反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

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【摘要】反例，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，并且在任意的學(xué)科的研究的過程中，都占據(jù)著舉足輕重的重要作用.本文論述了反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用情況，并對其做了分類，分別寫了反例在中學(xué)代數(shù)學(xué)上的應(yīng)用和反例在幾何學(xué)上的應(yīng)用，并且在這兩個分支上又分成在數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)定理上的具體的應(yīng)用實例，說明了反例的重要作用.學(xué)生們可以通過反例清晰地看出問題的所在，相比于正向的例子，反例有時候更具有說服性，能夠更快速地發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).有時候，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也是反例帶來的效果，在好奇心的作用下發(fā)揮自身的能力，并且通過例子來說明反例的作用，會讓學(xué)生更有立體感，能更好地啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面的知識.

【關(guān)鍵詞】反例;教學(xué);能力;應(yīng)用

一、反例的概念

數(shù)學(xué)中的反例，是指符合某個命題的條件而不符合這個命題的結(jié)論的例子，也就是說，反例是一種能顯示出書中的某些命題是不正確時的例子.

二、反例可幫助學(xué)生正確理解基本概念

代數(shù)學(xué)中定義的概念：對于一種事物的本質(zhì)特征或一個概念的內(nèi)涵和外延的確切而簡要的說明，或是透過一個事物或者一個物件的基本屬性來描述或規(guī)范一個詞或一個概念的意義的事務(wù)或者物件叫作被定義項，其定義叫作定義項.

反例在絕對值定義理解方面的應(yīng)用

在討論這個問題之前，我們先溫習(xí)一下絕對值的定義：數(shù)軸上一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點（點零處）的距離叫作該數(shù)的絕對值.絕對值只能為非負數(shù).

那么我們現(xiàn)在就來具體地看看，反例在初中數(shù)學(xué)的一個分支代數(shù)學(xué)上是怎么應(yīng)用的.例如，如果說絕對值a等于b絕對值，那么a=b這個結(jié)論是錯誤的，那么在這個時候就要想到反例了.正向的時候有時是很難舉出具有說服性的例子來證明的，但是如果往反例上面想一想，可能有些事情就會迎刃而解的，就像我們現(xiàn)在舉出的事理是一樣的，如果要舉出反向的例子來證明這個問題，比如，“絕對值-1等于絕對值1，但是-1與1是不相等的”.在這個問題上，反例在數(shù)學(xué)定義上有了應(yīng)用.

三、反例在數(shù)學(xué)命題中的應(yīng)用

（一）一個正數(shù)一定大于這個數(shù)的算術(shù)平方根

我們通常會舉出一些例子，比如，9的算術(shù)平方根是3，64的算術(shù)平方根是8，以這種形式來看的話，這些例子都是指向了原數(shù)比它的算術(shù)平方根大，如果只是單純地這樣看來的話，并沒有什么異樣，但是如果再進行思考，換種形式的例子，比方，0.04的算術(shù)平方根是0.2，而0.04<0.2，又像1的算術(shù)平方根是它的本身，那么這樣一對比的話，就能清晰地看出以上的說法是不正確的.在這種的情況下就能更好地理解這個問題.

這樣也就是更好地在代數(shù)學(xué)的定理上面來證明反例的具體應(yīng)用，反映出反例的用途之廣和用途之大，促進了學(xué)生們對定理的理解，體現(xiàn)了反例的具體實用性，還會激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情，也促進了學(xué)生對于接下來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認識和理解.

定理2.開方開不盡的數(shù)都是無理數(shù).顯而易見，這句話是錯誤的.

2和3都是有理數(shù)，我們之前都學(xué)過的知識點，但是就是因為它們都是開不盡方的數(shù)，所以在這種情況下，教師通常會更青睞這樣的例子，因為這樣的例子能夠更明顯地看出問題的所在.

我們在運用反例來解決數(shù)學(xué)中比較不容易理解的問題的時候，會讓原本相對于中學(xué)生來說不容易理解、難懂的知識點更容易被中學(xué)生們所接受，不會產(chǎn)生那么多的疑問，從而可以準確地理解和學(xué)習(xí)這樣的不易懂的知識點，對于學(xué)生之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)，也為學(xué)生對于數(shù)學(xué)課堂的認識加深了印象.

四、利用反證法解決數(shù)學(xué)問題

例1 設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，a，b，c均為整數(shù)，且f（0），f（1）均為奇數(shù).求證：f（x）=0無整數(shù)根.

證明 設(shè)f（x）=0有一個整數(shù)根k，則ak2+bk=-c，

又因為f（0）=c，f（1）=a+b+c均為奇數(shù)，

所以a+b為偶數(shù)，

當(dāng)k為偶數(shù)時，顯然與上式矛盾.

當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k=2n+1（n∈Z），

則ak2+bk=（2n+1）（2na+a+b）為偶數(shù)，也與上式矛盾，故假設(shè)不成立，

所以方程f（x）=0無整數(shù)根.

例2 已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.

證明 用反證法

假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由a+b+c>0，可得c>-（a+b），

又a+b<0，

所以c（a+b）<-（a+b）（a+b），

ab+c（a+b）<-（a+b）（a+b）+ab，

即ab+bc+ca<-a2-ab-b2.

因為a2>0，ab>0，b2>0，

所以-a2-ab-b2=-（a2+ab+b2）<0，

即ab+bc+ca<0，

這與已知ab+bc+ca>0矛盾，

所以假設(shè)不成立.

因此，a>0，b>0，c>0成立.

這樣的舉例方法就可以稱為是反證法.我們通過這樣的反例來讓學(xué)生們判斷，進而來讓學(xué)生們改正，在錯誤的情況下讓他們通過自己對這個定義的理解來挑出問題的所在，將學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情展現(xiàn)得淋漓盡致.所以，這樣的做法在數(shù)學(xué)定義的學(xué)習(xí)上可以被稱為是一種行之有效的方法，對于中學(xué)生的學(xué)習(xí)還是會有很大幫助的.

五、反例可幫助學(xué)生深刻理解命題的條件及使用適用方法

幾何學(xué)中定理的概念：經(jīng)過受邏輯限制的證明為真的陳述，一般來說，在數(shù)學(xué)中，只有重要或有趣的陳述才叫定理，證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動.[3]

無論是什么時期的數(shù)學(xué)教學(xué)，數(shù)學(xué)概念，定理都像是數(shù)學(xué)海洋里最重要的珍珠，在數(shù)學(xué)的海洋里占據(jù)重要的位置.對于這些數(shù)學(xué)課程上最基本的定理和定義，教師在講解問題的時候最應(yīng)該注意的就是讓同學(xué)們得到相對嚴格的證明過程.反例不會是掌握問題的唯一的手段，但是在數(shù)學(xué)的教學(xué)中卻是必不可少的重要部分.