巧用復數(shù)理論解決初等數(shù)學問題

岳曦夢+劉雙雙

摘 要：在很多問題中，巧妙地利用復數(shù)，會使問題簡潔明快。不等式問題，在數(shù)學當中有著廣泛的應用，在本文中，我們將復數(shù)模的基本性質(zhì)、復數(shù)的幾何意義，復數(shù)間形式的轉化，復數(shù)與向量的關系等應用到基本實數(shù)不證明的證明當中。

關鍵詞：復數(shù)；不等式；復數(shù)模的性質(zhì)；復數(shù)的應用；解析；幾何

一、 前言

十六世紀前半葉，在Cardan公式中用了復數(shù)開放而引進了復數(shù)。它在很長一段時間內(nèi)困惑著廣大數(shù)學工作者，以至于被稱為“詭辯量”、“實數(shù)的鬼魂”、“虛數(shù)”、“介于存在與不存在之間的兩棲物”等。復數(shù)與我們過去認識的數(shù)有一個明顯的區(qū)別，復數(shù)沒有大小。對此，一度也曾使人費解。直到上世紀初，數(shù)的大小與數(shù)的加法、乘法運算有著密切關系，也就是說，數(shù)的大小順序要與某種排列順序分開，前者受運算性質(zhì)的制約，后者可以與運算性質(zhì)沒有關系。

雖然復數(shù)之間不存在大小關系，但是復數(shù)的模、實部、虛部作為實數(shù)，是可以比較的，因此復數(shù)的模、實部、虛部之間是存在不等關系的。利用復數(shù)的性質(zhì)、幾何意義等可以對不等式進行巧妙地證明，我們將復數(shù)形象地理解為：復數(shù)z=a+bi與復平面內(nèi)的點z（a，b）是一一對應的，也可理解為：復數(shù)z=a+bi與復平面內(nèi)的向量OZ是一一對應的。將復數(shù)具體話將幫助我們更深刻的理解復數(shù)，更加巧妙地運用復數(shù)來解決實際遇到的問題，探究復數(shù)在解決數(shù)學題中的重要意義，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性的思維。

二、 在解析幾何中求動點到定點距離的最值

在解析幾何中，求定點到動點距離，也可以考慮把問題轉化為求復平面上這兩點為起始的向量的模的最值。

【例1】 求圓C：x2+y2=4上的點到定點P（3，33）的最大距離與最小距離。

解：圓C的復數(shù)形式是|Z|=2；設圓C上的任意點為Z，對應的復數(shù)是Z，

P點應的復數(shù)是：3+33i；由復平面上兩點間距離公式得|PZ|=|Z-（3+33i）|，

據(jù)兩復數(shù)差的模的不等式，有 ||Z|-|3+33i||≤|Z-（3+33i）|≤|Z|+|3+3i|；即4≤|PZ|≤8，由Z的幅角的任意性，可知兩個等號可以到達，

圓C上的點到定點P的最大距離是8，最小距離是4。

三、 用復數(shù)證明正弦定理

正弦定理：asinA=bsinB=csinC。

證明：建立坐標系，三角形在坐標系中任意位置，

設A、B、C所對應的復數(shù)分別為z1、z2、z3。

顯然z3-z1z2-z1=bc（cosA+isinA），z1-z2z3-z2=ca（cosB+isinB）

故sinAa=cabIz3-z1z2-z1=cab|z3-z1|2I（z3-z1）（z3-z1）=1abcIz1z3-z2z3-z1z2

∵Iz3z2-z3z1=Iz1z3-z2z3

故asinA=bsinB，同理bsinB=csinC，所以有asinA=bsinB=csinC成立。

四、 利用復數(shù)的模導圓錐曲線方程

圓錐曲線是動點到定點的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)λ的點的軌跡。利用復數(shù)的模同樣能實現(xiàn)推導圓錐曲線，下面是求解的具體步驟方法。

解：設動點z=x+yi，定點為z0，定直線為z=-p2i，

則有|z-z0|=λ|Iz-Ip|；即x+yi-p2=λy+p2，

當λ=1時為x2=2py，若定點為z0=p2，定直線為z=-p2，則用同樣的方法可導出此圓錐曲線的方程：x-p22+y2=λ2x+p22，當λ=1時，方程為y2=2px。

五、 求解含有復數(shù)的不等式

含有復數(shù)的不等式是我們中學曾經(jīng)接觸過的，在應用復數(shù)理論的時候，更要注意巧妙、嚴謹?shù)氖褂茫拍軐蛿?shù)思維的寬度以及廣度最大化，把虛無的世界變得條理清晰，具備說服力和真實性。

【例2】 解不等式-1

解：已知z+1z∈R，于是可令z+1z=r（r∈R），不等式即可變形為：-1

所以不等式-1

倘若令不等式-1

則x=r2，y=±4-r22，x2=r22，y2=1-r24=1-x2

則x2+y2=1，并且y≠0，x≠±1；由此可知解集S是復平面上以原點O為圓心，

以1為半徑的圓心上去掉（1，0）和（-1，0）兩點的兩段連續(xù)圓弧。

參考文獻：

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[2]余致甫.數(shù)學教育學概論[M].上海：華東化工學院出版社，1990：172-176.

[3]宋慶.數(shù)學問題解答I257題[J].數(shù)學通報，2000，（3）：7-10.

作者簡介：

岳曦夢，吉林省長春市，吉林師范大學；

劉雙雙，浙江省杭州市，杭州市星瀾小學。