概率統(tǒng)計(jì)課程中的一些教學(xué)引入細(xì)節(jié)

劉宏超+齊祥來

摘 要：概率統(tǒng)計(jì)課程的引入問題確實(shí)是一個(gè)需要重視的大問題，關(guān)于這方面的探討并不多，筆者在本文中舉出了很多例子，這些例子的切入角度往往是出人意料的，希望能起到拋磚引玉的效果，進(jìn)而引起廣大教學(xué)同行們的共鳴。

關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì)；教學(xué)；引入；細(xì)節(jié)

概率統(tǒng)計(jì)是高等院校一門重要的公共數(shù)學(xué)必修課，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理以及建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力具有重要意義。然而這門課的引入在教學(xué)細(xì)節(jié)上不易處理，存在著學(xué)生理解困難的現(xiàn)狀，筆者通過一些實(shí)例分析，分享一些教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，希望能起到拋磚引玉的效果，引起廣大同行們的共鳴。

我們都知道，好的開始就是成功的一半，那么這門課該如何引入呢？

常見的教材都是從兩類現(xiàn)象的分析來引入這門課的，即確定性現(xiàn)象和隨機(jī)性現(xiàn)象，所謂確定性現(xiàn)象就是在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象，呈現(xiàn)出來的特點(diǎn)是多因一果，而隨機(jī)現(xiàn)象就是在確定的條件下會(huì)有多個(gè)可能的結(jié)果發(fā)生的現(xiàn)象，呈現(xiàn)出來的特點(diǎn)是多因多果，而這門課正是以隨機(jī)現(xiàn)象為研究對(duì)象，隨后是隨機(jī)試驗(yàn)概念的引入，準(zhǔn)確說來，這門課研究的是可以用隨機(jī)試驗(yàn)描述的隨機(jī)現(xiàn)象。這樣的引入方式很不錯(cuò)，注重從實(shí)際需要出發(fā)，換句話說，是人們實(shí)踐生產(chǎn)的需要促成了這門課的誕生，所以，作為任課教師，一定要在這一部分舉出足夠多的精彩的實(shí)例來吸引學(xué)生，其實(shí)也不需要刻意地吸引學(xué)生，好的例子本身就會(huì)唱歌，這方面有很多精彩的實(shí)例。

以“蝴蝶效應(yīng)”為例，這個(gè)例子想表達(dá)的意思是當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)經(jīng)過了足夠長(zhǎng)的時(shí)間經(jīng)歷，那么最初一個(gè)小小的條件變動(dòng)或干擾，最后它所產(chǎn)生的結(jié)果可能被放大一個(gè)巨大的倍數(shù)，這一點(diǎn)甚至可以結(jié)合一個(gè)催眠學(xué)里面的一個(gè)案例：一個(gè)患有“恐婚癥”的公司白領(lǐng)蘭蘭每天活在焦慮不安失眠中，經(jīng)過催眠師催眠后，回憶起了四歲時(shí)的一個(gè)經(jīng)歷，母親那天把她一個(gè)人留在家里出去買菜，買菜回來后進(jìn)門急著做飯沒有擁抱她，就這樣一個(gè)在外人或常人覺得不值得一提的小事在她心中埋下了難以磨滅的創(chuàng)傷，竟然在二十多年后因?yàn)榘踩械娜笔бl(fā)“恐婚癥”！正如弗洛伊德學(xué)派所相信的，一個(gè)人的童年的經(jīng)歷會(huì)對(duì)這個(gè)人的一生起到?jīng)Q定性的影響，童年的創(chuàng)傷甚至?xí)?duì)一個(gè)人的人格產(chǎn)生分裂性的影響，這一點(diǎn)正和“蝴蝶效應(yīng)”不謀而合。

以生男生女為例，在自然狀況下，一對(duì)夫婦生男生女的概率都是二分之一，如果一對(duì)夫婦生了兩個(gè)孩子，則至少有一個(gè)是男孩的概率是四分之三，同樣的算法很容易算出，如果一對(duì)夫婦生了三個(gè)孩子，則至少一個(gè)是男孩的概率是八分之七，這樣一來數(shù)據(jù)上就會(huì)給人一種感覺，生的越多得到男孩的概率就越大，這個(gè)時(shí)候一定要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，這種感覺只不過是一種錯(cuò)覺而已，因?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)這門課得到的所有的結(jié)果只有統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義，對(duì)于某個(gè)個(gè)體而言并沒有什么意義，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)據(jù)角度來看，生三個(gè)孩子至少一個(gè)是男孩的概率的確是八分之七，但是對(duì)于某一對(duì)特定的夫婦而言，這個(gè)答案八分之七毫無意義，因?yàn)樗麄冇肋h(yuǎn)見不到八分之七，如果他們一胎是女兒，再生第二胎時(shí)是男孩的概率還是二分之一，這件事貌似是這門課的一個(gè)悖論，這充分說明這門課的計(jì)算結(jié)果具有的意義主要是統(tǒng)計(jì)學(xué)上的宏觀意義。

類似的例子比如降水概率，天氣預(yù)報(bào)說明天的降水概率是百分之六十，這個(gè)數(shù)據(jù)是什么意思？明天空中的云彩里難道有百分之六十的雨要下？顯然不能這樣理解，降水概率是百分之六十的意思是如果這樣預(yù)報(bào)一百次，那么大概有六十次左右會(huì)下雨，這樣一來有助于人們從宏觀上安排生產(chǎn)活動(dòng)，同樣的，比如醫(yī)療系統(tǒng)的數(shù)據(jù)顯示某種疾病患病率為千分之五，這個(gè)數(shù)據(jù)怎么理解？隨機(jī)地挑選一個(gè)人，難道我們可以說這個(gè)人身上有千分之五的這種疾病？顯然不能這樣理解，對(duì)于一個(gè)特定個(gè)體而言，他或者沒有這種疾病，或者有這種疾病，絕不是身上有千分之五的這種病?；疾÷蕿榍Х种暹@句話正確的理解方式是在一千個(gè)人當(dāng)中，患這種疾病的人數(shù)大概是五個(gè)人，所以，這些例子再次說明，這門課的數(shù)據(jù)顯示的結(jié)果僅僅具有統(tǒng)計(jì)學(xué)的價(jià)值，對(duì)于個(gè)體而言并沒有什么參考意義。

我們總是希望一門課可以跟前沿結(jié)合起來，那么這門課有諸如此類的相關(guān)的例子嗎？答案是肯定的，談到隨機(jī)現(xiàn)象，一些物理學(xué)中的例子必須給學(xué)生舉出來，比如分子運(yùn)動(dòng)論里面的“布朗運(yùn)動(dòng)”，把花粉撒入水中，觀察花粉分子的運(yùn)動(dòng)狀況，結(jié)果讓人驚詫，在同一時(shí)刻，各個(gè)花粉分子的運(yùn)動(dòng)方向五花八門，而且運(yùn)動(dòng)速度也互不相同，呈現(xiàn)出了隨機(jī)現(xiàn)象，這就是一個(gè)很好的例子。關(guān)于物理學(xué)中的隨機(jī)現(xiàn)象，還可以以“電子云”為例，從原子的模型結(jié)構(gòu)講起，最開始人們以為原子是實(shí)心的，后來進(jìn)步為原子的“行星系模型”，及內(nèi)層原子核由質(zhì)子和中子構(gòu)成，它們占據(jù)了原子的幾乎百分之百的質(zhì)量，外層是電子，那么電子是如何運(yùn)轉(zhuǎn)的呢？開始人們認(rèn)為電子是繞著原子做高速旋轉(zhuǎn)，但是這種想法很快被人們否定了，如果電子繞著原子核做高速旋轉(zhuǎn)，那么一定會(huì)產(chǎn)生變化的電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)又會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，這樣一來原子就會(huì)向外釋放電磁波從而產(chǎn)生原子坍縮或者不穩(wěn)定，但事實(shí)上原子很穩(wěn)定，近代的量子力學(xué)顯示，電子只是隨機(jī)地出現(xiàn)在外層某些區(qū)域，人們把電子經(jīng)常出現(xiàn)的區(qū)域叫做“電子云”。

當(dāng)然還有其他的物理學(xué)前沿例子，比如“宇宙大爆炸”理論，雖然超出了隨機(jī)現(xiàn)象的范疇（因?yàn)闊o法用隨機(jī)試驗(yàn)來描述），但是可以作為一種延伸的隨機(jī)現(xiàn)象，從而讓學(xué)生明白隨機(jī)現(xiàn)象無處不在，甚至宇宙的產(chǎn)生就是一個(gè)隨機(jī)事件，這個(gè)例子無疑會(huì)引起學(xué)生的深思。

從兩類現(xiàn)象出發(fā)，還可以走向形而上學(xué)的哲學(xué)，世界到底是可知的還是不可知的？人生到底是宿命的還是偶然如浮萍的？大自然究竟是可以預(yù)知呢還是混沌一片？這樣的問題顯然可以拔高這門課的理論高度。不要害怕很多問題沒有答案，思考的過程本身就是對(duì)思維的一種鍛煉。

總之，這門課的引入問題確實(shí)是一個(gè)需要重視的大問題，關(guān)于這方面的探討并不多，筆者希望通過本文引起廣大同行們的重視，從而促使大家在第一節(jié)課的時(shí)候就能用最精彩的例子把學(xué)生吸引進(jìn)來，相信有了一個(gè)好的開端，同學(xué)們學(xué)習(xí)這門課就不會(huì)再有心理的障礙，從而使這門課的教學(xué)質(zhì)量更上一層樓。

作者簡(jiǎn)介：

劉宏超，齊祥來，河南省鄭州市，鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院。endprint