在數(shù)與式簡單計(jì)算的層面，只有提高學(xué)生對計(jì)算正確性的意識(shí)，才能從根本上提升他們的運(yùn)算能力.

核心素養(yǎng)之五

直觀想象：直觀（perceptual intuition），通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)，數(shù)列的填空題中常常會(huì)出現(xiàn)直觀判斷而后證明猜想結(jié)論的正確性這一類問題.

問題五在數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2=3，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1是an·an-1的個(gè)位數(shù)，a2010=.

解析a1=2，a2=3，a3=6，a4=8，a5=8，a6=4，a7=2，a8=8，a9=6，a10=8，a11=8，a12=4，a13=2，a14=8，…，可以得到除去第一項(xiàng)、第二項(xiàng)外的其他項(xiàng)構(gòu)成了一個(gè)周期為6的周期數(shù)列，從而有a2010=a2+（334×6+4）=a2+4=a6=4.

評注事實(shí)上，通過前一項(xiàng)得出后一項(xiàng)，計(jì)算到何時(shí)才能呈現(xiàn)結(jié)果呢？直觀的想象是它們都與數(shù)列的周期性有關(guān)，在試著計(jì)算前面的幾項(xiàng)就可以發(fā)現(xiàn)它們的周期，結(jié)果自然產(chǎn)生，而且是填空題，對于結(jié)論的正確性我們可以繼續(xù)研究，但是對于填空題，能得出正確結(jié)果就是數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，在此沒必要贅述.

以上是筆者通過對幾個(gè)數(shù)列填空題的解答，闡述了在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)過程中如何有效培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)提出了自己的看法和體會(huì).在平時(shí)的教學(xué)中教師要摒棄目前得到普遍采用的題海戰(zhàn)術(shù)，從人文的角度推進(jìn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的改革力度，要努力把學(xué)生培養(yǎng)成為知識(shí)豐富、思維深刻、人性善良、品格正直、心靈自由的人.只有這樣，我們的教育教學(xué)才是完善的，也能讓育人者靜等花開.