高中數(shù)學零點問題的探討

于聰慧

【摘要】函數(shù)的零點連接著函數(shù)、方程和圖像，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關系，包含了數(shù)形結(jié)合的思想.在高考試卷中經(jīng)?？吹胶瘮?shù)的零點問題，學生容易在此處失分.

【關鍵詞】函數(shù)的零點;題型解法;教學方法

高考中的零點壓軸題常以超越方程、分段函數(shù)、抽象函數(shù)等為載體，達到考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點的個數(shù)、參數(shù)的范圍和通過函數(shù)性質(zhì)求解不等式問題等目的.要注意函數(shù)零點、方程的根、不等式解集三者之間的關系，進行彼此之間的轉(zhuǎn)化是解決該類題的關鍵，等價轉(zhuǎn)化是這類問題的難點.解決該類問題的途徑往往是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)做出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合研究分界位置，結(jié)合函數(shù)方程、不等式刻畫邊界位置，其間要注意導數(shù)的應用.

定義：對于函數(shù)y=f（x），使f（x）=0的實數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點.

高中階段對于零點考點要求是什么？

考點要求：了解函數(shù)零點的概念，掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法.

類型一周期函數(shù)零點個數(shù)問題

典例1設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=12x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a>1）恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是.

答案（34，2）.

評注將給定區(qū)間的根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)換為熟悉函數(shù)的圖像在給定區(qū)間的交點個數(shù)問題，利用周期性和偶函數(shù)正確作圖以及判斷端點函數(shù)值的大小是解題關鍵.求解零點問題時，往往轉(zhuǎn)化為f（x）=0的根求解，若該方程不易解出，可考慮數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩熟悉函數(shù)圖像的交點問題求解.

舉一反三已知f（x）是以2為周期的偶函數(shù)，當x∈[0，1]時，f（x）=x，那么在區(qū)間（-1，3）內(nèi)，關于x的方程f（x）=kx+k（k∈R）有4個根，則k的取值范圍是.

答案0<k≤14.

“舉一反三”出自《論語·述而》.要在學生獨立思考的基礎上啟發(fā)引導，由點到面，發(fā)散思維.當今社會講究高效，對于數(shù)學這樣一門基礎學科，如何在教學中做到事半功倍，讓學生高效學習，離不開“舉一反三”方法的應用，重視典型例題的學習，引導學生發(fā)散思維，學會總結(jié)，觸類旁通.

類型二復合函數(shù)的零點個數(shù)問題

典例2已知函數(shù)f（x）=x+1，x≤0，

x2-2x+1，x>0， 若關于x的方程f2（x）-af（x）=0恰有5個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是.

答案（0，1）.

評注設t=f（x），則方程為t2-at=0，解得t=0或t=a，即f（x）=0或f（x）=a，如圖所示，作出函數(shù)f（x）的圖像，由函數(shù)圖像可知f（x）=0的解有兩個，故要使方程f2（x）-af（x）=0恰有5個不同的解，則方程f（x）=a的解必有三個，此時0<a<1，∴a的取值范圍是（0，1）.

在求解復合方程問題時，往往把方程f[g（x）]=0分解為f（t）=0和g（x）=t處理，先從方程f（t）=0中求t，再代入方程g（x）=t中求x的值，最直觀地處理問題，為學生尋找最優(yōu)解決辦法.

舉一反三若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點x1，x2，且f（x1）=x1，則關于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實根的個數(shù)是.

答案3.

類型三分段函數(shù)（或含絕對值函數(shù)）的零點個數(shù)問題

典例3已知函數(shù)f（x）=x2+3a，x<0，

loga（x+1）+1，x≥0 （a>0且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關于x的方程|f（x）|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是.

答案13，23∪34.

評注畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖像如圖所示，結(jié)合圖像可知當直線y=2-x與函數(shù)y=x2+3a的圖像相切時，由Δ=1-4（3a-2）=0可解得a=34，此時滿足題設;由函數(shù)y=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)可知0+3a≥loga（0+1）+1，即a≥13，所以當2≥3a時，即13≤a≤23時，函數(shù)y=|f（x）|與函數(shù)y=2-x恰有兩個不同的交點，也即方程|f（x）|=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，綜上所述，所求實數(shù)的取值范圍是13≤a≤23或a=34，故應填答案13，23∪34.

在考試中對于分段函數(shù)與含絕對值函數(shù)典型特征為各段解析式不一致，不僅要考慮對應性，而且需考慮自變量在結(jié)合點情況及值域包含關系.

舉一反三定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=-2xx+1，x∈[0，1），

1-|x-3|，x∈[1，+∞）， 則函數(shù)F（x）=f（x）-1π的所有零點之和為.

答案11-2π.

解析由圖知共有五個零點，從左到右交點橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，x5，滿足x1+x2=-6，x3=11+2π，x4+x5=6，因此所有零點之和為11-2π.