高中數(shù)學(xué)函數(shù)奇偶性的多重分析

梁爽

【摘要】奇偶性作為高中數(shù)學(xué)函數(shù)一項(xiàng)非常重要的性質(zhì)，具有較強(qiáng)的規(guī)律性，本文分別從其定義的深入理解為出發(fā)點(diǎn)，分別從對(duì)稱性、任意性等不同的角度為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行了多重分析，進(jìn)而幫助大家更好地對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);函數(shù);奇偶性;分析

如何準(zhǔn)確的判斷函數(shù)的奇偶性呢？本文給出幾種常用的判斷方法，僅供大家參考.

一、對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解

判斷函數(shù)奇偶性的大體思路是首先考查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，之后再考查表達(dá)方式之間的關(guān)系，總而言之，一是看定義域，二是看解析式，然而對(duì)抽象函數(shù)來(lái)說，因?yàn)闆]有給出函數(shù)的具體表達(dá)式，只是給出抽象的函數(shù)關(guān)系，所以，經(jīng)常要應(yīng)用到特殊值和變量代換進(jìn)行求解.

（一）奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義

1.奇函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)f（x）定義域中的任意x，都存在f（-x）=-f（x），那么我們稱該函數(shù)為奇函數(shù);

2.偶函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)f（x）定義域中的任意x，都存在f（x）=f（-x），那么我們稱該函數(shù)為偶函數(shù);

3.不管f（x）是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，我們都稱該函數(shù)具有奇偶性.

（二）對(duì)函數(shù)奇偶性的理解

1.任意性：具有奇偶性的函數(shù)，其奇偶性是對(duì)該函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意值而言的，所以，函數(shù)的奇偶性是該函數(shù)在其整個(gè)定義域上的性質(zhì)，與函數(shù)在其定義域某一區(qū)間上的單調(diào)性是存在差別的;

2.對(duì)稱性：對(duì)數(shù)學(xué)函數(shù)f（x）來(lái)講，如果其為奇函數(shù)，那么其圖像必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果其為偶函數(shù)，那么其圖像則必然關(guān)于y軸對(duì)稱;同樣，對(duì)于函數(shù)f（x）來(lái)講，如果f（x）為奇函數(shù)或者偶函數(shù)，則必然存在著f（-x）=-f（x）或者f（x）=f（-x），那么其定義域也必然會(huì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;同時(shí)，對(duì)于任意函數(shù)f（x），如果其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么該函數(shù)為奇函數(shù)，如果其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，那么該函數(shù)為偶函數(shù).但是，如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么該函數(shù)卻不一定具有奇偶性.

3.同值性：對(duì)于奇函數(shù)或偶函數(shù)來(lái)講，當(dāng)其自變量x取相反數(shù)值時(shí)，其函數(shù)的絕對(duì)值是相等的.

二、對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)奇偶性的多重分析

（一）利用奇偶函數(shù)的定義對(duì)奇偶函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行分析

例1 已知函數(shù)f（x）在R上為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=-xlg（2-x），求f（x）在R上的解析式.

利用奇函數(shù)的定義：對(duì)于函數(shù)f（x）定義域中的任意x，都存在f（-x）=-f（x），那么我們稱該函數(shù)為奇函數(shù)，

可以得到：f（-x）=-f（x），f（0）=0.

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，所以，f（-x）=xlg（2+x），

所以，-f（x）=xlg（2+x），f（x）=-xlg（2+x）（x>0），

所以，f（x）-xlg（2-x）（x<0），-xlg（2+x）（x≥0），

即f（x）=-xlg（2+|x|）（x∈R）.

（二）利用奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性對(duì)奇偶函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行分析

如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)一定是奇函數(shù)，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對(duì)稱，那么這一個(gè)函數(shù)必然是偶函數(shù).

對(duì)奇函數(shù)來(lái)講，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;對(duì)偶函數(shù)來(lái)講，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.同時(shí)，不管是對(duì)奇函數(shù)還是對(duì)偶函數(shù)，其定義域都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

例2 已知函數(shù)y=f（x）在（0，2）上是遞增函數(shù)，函數(shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，比較f（1），f52，f72的大小.

解 因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x+2）是偶函數(shù)，由偶函數(shù)的定義f（x）=f（-x）可以得到：f（x+2）=f（2-x），由偶函數(shù)的圖像對(duì)稱性可知，f（x）的圖像關(guān)于x=2對(duì)稱.

因?yàn)閒（x）在（0，2）上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，f（x）在（2，4）上為單調(diào)遞減函數(shù)，f（1）=f（2-1）=f（2+1）=f（3），

所以，f72<f（3）<f52.

該題目主要利用函數(shù)在某一區(qū)間具有單調(diào)性及奇偶函數(shù)的圖像對(duì)稱性的性質(zhì)，將函數(shù)的圖像推導(dǎo)到其他的區(qū)間.

例3 對(duì)函數(shù)y=x2-1在x∈[-2，2）上的奇偶性進(jìn)行判斷.

解析 看到該類題目，我們則可以根據(jù)其定義域x∈[-2，2）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱簡(jiǎn)單地判斷出：該函數(shù)不具備奇偶性.

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)作為一門思維性、邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，運(yùn)用不同的思考方式對(duì)同一個(gè)問題進(jìn)行分析理解，可以獲得意想不到的效果.本文以高中數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性為例進(jìn)行了多方面的分析，并運(yùn)用實(shí)例對(duì)其應(yīng)用加以說明，增強(qiáng)同學(xué)們對(duì)函數(shù)奇偶性的理解與掌握，促進(jìn)大家共同進(jìn)步.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張子明.函數(shù)奇偶性的多種理解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004（12）：32-33.

[2]丁亮.換一些新思路去理解函數(shù)的奇偶性[J].中國(guó)校外教育旬刊，2014（2）：79.