基于兩步平滑的瞬時波動率非參數(shù)估計

蔡井偉，陳 萍，梅 霞

（1.江蘇農(nóng)林職業(yè)技術學院 基礎部，江蘇 鎮(zhèn)江 212400；2.南京理工大學 理學院，南京 210094）

0 引言

擴散模型在金融統(tǒng)計中已發(fā)揮重要作用。迄今為止，擴散模型的統(tǒng)計推斷依然是統(tǒng)計學、金融數(shù)學以及計量經(jīng)濟學關注的一個焦點。

考慮如下的一類擴散模型：

眾所周知，波動率（擴散函數(shù)）在衍生證券定價中是非常重要的，其正確估計是合理定價衍生證券的基礎。鑒于非參數(shù)方法在模型設定中所體現(xiàn)出的穩(wěn)健性和準確性，很多學者用這種方法來估計波動率。然而，大多數(shù)波動率的非參數(shù)估計工作都是圍繞積分波動率而展開的[1-4]，一般地，積分波動率可以被定義為這里T是時間跨度。最近，越來越多的學者開始考慮瞬時波動率（即期波動率）的估計問題[5,6]。繼積分波動率之后，瞬時波動率推理問題已經(jīng)成為回歸動態(tài)研究方面的一個熱點。文獻[7]用兩步平滑的技巧研究了狀態(tài)相依擴散模型漂移函數(shù)和擴散函數(shù)的估計問題，給出了穩(wěn)健又可靠的瞬時波動率估計量。

本文利用兩步平滑的技巧考慮了時間相依擴散模型瞬時波動率的估計問題并得出了估計量的一致性和漸近正態(tài)性。與文獻[7]中考慮的狀態(tài)相依擴散模型不同，這里考慮的隨機模型是時間相依的。文中兩步平滑估計量的收斂率是是兩個相鄰樣本觀察值間的時距；ε是第一步平滑的時間跨度，當δ→0時,ε→0；b是核函數(shù)的帶寬），該收斂率優(yōu)于（文獻[8，9]中估計量所得到的收斂率）。

1 瞬時波動率的非參數(shù)估計

考慮任意的一個分劃：0=t0＜t1＜t2＜…＜tn=T，對于任意的正整數(shù)i（0≤ i≤n），定義 δi=ti-ti-1。為了討論的方便，假設樣本觀察值是等距選取的，這樣兩個相鄰樣本觀察值間的時距可以表示為：δ=T n，因此有：ti=iT n。

定義：

給定i（0≤ i≤n），再定義：

這里：

下面給出必須的一些技術條件，它們在波動率的估計中是很常見的。

T1：過程{μt}t≥0二階可微并可測的,即：

T2：過程{σt}t≥0是可微的且滿足：

和

T3：帶寬b 滿足b～δ12/log（1/δ）

T4：核函數(shù) K（?）是支撐集為 [-1，1]的二階可微的函數(shù)且滿足：

2 估計量的一致性和漸近正態(tài)性

定理1：假設條件T3和T4成立,則對于任意的t∈[0，T]，有：

證明：

這里：

為了便于推理，這里假設μ=0（對于μ≠0的情形，會得出相同的結(jié)果，只不過增加了一些冗繁的計算而已）。這樣就有：

明顯地：

利用分部積分法有：

這 里 Ui，j～N（0，1）。 給 定 任 意 的 i ，當 j≠k 時 ，是相互獨立的。從而容易得到E[C]=0。

令：

則：

進一步地：

定理3：在條件T1-T4下，給定：

和

則有：

證明：由定理2的證明知：

對于F2，有：

上面的最后一個等式之所以成立，是由于ε=oP（b）以及是單調(diào)遞增的函數(shù)。

令：

則：

所以：

忽略高階無窮小的影響,有：

進而：

由帶有Lyapunov條件的Lindberg定理可知：

進一步地有：

3 結(jié)束語

應用于狀態(tài)相依擴散模型的兩步平滑的技巧同樣可以應用于時間相依擴散模型。應用該技巧所得波動率的估計量是真實函數(shù)的一致估計量且是漸近正態(tài)的，估計的精度（從收斂率方面考慮）相較于一步平滑的方法也有所提高。

[1]Andersen T G,Bollerslev T,Diebold F X,Labys P.Modeling and Forecasting Realized Volatility[J].Econometrica,2003,71（2）.

[2]Zhang L,Mykland P A,A?t-Sahalia Y.A Tale of Two Time Scales:Determining Integrated Volatility With Noisy High Frequency Data[J].Journal of the American Statistical Association,2005,100（472）.

[3]Fan J Q,Wang Y Z.Multi-scale Jump and Volatility Analysis for High-frequency Financial Data[J].Journal of the American Statistical Association,2007,102（480）.

[4]A?t-Sahalia Y,Mykland P A,Zhang L.Ultra High Frequency Volatili?ty Estimation With Dependent Microstructure Noise[J].Journal of Econometrics,2011,160（1）.

[5]Mykland P A,Zhang L.Inference for Volatility-type Objects and Im?plications for Hedging[J].Statistics and Its Interface,2008,1（2）.

[6]Alvarez A,Panloup F,Pontier M,Savy N.Estimation of the Instanta?neous Volatility[J].Review of Scientific Instruments,2010,43（5）.

[7]Bandi F M,Phillips P C B.Fully Nonparametric Estimation of Scalar Diffusion Models[J].Econometrica,2003,71（1）.

[8]Fan J Q,Wang Y Z.Spot Volatility Estimation for High-Frequency Data[J].Statistics and Its Interface,2008,1（2）.

[9]Kristensen D.Nonparametric Filtering of the Realised Spot Volatility:A Kernel-Based Approach[J].Econometric Theory,2010,26（1）.