格蘭杰因果檢驗中不同檢驗方法的功效比較

范傳棋，范 丹

（西南財經(jīng)大學 中國西部經(jīng)濟研究中心，成都 611130）

0 引言

Granger（1969）[1]以信息集為基礎(chǔ)給出了因果關(guān)系的定義：如果序列At中含有預測序列Bt+j的信息（A有助于解釋B未來的變化），則A是B的格蘭杰原因。根據(jù)這一定義，學者們提出了多種檢驗格蘭杰因果關(guān)系的思路。Sims（1972）[2]研究發(fā)現(xiàn)，如果A不是B的格蘭杰原因，那么A關(guān)于B未來值的回歸方程中具有一組相等的系數(shù)，它們并非顯著地不同于零。Hslao（1979）[3]找到了兩種更為簡便的格蘭杰因果檢驗方法：零元素法和過度擬合法。零元素法是通過直接證明矩陣中相關(guān)元素是否趨零，從而檢驗序列間格蘭杰因果關(guān)系存在與否。過度擬合法是擬合一個更高滯后階模型，通過構(gòu)建LR統(tǒng)計量（進行似然比檢驗），從而判別序列之間有沒有格蘭杰因果關(guān)系。

基于以上思路，F(xiàn)、LR、Wald、Mwald統(tǒng)計量被用于序列間的格蘭杰因果檢驗中。從實踐上看，大樣本情況下F、LR、Wald、Mwald統(tǒng)計量的檢驗效果相對較好，然而在小樣本條件下一些統(tǒng)計量會面臨檢驗效果不佳的問題。Toda和Phillips（1993）[4]研究表明，在小樣本條件下以瓦爾德原理為基礎(chǔ)的Wald、Mwald統(tǒng)計量的漸進分布是非標準的。Toda和Yamamoto（1995）[5]、Lütkepohl（1996）[6]指出檢驗統(tǒng)計量的非標準漸進分布，會帶來檢驗效果弱化的問題。同時，小樣本條件下格蘭杰因果檢驗可能還面臨著難判、誤判的風險。周建等（2004）[7]采用Monte Carlo模擬方法，證實了小樣本條件下F檢驗容易遇到“真實關(guān)系”難以甄別的問題，特別是在樣本小于20的時候，即使檢驗結(jié)果顯示“不存在因果關(guān)系”，也難以斷定真實的格蘭杰因果關(guān)系是否存在。

從現(xiàn)有研究看，學者們已經(jīng)關(guān)注到小樣本條件下格蘭杰因果檢驗中一些統(tǒng)計量存在檢驗功效不足的問題，然而他們對這些統(tǒng)計量在小樣本條件下的適用性及檢驗功效的比較研究相對較少。針對上面的問題，本文運用Monte Carlo模擬方法，比較小樣本條件下F、LR、Wald、Mwald四種統(tǒng)計量在檢驗格蘭杰因果關(guān)系中的檢驗效果，同時考察隨著樣本量的變化不同計量呈現(xiàn)出來的檢驗特征。

1 基本理論

1.1 Granger因果檢驗中的VAR及ECM過程

根據(jù)Granger對因果關(guān)系的解釋，首先定義二維的VAR（k）過程，過程由式（1）給出。

1.2 Granger因果檢驗中的統(tǒng)計量

1.2.1 F檢驗

以二維系統(tǒng)為例（三維系統(tǒng)同理類推），式（2）中（滯后1期，同理可以推導滯后2期）ECM表達式可以寫成：對于式（4）中第1個方程，如果接受原假設(shè) H（2）0∶則變量Z2t對Z1t的因果關(guān)系不存在；如果拒絕，則變量Z2t是Z1t的格蘭杰因果原因。同理，這一定義也適合式（4）中的方程2。檢驗上述原假設(shè)的統(tǒng)計量為：

其中RSSR表示施加約束條件下模型的殘差平方和，RSSU表示不施加約束條件下模型的殘差平方和，k表示Z2t的最大滯后階數(shù)，2k表示無約束模型中有待估的參數(shù)個數(shù)，T為樣本容量。在滿足高斯分布（多元正態(tài)分布）假定下，式（5）統(tǒng)計量漸進服從F分布。

1.2.2 LR（似然比）檢驗

以三維系統(tǒng)為例（二維系統(tǒng)同理類推），式（3）中（滯后1期，同理可以推導滯后2期）ECM表達式可以寫成：

其中 Acj為 ΔZ1，t-j系數(shù)矩陣，Bcj為 ΔZ2，t-j系數(shù)矩陣，Ccj為 ΔZ3，t-j系數(shù)矩陣（c=1，2，3，j=1，2）。

對于式（6），ΔZct（c=1，2，3）之間的格蘭杰因果檢驗原假設(shè)為其中 i=1，2，3 ；k=1，2，3…n ；同時，原假設(shè)還需要滿足以下約束條件對于式（6）方程1，如果接受原假設(shè) H（3）0 ，則 ΔZct（c=2，3）對ΔZ1t的格蘭杰因果關(guān)系不存在；如果拒絕原假設(shè)H（3）0，則ΔZct是ΔZ1t的格蘭杰原因。同理，這一原理也適合式（6）中方程2和方程3。檢驗統(tǒng)計量：

多維系統(tǒng)中（n≥2）的Wald統(tǒng)計量可以被表述為：

在滿足原假設(shè)條件下，式（7）統(tǒng)計量漸進服從 χ2分布。

1.2.3 Wald及修正的Wald檢驗（MWald）

綜合考察二維、三維系統(tǒng)，結(jié)合式（2）和式（3），給出檢驗 ΔZct（c=2 或 3）對 ΔZ1t是否存在格蘭因果關(guān)系的一般性假設(shè)其中 R 為已知常數(shù)構(gòu)成的矩陣，r是各元素為常數(shù)（通常是0或1）的矩陣。如果接受原假設(shè)，則 ΔZct對 ΔZ1t的格蘭杰因果關(guān)系不存在；如果拒絕原假設(shè)H（C）0，則 ΔZct是 ΔZ1t的格蘭杰原因，檢驗統(tǒng)計量為

2 蒙特卡洛模擬試驗設(shè)計

2.1 蒙特卡洛模擬的試驗思路

結(jié)合以上的基本理論與檢驗思想，對二維、三維系統(tǒng)中的格蘭杰因果關(guān)系進行蒙特卡洛模擬，將二維系統(tǒng)設(shè)計為拒絕原假設(shè)（即拒絕ΔZct不是ΔZ1t的格蘭杰因果原因，表示序列之間存在格蘭杰因果關(guān)系），將三維系統(tǒng)設(shè)計為接受原假設(shè)（即接受ΔZct不是ΔZ1t的格蘭杰因果原因，表示序列之間的格蘭杰因果關(guān)系不存在）。同時設(shè)定模型中最 長 滯 后 階 Lag（ΔZct）=2 ，小 樣 本 范 圍 定 義 為顯著水平設(shè)為 P=0.05 ，模擬次數(shù)設(shè)定為n=5000。為了考察F、LR、Wald及MWald統(tǒng)計量在小樣本條件下檢驗功效的基本規(guī)律與樣本特征，本文通過調(diào)整系數(shù)矩陣的形式完成數(shù)據(jù)生成過程。

2.2 數(shù)據(jù)生成過程（Data Generation Process，DGP）

在二維系統(tǒng)中，生成四種數(shù)據(jù)過程（DGP（1）、DGP（2）、DGP（3）、DGP（4））；在三維系統(tǒng)中，生成兩種數(shù)據(jù)過程（DGP（5）、DGP（6））。 DGP（1）主要考察不存在滯后項情況下序列間不同檢驗方法在檢驗格蘭杰因果關(guān)系中的檢驗功效；DGP（2）是在 DGP（1）基礎(chǔ)上引入滯后1期）的模擬過程；DGP（3）是引入滯后 2 期）的模擬過程；DGP（4）是同時引入的模擬過程。同理，模擬三維系統(tǒng)中的 DGP（5）、DGP（6）過程，DGP（5）是引入（滯后1期）的模擬過程；DGP（6）是同時引入的模擬過程。

系數(shù)矩陣的生成過程借鑒周建和李子奈（2004）[7]在研究變量間格蘭杰因果關(guān)系時提出的自舉方法，當時他們構(gòu)建了一個1階滯后因果關(guān)系模型：ΔZ1t=aΔZ1，t-1+u1t，ΔZ2t=bΔZ1，t-1+cΔZ2，t-1+u2t，其中對 a，b，c 分別取0.1、0.5、0.9，形成了27種數(shù)據(jù)生成過程，最終選取了2個數(shù)據(jù)生成過程進行分析。在此基礎(chǔ)上，本文將滯后階延伸至2階、序列拓展至三維，即 ΔZ1t=aΔZ1，t-1+bΔZ2，t-1+cΔZ3，t-1+dΔZ1，t-2+eΔZ2，t-2+fΔZ3，t-2+u1t（三 維 系 統(tǒng)），ΔZ1t=aΔZ1，t-1+bΔZ2，t-1+cΔZ1，t-2+dΔZ2，t-2+u1t（二維系統(tǒng)）；同時將二維和三維系統(tǒng)中的系數(shù)矩陣元素ξij限定在-1和 1 之 間 ，ξij∈[-1， -0.75， -0.50， -0.25，0，0.25，0.50，0.75，1]，通過系數(shù)矩陣元素的設(shè)定，形成了81種數(shù)據(jù)生產(chǎn)過程，最終在二維系統(tǒng)中選取了4種序列間存在格蘭杰因果關(guān)系的數(shù)據(jù)過程、三維系統(tǒng)中選取了2種不存在格蘭杰因果關(guān)系的數(shù)據(jù)過程（即二維系統(tǒng)中的 DGP（1）、DGP（2）、DGP（3）、DGP（4）和三維系統(tǒng)中的 DGP（5）、DGP（6）），數(shù)據(jù)生成過程如表1所示。

表1 蒙特卡洛模擬數(shù)據(jù)生成過程

2.3 F、LR、Wald、MWald統(tǒng)計量檢驗效果判定標準

在二維系統(tǒng)中模擬試驗被設(shè)計為拒絕原假設(shè)，模擬中選取了存在格蘭杰因果關(guān)系的數(shù)據(jù)過程，因此以F、LR、Wald及Mwald統(tǒng)計量顯示“拒絕原假設(shè)”為檢驗效果判定的基本標準；具體而言，在顯著水平P=0.05的條件下，F(xiàn)、LR、Wald及Mwald統(tǒng)計量的P值小于0.05時，被認為統(tǒng)計量顯示“拒絕原假設(shè)”，在此基礎(chǔ)上以統(tǒng)計量的P值趨近0作為檢驗效果最優(yōu)的標準。同理，在三維系統(tǒng)中模擬試驗被設(shè)計為接受原假設(shè)，模擬中選取了不存在格蘭杰因果關(guān)系的數(shù)據(jù)過程，因為以F、LR、Wald及Mwald統(tǒng)計量顯示“接受原假設(shè)”為檢驗效果判定的基本標準；具體而言，在顯著水平P=0.05的條件下，F(xiàn)、LR、Wald及Mwald統(tǒng)計量的P值大于0.05時，被認為統(tǒng)計量顯示“拒絕原假設(shè)”，在此基礎(chǔ)上以統(tǒng)計量的P值趨近1作為檢驗效果最優(yōu)的標準。

3 模擬結(jié)果分析

經(jīng)過蒙特卡洛模擬，得到20、50、100、200、400位樣本條件下F、LR、Wald及Mwald四個統(tǒng)計量檢驗序列間格蘭杰因果關(guān)系時的P值（6種數(shù)據(jù)過程），如下頁表2所示。

通過對表2分析，發(fā)現(xiàn)在小樣本條件下（n≤ 400），F(xiàn)、LR、Wald、Mwald四個統(tǒng)計量在檢驗格蘭杰因果關(guān)系時，檢驗功效存在差異。

（1）極小樣本條件下，LR統(tǒng)計量檢驗功效最佳，MWald統(tǒng)計量檢驗效果最差?？疾?5位樣本的情況，在二維系統(tǒng)中，模擬的是拒絕原假設(shè)（即我們期望統(tǒng)計量P值小于0.05）。從下頁圖1中可以看出，在0.05顯著水平上顯示“拒絕原假設(shè)”，效果最好的是LR統(tǒng)計量，效果最差的是 Mwald統(tǒng)計量。四種數(shù)據(jù)過程（DGP（1）、DGP（2）、DGP（3）、DGP（4））的 LR 統(tǒng)計量 P 值分別為0.047、0.043、0.061、0.043，這些值多數(shù)顯示拒絕原假設(shè)；而四種數(shù)據(jù)過程的Mwald統(tǒng)計量P值分別為0.201、0.249、0.314、0.187，在0.05顯著水平下這些值均顯示接受了原假設(shè)，此時Mwald統(tǒng)計量產(chǎn)生了誤判。在三維系統(tǒng)中，模擬的是接受原假設(shè)（即期望統(tǒng)計量值P更趨近于1）。從圖2中可以看出，在各個統(tǒng)計量中顯示“接受原假設(shè)”，效果最好的依然是LR統(tǒng)計量，效果最差的仍然是Mwald統(tǒng)計量。兩種數(shù)據(jù)過程（DGP（5）、DGP（6））的 LR 統(tǒng)計量 P 值分別為0.933、0.956，這些值均表明顯著地接受原假設(shè)；而兩種數(shù)據(jù)過程的Mwald統(tǒng)計量值分別為0.646、0.625，這些值也表明接受原假設(shè)，此時Mwald統(tǒng)計量雖沒有出現(xiàn)誤判，然而其判定效果遠遠沒有LR統(tǒng)計量好。另外，LR統(tǒng)計量、Mwald統(tǒng)計量在25位樣本條件下呈現(xiàn)出來的特征，在50位樣本條件下同樣存在。

表2 蒙特卡洛模擬下4個統(tǒng)計量的P值

圖1 25位樣本下四大統(tǒng)計量分布圖（二維）

圖2 25位樣本下四大統(tǒng)計量分布圖（三維）

（2）隨著樣本的增大，Wald、Mwald統(tǒng)計量檢驗效果逐步改善?？疾?00位樣本的情況，Wald、Mwald統(tǒng)計量在極小樣本條件下檢驗效果差的境況，隨著樣本的增大而改善。在二維系統(tǒng)中，Wald、Mwald統(tǒng)計量P值相對于25位樣本、50位樣本中的P值有較大下降。從圖3中可以看出，Wald統(tǒng)計量P值在四種數(shù)據(jù)過程中分別為0.056、0.063、0.071、0.046；Mwald 統(tǒng)計量 P 值在四種數(shù)據(jù)過程中分別為0.046、0.035、0.059、0.068；Wald 、Mwald統(tǒng)計量P值均位于0.05附近，此時Wald、Mwald統(tǒng)計量均未出現(xiàn)誤判，即拒絕了原假設(shè)。在三維系統(tǒng)中，Wald、Mwald統(tǒng)計量P值相對于25位樣本、50位樣本中的P值有較大上升。從圖4中可以看出，Wald統(tǒng)計量P值在兩種數(shù)據(jù)過程中分別為0.920、0.934；Mwald統(tǒng)計量P值在兩種生成過程中分別為0.922、0.900；Wald、Mwald統(tǒng)計量P值均趨于1，此時Wald、Mwald統(tǒng)計量依然未出現(xiàn)誤判，即接受了原假設(shè)。這說明樣本容量的增大，改善了Wald、Mwald統(tǒng)計量的檢驗效果。值得注意的是，在100位樣本條件下，三維系統(tǒng)中Wald、Mwald統(tǒng)計量的檢驗效果優(yōu)于LR統(tǒng)計量。

圖3 100位樣本下四大統(tǒng)計量分布圖（二維）

圖4 100位樣本下四大統(tǒng)計量分布圖（三維）

（3）較大樣本條件下（n=200，400），F(xiàn) 、LR、Wald、Mwald4個統(tǒng)計量檢驗效果差異變小，二維系統(tǒng)中Wald、Mwald統(tǒng)計量檢驗效果最佳，LR統(tǒng)計量檢驗效果最差。當樣本增加到n≥200時，F(xiàn)、LR、Wald、Mwald4個統(tǒng)計量檢驗效果相差不大。首先觀察二維系統(tǒng)，四種數(shù)據(jù)過程的F、LR、Wald、Mwald統(tǒng)計量平均P值分別為0.039、0.055、0.026、0.033，在0.05顯著水平上 F 、LR 、Wald、Mwald基本上都能做出拒絕原假設(shè)的判定，并且4個統(tǒng)計量的平均P值相差很小，這說明在較大樣本條件下，F(xiàn)、LR、Wald、Mwald在檢驗格蘭杰因果關(guān)系時，其檢驗效果差異變小。三維系統(tǒng)中，兩種數(shù)據(jù)過程的F、LR、Wald、Mwald統(tǒng)計量P值均趨于1，4個統(tǒng)計量都顯著地接受了原假設(shè)；由此可知，三維系統(tǒng)中F、LR、Wald、Mwald統(tǒng)計量在檢驗格蘭杰因果關(guān)系時，檢驗功效幾乎是沒有差異的。此外，從圖5中可以看出，二維系統(tǒng)中較大樣本條件下，Wald、Mwald統(tǒng)計量P值要顯著小于LR統(tǒng)計量的P值，此時Wald、Mwald統(tǒng)計量檢驗效果要優(yōu)于LR統(tǒng)計量。

圖5 400位樣本下四大統(tǒng)計量分布圖（二維）

（4）F統(tǒng)計量檢驗效果比較穩(wěn)定，不隨樣本增加出現(xiàn)較大改變。首先考察二維系統(tǒng)，在25、50、100、200、400位樣本條件下，F(xiàn)統(tǒng)計量的平均P值分別為0.077、0.061、0.061、0.053、0.039；不管是極小樣本還是較大樣本，在0.05的顯著水平上，F(xiàn)統(tǒng)計量均能做出拒絕原假設(shè)的判定，不容易出現(xiàn)誤判，說明F統(tǒng)計量檢驗效果是比較穩(wěn)定的。同時，當樣本量逐漸增加時，F(xiàn)統(tǒng)計量并未出現(xiàn)類似于LR統(tǒng)計量檢驗效果變差，Wald、Mwald統(tǒng)計量檢驗效果改善的情況，即F統(tǒng)計量檢驗效果并不會隨著樣本容量的增大出現(xiàn)較大改變。三維系統(tǒng)中，在25、50、100、200、400位樣本條件下，F(xiàn)統(tǒng)計量的平均P值分別為0.876、0.890、0.924、0.983、1，這說明F統(tǒng)計量在每位樣本條件下均顯著地接受了原假設(shè)，并未出現(xiàn)誤判的情況，相對于LR、Wald、Mwald統(tǒng)計量，F(xiàn)統(tǒng)計量在檢驗格蘭杰因果關(guān)系時，具有很強的穩(wěn)定性。從圖6中可以看出，在三維系統(tǒng)中，F(xiàn)統(tǒng)計量檢驗效果同樣不隨樣本增加而出現(xiàn)較大改變。

圖6 400位樣本下四大統(tǒng)計量分布圖（三維）

4 結(jié)論

在小樣本條件下，通過模擬F、LR、Wald、Mwald統(tǒng)計量在檢驗格蘭杰因果關(guān)系中的功效，得出以下幾點結(jié)論：

（1）在極小樣本（n≤50）條件下，F(xiàn) 、LR、Wald、Mwald四種統(tǒng)計量中，LR統(tǒng)計量檢驗效果最佳，Mwald統(tǒng)計量檢驗效果最差。此時，適合采用LR統(tǒng)計量檢驗序列間的格蘭杰因果關(guān)系。

（2）Wald、Mwald統(tǒng)計量檢驗效果會隨著樣本容量的增大而得到改善，特別是當樣本容量n≥100時，Wald、Mwald統(tǒng)計量幾乎不會出現(xiàn)誤判的情況；此時，在三維系統(tǒng)中LR統(tǒng)計量檢驗效果要遜于Wald、Mwald統(tǒng)計量。實際上，當樣本容量為100位時，與其他統(tǒng)計量相比，LR統(tǒng)計量檢驗效果并不理想。

（3）在較大樣本（n=200，400）條件下，F(xiàn) 、LR、Wald、Mwald4個統(tǒng)計量的檢驗效果差異變小，特別是在三維系統(tǒng)中4個統(tǒng)計量的檢驗效果幾乎沒有區(qū)別；但在二維系統(tǒng)中Wald、Mwald統(tǒng)計量檢驗效果最佳，LR統(tǒng)計量檢驗效果最差。在較大樣本情況下，適合采用Wald、Mwald統(tǒng)計量檢驗序列間的格蘭杰因果關(guān)系。

（4）F統(tǒng)計量檢驗效果比較穩(wěn)定，不隨樣本增加出現(xiàn)較大改變。當樣本逐漸增加時，F(xiàn)統(tǒng)計量并不會出現(xiàn)類似于LR統(tǒng)計量檢驗效果變差，Wald、Mwald統(tǒng)計量檢驗效果變好的情況。不管是極小樣本還是較大樣本，F(xiàn)統(tǒng)計量檢驗格蘭杰因果關(guān)系的效果都比較穩(wěn)定。因此，在檢驗格蘭杰因果關(guān)系時，F(xiàn)統(tǒng)計量既適用于極小樣本，也適用于較大樣本。

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