淺談高中數(shù)列中的探索問題類型及解題策略

張潔

【摘要】數(shù)學(xué)作為一門主科是高中教學(xué)中的重中之重，而數(shù)列是高中數(shù)學(xué)里的重要章節(jié)，也屬于比較難掌握的內(nèi)容，更是每一個高中數(shù)學(xué)教師的教學(xué)重點.本文主要以數(shù)學(xué)數(shù)列為研究方向，重點在對數(shù)列題型的分類和各種解題策略的梳理，以便幫助學(xué)生建立和數(shù)列相關(guān)題目的解題思路框架，進而提高其解題效率和質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)列;解題策略;題型分類

一、前 言

數(shù)列主要特點表現(xiàn)在：學(xué)生難以把握解題的方向，很多學(xué)生對數(shù)列解題步驟較為生疏，以至于在做題時無從下手.其實，對數(shù)學(xué)數(shù)列問題，只要能夠找到其學(xué)習(xí)精髓就可以將數(shù)列問題化繁為簡.因此，在日常教學(xué)中，教師必須對數(shù)列問題進行歸類，大體可分為三類，即求存在性的問題、給出條件求結(jié)論的問題和給出結(jié)論求條件的問題.

二、注意對題目主旨的分析和分類

在解答有關(guān)數(shù)列問題的數(shù)學(xué)題時，審題的質(zhì)量直接決定了題目解答的效率，因此，在審題之后我們要注意對其問題類型進行分析，每一種類型的問題都有著相應(yīng)的解題步驟和思路，只有學(xué)會將問題加以分類才能對癥下藥，尋找到適合問題本身的解答方向.

三、有關(guān)不同數(shù)列問題的解題策略的討論

（一）涉及求常數(shù)存在性問題的解題策略

1.常數(shù)是不變的，因此，通過數(shù)列的特殊項或項數(shù)即可估算出常數(shù)的值.

例1 是否存在等差數(shù)列{an}，使它的首項為1，公差不為零，且其前3n項中，前n項的和與其后2n項的和的比值對于任意正整數(shù)n都等于常數(shù)？若存在，求出數(shù)列{an}的通項公式及常數(shù)的值;若不存在，說明理由.

解 若存在這樣的等差數(shù)列{an}，其公差為d，前n項和記作Sn，則其后2n項的和為S3n-Sn，由已知得SnS3n-Sn=λ（λ為常數(shù)），因Sn=n+n（n-1）2d，S3n-Sn=2n+n（4n-1）d.

令n=1，n=2，得12+3d=2+d4+14d=λ，d2-2d=0，即d=2或d=0（舍去），此時λ=18.

于是，對于任意正整數(shù)n有SnS3n-Sn=n+n（n-1）2n+2n（4n-1）=n28n2=18=λ成立，故存在等差數(shù)列{an}，其通項公式為an=2n-1，常數(shù)λ=18.

2.從一般入手，再用待定系數(shù)法.

例1也可以這樣求解：由SnS3n-Sn=λ，即（λ+1）Sn=λS3n，因Sn=n2[2+（n-1）d]，S3n=3n2[2+（3n-1）d]，把他們代入上式，化簡整理得：d（1-8）λn+2-4λ+（2λ-1）d=0，要使該等式成為恒等式的充要條件是：d（1-8λ）=2-4λ+（2λ-1）d=0，因d≠0，故λ=18，此時d=2，故存在這樣的等差數(shù)列{an}，其通項公式為an=2n-1，常數(shù)λ=18.

3.從函數(shù)入手，注意合理轉(zhuǎn)化.

例2 數(shù)列{an}的通項公式為an=（n+1）·0.9n，問：是否存在這樣的正整數(shù)N，使an≤aN，對于一切正整數(shù)n恒成立？并證明你的論斷.

解? 因an-an+1=（n+1）·0.9n-（n+2）·0.9n+1=09n·n-810，所以，當(dāng)n<8時，an<an+1，當(dāng)n=8時，an=an+1，當(dāng)n>8時，an>an+1，a1<a2<…<a7<a8=a9>a10>…，故存在N=8或9，使得an≤aN對于任意正整數(shù)n恒成立.

（二）根據(jù)給出的有關(guān)條件求相應(yīng)結(jié)論的解題策略

這類題目解題策略為根據(jù)題目給出的滿足的條件，找到猜想規(guī)律的具體方向，推測出具體規(guī)律后，運用數(shù)學(xué)歸納法加以總結(jié)，然后進行證明求證.例如，已知數(shù)列11×4，14×7，17×10，…，1（3n-2）（3n+1），…，數(shù)列的前四項和分別為S1，S2，S3，S4，計算S1，S2，S3，S4.根據(jù)計算結(jié)果，猜想數(shù)列前n項和Sn的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.

（三）根據(jù)給出的有關(guān)結(jié)論求相應(yīng)條件的解題策略

對此類問題，解題者必須具備逆向思維，學(xué)會由果找因的解題步驟.逆向思維是一種發(fā)散性思維，是與正常思維或者習(xí)慣性思維相反的一種思維方式.逆向思維是一種拓展思路的思維方法，如果在教學(xué)中有意識地加強訓(xùn)練，可提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的靈活性，突破思維定式，創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)解決問題的簡捷、新穎、奇特的方法.例如，在求解數(shù)列通項的題目中，如果運用常規(guī)思維求解，往往計算量較大，易出現(xiàn)錯誤，如果逆用等差數(shù)列求和公式或者等比數(shù)列求和公式等，找到相關(guān)的規(guī)律，那么題目也就迎刃而解了.

四、結(jié) 語

綜上所述，作為一名合格的高中生，必須具備分析數(shù)列問題并有效解答的能力.對高中數(shù)學(xué)教師而言，數(shù)列的教學(xué)也是其教學(xué)能力的重要衡量指標.數(shù)列相關(guān)的題目有著非常清晰的邏輯，教師必須對學(xué)生有關(guān)數(shù)列內(nèi)容的學(xué)習(xí)加以正確的引導(dǎo)，只有讓學(xué)生學(xué)會分析數(shù)列問題的類型并掌握常見的幾種解題策略，才能有效提高其數(shù)學(xué)成績.