機(jī)器人手臂軌跡跟蹤的變?cè)鲆鍸PV魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)

郭海峰，竇福談，魯寧波

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110159)

機(jī)器人手臂軌跡跟蹤的變?cè)鲆鍸PV魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)

郭海峰，竇福談，魯寧波

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110159)

針對(duì)機(jī)器人手臂模型中存在動(dòng)態(tài)不確定性和外部干擾的不確定性，引入變?cè)鲆婢€性變參數(shù)的魯棒H∞控制方法，設(shè)計(jì)了手臂軌跡跟蹤控制器。采用拉格朗日法建立機(jī)器人手臂軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)方程；利用變?cè)鲆婢€性變參數(shù)凸分解技術(shù)，將這一動(dòng)態(tài)模型轉(zhuǎn)化為具有凸多面體結(jié)構(gòu)的線性變參數(shù)模型；根據(jù)魯棒控制理論和線性矩陣不等式理論，在凸多面體的各個(gè)頂點(diǎn)設(shè)計(jì)反饋控制器，然后利用各個(gè)頂點(diǎn)控制器綜合得到線性變參數(shù)控制器。仿真結(jié)果表明,機(jī)器人手臂對(duì)于關(guān)節(jié)位置的變化始終具有良好的跟蹤性能。

機(jī)器人手臂軌跡跟蹤;魯棒H∞控制;變?cè)鲆?線性變參數(shù);線性矩陣不等式

機(jī)器人手臂軌跡指的是機(jī)器人操作過(guò)程中目標(biāo)執(zhí)行器的位置、速度、加速度等概念。機(jī)器人手臂軌跡跟蹤控制的研究目標(biāo)使得機(jī)器人手臂的運(yùn)行平穩(wěn)，輸出的運(yùn)行軌跡平滑。在工程實(shí)踐中，機(jī)器人手臂系統(tǒng)始終受一些不確定的影響，如建模誤差，動(dòng)靜摩擦力，負(fù)載的變化，各項(xiàng)參數(shù)溫度的漂移等等[1]。機(jī)器人手臂系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性不確定系統(tǒng)。目前應(yīng)用于這類伺服運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的算法主要有PID、自適應(yīng)、變結(jié)構(gòu)、魯棒控制等等[1-9]。針對(duì)這種外部干擾條件最差和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)的復(fù)雜不確定非線性的機(jī)器人手臂系統(tǒng)，魯棒H∞控制理論具有一定的優(yōu)勢(shì)。而非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題很多時(shí)候可以轉(zhuǎn)化為變?cè)鲆婵刂茊?wèn)題，并且在工程中得到應(yīng)用。這種方法的實(shí)質(zhì)是首先設(shè)計(jì)局部控制器,然后在已有局部控制器的基礎(chǔ)上綜合得到全局控制器。近年來(lái)，由于魯棒控制的不斷發(fā)展，變?cè)鲆婵刂埔驳玫揭欢ǖ陌l(fā)展，其中線性變參數(shù)(Linear parameter varying,LPV)方法已經(jīng)得到實(shí)際應(yīng)用[9]。機(jī)器人手臂系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是一個(gè)非線性系統(tǒng)，它可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于關(guān)節(jié)位置及相關(guān)變量為參數(shù)的LPV模型。

本文的目的是針對(duì)內(nèi)部參數(shù)不確定的復(fù)雜非線性機(jī)器人手臂動(dòng)態(tài)模型，設(shè)計(jì)一種具有抑制干擾的軌跡跟蹤的魯棒H∞控制器，主要工作是：1)采用拉格朗日法建立機(jī)器人手臂軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)方程；2)確定機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)范圍，利用變?cè)鲆鍸PV凸分解技術(shù)，將這一動(dòng)態(tài)模型轉(zhuǎn)化為具有凸多面體結(jié)構(gòu)的LPV模型；3)根據(jù)魯棒控制理論和線性矩陣不等式理論，在凸多面體的各個(gè)頂點(diǎn)設(shè)計(jì)反饋控制器，然后利用各個(gè)頂點(diǎn)控制器綜合得到線性變參數(shù)控制器；4)最后的仿真結(jié)果表明，機(jī)器人手臂對(duì)于關(guān)節(jié)位置的變化始終具有良好的跟蹤性能。

1 機(jī)器人手臂軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)方程

由文獻(xiàn)[1],具有一般性考慮在豎直向上平面內(nèi)兩連桿機(jī)器人手臂軌跡跟蹤動(dòng)態(tài)方程，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)受到重力的影響，應(yīng)用拉格朗日動(dòng)力學(xué)推到得到模型如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

為便于利用LMI設(shè)計(jì)H∞控制器，將式(3)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間描述。為了滿足式(4)，取

則式(3)的狀態(tài)空間描述為

(5)

取檢測(cè)信號(hào)z=x，則機(jī)器人的整體狀態(tài)空間描述為

(6)

式中：

2 變?cè)鲆鍸PV魯棒H∞控制器設(shè)計(jì)

考慮文獻(xiàn)[9]方法，由于矩陣A、B都是依賴于參數(shù)q的，利用LPV方法針對(duì)式(6)設(shè)計(jì)控制器。根據(jù)各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍，取四個(gè)頂點(diǎn)，φ1=(q1min,q2min),φ2=(q1min,q2max),φ3=(q1max,q2max),φ4=(q1max,q2min)組成一個(gè)凸四面體，由凸分解技術(shù)處理式(6)得到

(7)

式中

在四個(gè)頂點(diǎn)φm1、φm2、φm3及φm4分別設(shè)計(jì)滿足性能要求的狀態(tài)反饋控制器K1、K2、K3、K4，則對(duì)于任意的位置q，可利用如下方法得到該控制器

K=ρ1(q)K1+ρ2(q)K2+ρ3(q)K3+ρ4(q)K4

(8)

下面進(jìn)行魯棒H∞控制器的設(shè)計(jì)。假設(shè)R為機(jī)器人的參考輸入，z為誤差。要求機(jī)器人能夠準(zhǔn)確跟蹤參考輸入，也就是要求在R的輸入下，z具有H∞性能?？刂葡到y(tǒng)模型如下所示：

(9)

對(duì)于系統(tǒng)(9)設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器

u=Kx

(10)

將式(10)帶入到式(9)中，得到閉環(huán)控制系統(tǒng)

(11)

則系統(tǒng)(11)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

TRZ=(sI-A-B2K)-1B1

(12)

有界實(shí)引理[10]：設(shè)計(jì)的控制器(10)要求滿足以下性質(zhì)：

(1)閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)穩(wěn)定。

(2)從干擾信號(hào)R到檢測(cè)信號(hào)z的閉環(huán)傳遞函數(shù)TRZ的無(wú)窮范數(shù)小于1，即

‖TRZ‖=‖(SI-A-B2K)-1B1‖<1

(13)

基于上述要求的控制器，推導(dǎo)得到以下定理。

定理：對(duì)系統(tǒng)(11)，存在一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制器，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣X和矩陣W，使得矩陣不等式

(14)

成立。進(jìn)一步，如果矩陣不等式存在可行解X、W，則u=(WX-1)x就是系統(tǒng)(5)的一個(gè)狀態(tài)反饋H∞控制器。矩陣不等式(14)是矩陣變量X、W的線性矩陣不等式，可以用LMI中的feasp來(lái)求解該線性矩陣不等式。

對(duì)于給定標(biāo)量γ>0，求系統(tǒng)的γ次優(yōu)H∞控制器，則按照以下思路進(jìn)行處理：

‖TRZ‖<γ?‖γ-1TRZ‖<1

(15)

這樣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)H∞控制問(wèn)題，相應(yīng)的矩陣不等式為

(16)

基于式(16)，可以轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題的求解，即

minγ

s.t.

(17)

使得X>0。這樣，最小的干擾抑制度就是γ，矩陣不等式(17)可以通過(guò)LMI中的mincx來(lái)求解該優(yōu)化問(wèn)題。利用上述方法求得四個(gè)頂點(diǎn)的反饋增益矩陣，再利用式(8)可以求得任意位置的反饋增益矩陣K。

3 仿真算例

對(duì)式(1)進(jìn)行仿真研究，相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 二自由度機(jī)械臂的標(biāo)稱參數(shù)

由以上四個(gè)反饋增益矩陣，通過(guò)式(4)得到整個(gè)LPV變?cè)鲆娣答伨仃?，通過(guò)在線計(jì)算ρi(i=1…4)可以得到具體位置的增益反饋矩陣。

K=ρ1(q)K1+ρ2(q)K2+ρ3(q)K3+ρ4(q)K4

所以，根據(jù)以上所述，得到系統(tǒng)的LPV反饋控制器u=Kx。

圖1 兩個(gè)關(guān)節(jié)的位置響應(yīng)曲線

圖2 兩關(guān)節(jié)控制力矩響應(yīng)曲線

圖3 機(jī)器人手臂軌跡跟蹤曲線

從圖1可看出，在控制器作用下，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2對(duì)快速變化的參考輸入具有很強(qiáng)的跟蹤能力。圖2給出輸出控制力矩的曲線表明關(guān)節(jié)1的控制力矩有一定擺動(dòng)，而關(guān)節(jié)2的控制力矩運(yùn)動(dòng)平滑，上升時(shí)間較小。圖3顯示機(jī)器人手臂末端軌跡的跟蹤曲線基本與參考軌跡重合。仿真結(jié)果表明采用這種控制方法，機(jī)器人手臂對(duì)于關(guān)節(jié)位置的變化始終具有良好的跟蹤性能。

4 結(jié)論

機(jī)器人手臂軌跡跟蹤模型中存在動(dòng)態(tài)不確定性和外部干擾的不確定性，這使得模型具有時(shí)變、強(qiáng)耦合、非線性等復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。本文引入變?cè)鲆婢€性變參數(shù)的魯棒H∞控制方法，設(shè)計(jì)了機(jī)器人手臂軌跡跟蹤控制器。這一方法的實(shí)質(zhì)是在外部條件最差和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)的不確定條件下，采用矩陣變換方法和變?cè)鲆婢€性變參數(shù)凸分解技術(shù)，將這一動(dòng)態(tài)模型轉(zhuǎn)化為具有凸多面體結(jié)構(gòu)的線性變參數(shù)模型。再根據(jù)魯棒控制理論和線性矩陣不等式理論，在凸多面體的各個(gè)頂點(diǎn)設(shè)計(jì)反饋控制器，然后利用各個(gè)頂點(diǎn)控制器綜合得到線性變參數(shù)控制器。仿真結(jié)果表明機(jī)器人手臂關(guān)節(jié)位置的變化始終具有良好的跟蹤性能。

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RobustH∞ControllerDesignforRobotManipulatorsTrajectoryTrackingBasedonVariableGainLPV

GUO Haifeng,DOU Futan,LU Ningbo

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

According to the dynamic uncertainties and external disturbance uncertainties of robot manipulator model,a kind of robustH∞controller design method with the variable gain linear parameter varying is introduced,and Robot manipulators trajectory tracking controllers are designed.Dynamic equations of the Robot manipulators trajectory tracking are established by Lagrange method,which adopts the variable gain linear parameter varying and convex decomposition technique,and the variable parameter models of dynamic models are transformed,the variable parameter models of the dynamic models are transformed into the linear parameter varying models with the convex polyhedron structure.Based on robust control theory and linear matrix inequality theory,the feedback controller at each vertex of the convex polyhedron is designed.Then，linear parameter varying controller is obtained by using each vertex controller.Simulation results show that robot manipulators have good tracking performance for the joint position change.

robot manipulator trajectory tracking;robustH∞control;variable gain;linear parameter varying;linear matrix inequality

2017-03-03

國(guó)家自然科學(xué)基金-青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61402475)

郭海峰(1970—),男,教授,博士,研究方向：先進(jìn)控制理論與應(yīng)用、系統(tǒng)工程與供應(yīng)鏈管理。

1003-1251(2017)06-0056-05

TP273

A

馬金發(fā))