芻議初中數(shù)學(xué)“問題解決”

沈春梅

[摘? 要] 在核心素養(yǎng)培育的背景下，對(duì)問題解決的理解需要緊扣“問題”“問題解決”等幾個(gè)核心概念來進(jìn)行. 其中，問題不是生硬的，是“認(rèn)知困難”與“情感”相互作用的產(chǎn)物，問題解決需要重點(diǎn)突出試錯(cuò)意味.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);問題解決;教學(xué)論視角

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決被視為具有高度綜合性的過程，學(xué)生在問題解決中需要利用已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)，對(duì)面臨的問題進(jìn)行抽象、建模，以實(shí)現(xiàn)問題的解決. 在核心素養(yǎng)被提出之后，研究者對(duì)問題解決進(jìn)行了進(jìn)一步理解與拓展，并將之放到了教學(xué)論的視角下進(jìn)行研究，這樣的研究過程與結(jié)果給了一線教師很大的啟發(fā)，在此筆者試結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)劷虒W(xué)論視角下對(duì)問題解決的進(jìn)一步理解.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)視角下的“問題”

問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中無處不在，在學(xué)生的生活中也無處不在，當(dāng)在教學(xué)的視角下觀照這些“問題”的時(shí)候，可以發(fā)現(xiàn)問題有著超越經(jīng)驗(yàn)的意義. 今天的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，而問題在這個(gè)聯(lián)系過程中也起著非常重要的作用. 于是就可以得出一個(gè)重要的結(jié)論，那就是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，問題可以從生活中來. 當(dāng)然，這里的問題是指數(shù)學(xué)問題，于是從生活中抽象出數(shù)學(xué)問題，就是數(shù)學(xué)教師的一個(gè)重要任務(wù)（這里所涉及的數(shù)學(xué)抽象，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分之一）. 問題除了從生活中來之外，自然也可以從邏輯推理中來. 很多時(shí)候我們在課堂上通過對(duì)前面知識(shí)的復(fù)習(xí)提出新的問題，實(shí)際上就是沿襲的這一教學(xué)思路.

從教學(xué)論的視角來看，我們?nèi)匀徽J(rèn)為問題不能是學(xué)生直覺性的反應(yīng)，而應(yīng)當(dāng)是“認(rèn)知困難”與“情感”相互作用的產(chǎn)物.

我們可以通過“多邊形的內(nèi)角和”的例子來理解這一闡述：學(xué)生在學(xué)習(xí)多邊形的時(shí)候，一個(gè)重要的知識(shí)基礎(chǔ)就是對(duì)三角形的認(rèn)識(shí). 學(xué)生理解多邊形本身并沒有困難，但在尋找多邊形內(nèi)角和公式的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)困難，這個(gè)困難主要體現(xiàn)在學(xué)生可以推出四邊形、五邊形的內(nèi)角和，但對(duì)于普遍規(guī)律卻難以把握——這就是認(rèn)知困難. 在產(chǎn)生這個(gè)認(rèn)知困難之后，由于問題解決動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生的情感自然會(huì)處于一種疑惑、焦躁甚至是急躁的狀態(tài)，這種狀態(tài)對(duì)于問題解決來說并非完全是壞事，因?yàn)槠錁O有可能轉(zhuǎn)化為學(xué)生解決問題的動(dòng)力.

進(jìn)一步研究表明，問題反映的是學(xué)習(xí)者“理想與現(xiàn)實(shí)的差距”，當(dāng)一個(gè)問題出現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，“理想”就是問題的答案，而“現(xiàn)實(shí)”就是問題的題設(shè)，題設(shè)與答案之間的距離，反映著理想與現(xiàn)實(shí)之間的差距. 從教學(xué)論的視角來看，當(dāng)這個(gè)差距的縮短在學(xué)生的能力范圍之內(nèi)時(shí)，學(xué)生解決問題的動(dòng)機(jī)是最為強(qiáng)烈的，而這一認(rèn)識(shí)與“最近發(fā)展區(qū)”理論又是異曲同工的，所以說教師在分析并幫學(xué)生厘清問題的時(shí)候，一個(gè)最基本的原則，就是要在把握學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上，判斷學(xué)生的現(xiàn)實(shí)與理想之間有多大的距離.

譬如上例中，學(xué)生的認(rèn)知“現(xiàn)實(shí)”是對(duì)三角形內(nèi)角和的認(rèn)識(shí)，是知道多邊形可以“拆”成三角形，而“理想”則是如何尋找到一個(gè)一般性公式來描述多邊形的內(nèi)角和. 其中的距離在于學(xué)生通過逐步列舉四邊形、五邊形等圖形的基礎(chǔ)上，猜想多邊形內(nèi)角和表達(dá)式的共性，然后表述為（n-2）×180°. 這個(gè)猜想與論證的過程，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說都不是太大的困難，因而這個(gè)理想與現(xiàn)實(shí)之間距離縮短的過程，就是學(xué)生可接受的，進(jìn)而問題解決的過程通常就是成功的.

這里特別需要指出的是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，當(dāng)學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語言來描述問題時(shí)，實(shí)際上已經(jīng)經(jīng)歷了一個(gè)從自身的經(jīng)驗(yàn)走向理性的過程，因此有人界定問題為“從經(jīng)驗(yàn)走向理性的橋梁”，筆者以為這樣的界定，也能夠給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來很多有益的啟示——譬如這個(gè)橋梁如何搭成，又如何才能牢固等.

教學(xué)論視角下理解“問題解決”

目前對(duì)問題解決的普遍認(rèn)識(shí)是，問題解決不是一個(gè)運(yùn)用固定理論方法或固定程序，去實(shí)現(xiàn)從題設(shè)到結(jié)論的方法. 也就是說嘗試建立一套固定的、普適的問題解決的模式，是不可行的. 更多的時(shí)候，問題解決帶有“現(xiàn)象學(xué)”的意味. 在問題解決的過程中，由于學(xué)習(xí)者思維方式、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的不同，具體的解決問題的心理過程是有著一些差異的. 但是，這并不意味著問題解決真的毫無規(guī)律可循，否則也就沒有教育、心理方面的專家對(duì)這一領(lǐng)域?qū)嵤┭芯苛?

研究表明，從教學(xué)的角度看問題解決，其具有試錯(cuò)的特性. 應(yīng)試形態(tài)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，總追求學(xué)生在解題的時(shí)候思路正確且迅捷，這從應(yīng)試的角度來說是必需的，而從學(xué)生思維發(fā)展尤其是核心素養(yǎng)培育的角度來看，則是不合適的. 因?yàn)閷W(xué)生在真正的問題（非完全指數(shù)學(xué)領(lǐng)域）解決過程中，總會(huì)經(jīng)歷對(duì)問題的分析、判斷等過程，此過程中總有失誤的時(shí)候，關(guān)于這一點(diǎn)，問題解決研究者提出了“可錯(cuò)性學(xué)說”，該學(xué)說認(rèn)為“錯(cuò)誤是件好事情”. 而在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，錯(cuò)誤其實(shí)也是難以避免的，作為數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)思維綜合性很高的問題解決，避免出錯(cuò)也是不可能的事情. 因此，在問題解決教學(xué)中吸納“可錯(cuò)性學(xué)說”，將試錯(cuò)當(dāng)成問題解決的重要思路，也是可取的.

最具說服力的例子來源于教材上的一些“課題學(xué)習(xí)”，如人教版教材中的“最短路徑問題”，這是利用軸對(duì)稱知識(shí)來解決的一個(gè)問題，在對(duì)其中的“造橋選址問題”（如圖1）的分析中，筆者發(fā)現(xiàn)好多學(xué)生難以利用軸對(duì)稱知識(shí)建立直接的模型. 在建立模型的過程中，學(xué)生試圖通過軸對(duì)稱來尋找到最短的路徑，結(jié)果在畫圖的時(shí)候因?yàn)橛小皹虮仨毰c河垂直”的要求，導(dǎo)致在草稿紙上畫出的圖形錯(cuò)誤、修正、再錯(cuò)……

這種試錯(cuò)在筆者看來是有益的，因?yàn)閷W(xué)生在試錯(cuò)的過程中，必須完成數(shù)學(xué)抽象的過程，即將實(shí)物圖轉(zhuǎn)換為幾何圖形（如圖2），這實(shí)際上是在不斷地嘗試軸對(duì)稱知識(shí)在其中可以發(fā)揮什么樣的作用，同時(shí)也是對(duì)圖中AM+MN+NB最小值的不斷摸索. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此問題解決的過程中不僅需要軸對(duì)稱，還需要平移，進(jìn)而最終將問題轉(zhuǎn)換為：N點(diǎn)在直線b的什么位置時(shí)，所求距離是最小的？

這樣的試錯(cuò)，實(shí)際上將學(xué)生的思維整個(gè)進(jìn)行了一次梳理，學(xué)生所猜想的所有情形都出現(xiàn)了一遍，學(xué)生不僅知道了正確方法對(duì)在何處，也知道了錯(cuò)誤方法錯(cuò)在哪里. 這樣，學(xué)生思維中就既有對(duì)的認(rèn)識(shí)，又有錯(cuò)的認(rèn)識(shí)，這樣學(xué)生的思維是全面完整的，問題解決的思路是全面清晰的. 教師在教學(xué)的過程中，只要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)一下正確思路，讓學(xué)生形成解題思路即可. 這樣的試錯(cuò)過程，不僅不會(huì)影響學(xué)生的應(yīng)試能力，還會(huì)因?yàn)槠浣?jīng)歷了完整的、由錯(cuò)到對(duì)的探究過程，從而保證學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)可以得到有益提升.

當(dāng)然，問題解決的重心不只在試錯(cuò)上，在問題解決的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維、批判思維，讓學(xué)生在問題解決之后總結(jié)自己的思維過程，提取其中有益的那部分，讓學(xué)生從自己知識(shí)結(jié)構(gòu)與方法完善的角度去思考問題解決的過程有哪些收獲，都是可以提升學(xué)生的問題解決能力的，都是可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)的. 這些方面其實(shí)都是問題解決研究的主題內(nèi)容，而筆者在此重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)試錯(cuò)，是因?yàn)榭吹皆趥鹘y(tǒng)研究中這個(gè)話題有些薄弱，故重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).

“問題解決”之于教學(xué)的意義

問題解決能力無疑是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的關(guān)鍵能力，這就是說在核心素養(yǎng)指引教育教學(xué)改革的背景下，問題解決將成為通過數(shù)學(xué)教學(xué)提升學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.

但這樣的表述仍然顯得過于籠統(tǒng)，從教學(xué)論的視角來看問題解決的意義，應(yīng)當(dāng)建構(gòu)這樣的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：其一，問題解決可以讓教師更好地反思初中數(shù)學(xué)教學(xué). 數(shù)學(xué)教學(xué)不是純粹地教數(shù)學(xué)知識(shí)，還要教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用這些方法，而這個(gè)目標(biāo)，只有在問題解決的具體過程中才能實(shí)現(xiàn). 著名哲學(xué)家亞里士多德說過，“對(duì)于要學(xué)習(xí)才會(huì)做的事情，都是通過那些學(xué)會(huì)后應(yīng)當(dāng)做的事情來學(xué)習(xí)的”，這與中國常說的“在游泳過程中學(xué)會(huì)游泳”是一個(gè)道理，只有在問題解決的過程中才能培養(yǎng)問題解決能力，從而讓數(shù)學(xué)教師更好地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值. 其二，問題解決可以促進(jìn)教師重構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)體系. 問題解決引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，可以讓教師形成問題解決導(dǎo)向的教學(xué)思路，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)圍繞問題解決來進(jìn)行，這樣可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一個(gè)完整的問題解決情境，從而促成學(xué)生的問題解決過程.

總之，在教學(xué)論視角下，初中數(shù)學(xué)本著問題解決的思路去教學(xué)，可以促進(jìn)教師更好地建立數(shù)學(xué)教學(xué)的思路，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu)，最終促進(jìn)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.