高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中化歸思想的運(yùn)用

摘 要：高中數(shù)學(xué)是高中課程中學(xué)習(xí)任務(wù)較重、難度較大的一門(mén)學(xué)科。高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)學(xué)習(xí)又是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)。因此，作為一名高中生，掌握一些高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的方法，對(duì)提高數(shù)學(xué)成績(jī)尤為重要。根據(jù)同學(xué)們?cè)诤瘮?shù)學(xué)習(xí)中的溝通和交流，均認(rèn)為化歸思想是學(xué)好高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)的有效方法。本文將介紹化歸思想的定義和特點(diǎn)，并采用習(xí)題案例分析化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的運(yùn)用，以期對(duì)同學(xué)們掌握化歸思想這一思維策略有所啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)；化歸思想；應(yīng)用分析

一、 前言

數(shù)學(xué)是很多其他學(xué)科的基礎(chǔ)，通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅可以提升自己的邏輯分析能力，而且可以逐漸培養(yǎng)一些思維策略，這些思維策略對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)生涯甚至工作生涯都有著重要的作用和意義。高中數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要階段，正是培養(yǎng)自身思維策略的關(guān)鍵時(shí)期。而對(duì)于筆者及同學(xué)而言，高中數(shù)學(xué)中函數(shù)作為學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)我們的思維策略開(kāi)發(fā)有重要意義。筆者將在本文中介紹化歸思想的定義和特點(diǎn)，并引用案例探析高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中化歸思想的運(yùn)用。

二、 化歸思想的定義與特點(diǎn)

化歸，廣義上是指通過(guò)分解、變形或者代換等方法，將問(wèn)題由難化為易、由繁化為簡(jiǎn)、由復(fù)雜化為簡(jiǎn)單的過(guò)程，化歸是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的簡(jiǎn)稱(chēng)。

從定義可以看出，化歸是一種重要的解題思路，又是一種基本的思維策略，還是一種有效的數(shù)學(xué)邏輯思維方式。因此，所謂化歸思想，是指在研究或解決一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方法將數(shù)學(xué)問(wèn)題變換而轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而達(dá)到快速解題的一種方法。通常，運(yùn)用化歸思想往往是將較為復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行變換而轉(zhuǎn)化成較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題；將較難解答的問(wèn)題進(jìn)行變換而轉(zhuǎn)化為較易求解的問(wèn)題；將尚未知的問(wèn)題進(jìn)行變換而轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題?？偠灾?，化歸思想方法在解答數(shù)學(xué)題中運(yùn)用廣泛。

化歸的主要特點(diǎn)是其具有靈活性和多樣性。靈活性體現(xiàn)在運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題時(shí)，通常不是直接解決原有題目，而是對(duì)要解決的題目進(jìn)行一定的變形或者轉(zhuǎn)化，直到把待解決的問(wèn)題化歸為某個(gè)或某些已解決的問(wèn)題，或易解決的問(wèn)題，該化歸的過(guò)程可以靈活掌握，運(yùn)用自己最熟悉或最簡(jiǎn)便的化歸思路。多樣性體現(xiàn)在運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題時(shí)，只要遵循已知的、基礎(chǔ)的、簡(jiǎn)單的知識(shí)將未知轉(zhuǎn)化為已知的總體原則即可，要實(shí)現(xiàn)這個(gè)原則，我們可以采取很多方法，因此同一個(gè)題目可以有多樣化的化歸解題方法。

三、 高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中化歸思想的運(yùn)用

化歸思想的基礎(chǔ)功能是：將生疏化為熟悉，將復(fù)雜化為簡(jiǎn)單，將抽象化為直觀，將含糊化為明朗。歸根到底，化歸的實(shí)質(zhì)就是要善于將待解決的問(wèn)題進(jìn)行變換和轉(zhuǎn)化。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中主要應(yīng)用到的轉(zhuǎn)化方法有：待定系數(shù)法、配方法、整體代入法、由抽象到具體等。筆者將結(jié)合高中數(shù)學(xué)函數(shù)習(xí)題案例探討這些轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用。

（一） 化歸——待定系數(shù)法的應(yīng)用

已知，f（x）是關(guān)于x的一個(gè)五次多項(xiàng)式，若f（-2），f（-1），f（0），f（1）均為0，f（2）為24，f（3）為360，求f（4）的值。

解題分析：因?yàn)閒（-2），f（-1），f（0），f（1）均為0，所以該多項(xiàng)式f（x）中一定有因式（x+2），（x+1），x和（x-1），這4個(gè)因式的乘積已經(jīng)為四次多項(xiàng)式，因此我們可以將該多項(xiàng)式設(shè)為（x+2）×（x+1）×x×（x-1）×（ax+b），再運(yùn)用待定系數(shù)法，求出a與b的值之后代入到原多項(xiàng)式中，便可得出f（4）的值為1800。

（二） 化歸——配方法的應(yīng)用

請(qǐng)求出拋物線：y=3x2-6x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

解題分析：采用配方法可以將該拋物線y=3x2-6x-3轉(zhuǎn)化為：y=3（x2-2x-1）=3（x2-2x+1-1-1）=3（x-1）2-6

由轉(zhuǎn)化后的拋物線函數(shù)關(guān)系式，可以直觀地看出其頂點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為（1，-6）。

（三） 化歸——整體代入法的應(yīng)用

已知，實(shí)數(shù)x和y滿足方程式x2+3x+y-3=0，求x+y的最大值。

解題分析：運(yùn)用整體代入法，先將y用表示為含有x的式子，再代入（x+y）。

具體步驟為：x2+3x+y-3=0可以轉(zhuǎn)化為y=3-3x-x2，代入（x+y）可以得出（x+y）=3-2x-x2，再利用配方法可以得出（x+y）=-（x2+2x-3）=-[（x+1）2-4]=4-（x+1）2。

因?yàn)椋▁+1）2大于等于0，所以4-（x+1）2小于等于4。故（x+y）的最大值為4。

（四） 化歸——由抽象到具體法的應(yīng)用

有一個(gè)三組對(duì)棱分別相同的三棱錐，棱長(zhǎng)分別為13、14和15，求該三棱錐的體積。

解題分析：采用由抽象到具體的方法，將三棱錐看作截去四角的長(zhǎng)方體，題目便可轉(zhuǎn)化為用函數(shù)方程求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高。再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積間接得出三棱錐的體積。

從這些例題解析中，可以看出化歸思想在我們的高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中，幾乎無(wú)處不在。因此，掌握正確的方法來(lái)應(yīng)用化歸思想的方法進(jìn)行解題是我們每一名學(xué)生的使命，在應(yīng)用化歸思想解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：

1. 要緊盯化歸的目標(biāo)，以確?；瘹w實(shí)施的有效性和規(guī)范性

化歸思想作為一種解題方法，其包括化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)及化歸方法（途徑）3個(gè)要素。實(shí)施化歸思想方法要求我們根據(jù)數(shù)學(xué)題目選擇出明確的對(duì)象、設(shè)計(jì)好解題目標(biāo)、選擇好轉(zhuǎn)化方法。首先，設(shè)計(jì)出正確的解題目標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，通常，設(shè)計(jì)化歸的目標(biāo)時(shí)，要以課本中的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法為依據(jù)，并把待解決的問(wèn)題化歸為與課本知識(shí)或方法相一致的問(wèn)題。其次，化歸方法的選擇決定了化歸是否能夠如期完成。同時(shí)我們還要考慮化歸方法的可行性和有效性，確保合理使用化歸思想方法。因此，在解題的過(guò)程中，我們必須始終緊盯化歸目標(biāo)，合理選擇化歸對(duì)象，正確運(yùn)用化歸方法。endprint

2. 應(yīng)注意化歸中轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，以保證運(yùn)用正確的邏輯解題

化歸可分為等價(jià)化歸和非等價(jià)化歸，在我們高中數(shù)學(xué)中的化歸大多為等價(jià)化歸。等價(jià)化歸要求我們?cè)趯?duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，必須有充分的和必要的前因后果，以確保最終轉(zhuǎn)化后的結(jié)果即是原題的結(jié)果。

3. 應(yīng)根據(jù)題目設(shè)計(jì)出合理的轉(zhuǎn)化方案，并注意轉(zhuǎn)化的多樣性

轉(zhuǎn)化是化歸思想的核心，并且在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，往往可以采取多種轉(zhuǎn)化的途徑和方法達(dá)到同一目標(biāo)。因此我們需要研究和設(shè)計(jì)出合理的、最簡(jiǎn)捷的轉(zhuǎn)化方法，避免生搬硬套，造成解題過(guò)程繁難不堪。

四、 總結(jié)

化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用意義重大，為我們解答數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題，提供了多元化的思維模式，通過(guò)針對(duì)不同類(lèi)型的函數(shù)問(wèn)題，聯(lián)想適合的問(wèn)題轉(zhuǎn)化方式，將問(wèn)題由難化易，由繁化簡(jiǎn)，由未知化為已知，整個(gè)過(guò)程中，同學(xué)們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題的同時(shí)，也潛移默化地提高了思維的靈活性和多元性。這不僅對(duì)當(dāng)下的高中學(xué)習(xí)大有益處，也為將來(lái)思維的拓展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

然而，在運(yùn)用化歸思想解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們也要注意化歸思想的用法，一方面，要確保緊盯解題目標(biāo)，避免因偏題浪費(fèi)解題時(shí)間或錯(cuò)用化歸；另一方面，要保證化歸過(guò)程中的等價(jià)轉(zhuǎn)化，避免因轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤，導(dǎo)致解題失??；同時(shí)，還要打開(kāi)思維，尋找最簡(jiǎn)捷的化歸轉(zhuǎn)化途徑，以縮減解題時(shí)間，簡(jiǎn)化解題過(guò)程。

總之，只有正確地應(yīng)用化歸思想，才能真正發(fā)揮化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的作用。

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作者簡(jiǎn)介：肖煜恒，湖北省襄陽(yáng)市，湖北襄陽(yáng)第四中學(xué)。endprint