立足核心素養(yǎng)，突顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

郭紅霞

【摘 要】新課標(biāo)指出培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是教學(xué)教育的根本立足點(diǎn)，教師在教學(xué)中要研究的是如何以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)的問(wèn)題。本文以一道翻折的立體幾何小題的解題教學(xué)為例，從審題、解題策略、解法反思等步驟中體現(xiàn)出是如何在解題教學(xué)中落實(shí)發(fā)展核心素養(yǎng)的。更從反思中體會(huì)各策略的優(yōu)越和局限，以突顯出數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于學(xué)生形成較強(qiáng)的“數(shù)學(xué)直覺(jué)”，從而提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；立體幾何；解題教學(xué)

章建躍博士在給教師培訓(xùn)的《深化數(shù)學(xué)課程改革，落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)》中曾指出，數(shù)學(xué)教育的核心任務(wù)是“數(shù)學(xué)育人”。而教育部的頂層設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)學(xué)科的“立德樹(shù)人”目標(biāo)，首先體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)上。于是高中課標(biāo)修訂組在義教課標(biāo)中提出的八個(gè)“核心概念”：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提煉了六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。因此作為一線數(shù)學(xué)教師，要把數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實(shí)在數(shù)學(xué)教育的各個(gè)環(huán)節(jié)。

要發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能，就必須摒棄題海戰(zhàn)術(shù)，但解題教學(xué)又是數(shù)學(xué)學(xué)科必不可少的。那么怎樣在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)中擺脫過(guò)去題海的陰影，不再停留在簡(jiǎn)單的“題型+技巧”的訓(xùn)練上，而是通過(guò)解題中的審題、符號(hào)表敘、策略選擇、答題、反思等步驟，讓學(xué)生深入地理解和體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心，并在這過(guò)程中培育數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，就成了我們數(shù)學(xué)老師應(yīng)當(dāng)研究的課題。

在近幾年的數(shù)學(xué)高考的立體幾何問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)平面圖形的翻折問(wèn)題（如2009、2010、2012、2015年的浙江卷）。翻折是很好的由平面到空間的教學(xué)素材，翻折中的變與不變正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中以靜制動(dòng)，動(dòng)中求靜的思維過(guò)程?，F(xiàn)就以2016學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷第10題的解題教學(xué)為例，談一談筆者是如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育的。

（2016杭州二模10）在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC=2，M為BC中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABD沿AD翻折使，BD⊥DC，點(diǎn)A在面BCD上的投影為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A.線段NO為定長(zhǎng)

B.CO∈[1，）

C.∠AMO+∠ADB>180

D.點(diǎn)O的軌跡是圓弧

該題目旨在考查同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力；考查空間中的距離與角度的計(jì)算能力等等。

學(xué)生解題受阻主要存在以下幾方面的障礙：

（1）把握不住翻折前后角度與長(zhǎng)度中的變量與不變量。不變的量我們將其看作靜態(tài)數(shù)據(jù)，它是我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵。而學(xué)生缺乏在動(dòng)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)、利用靜態(tài)數(shù)據(jù)的能力。

（2）把握不住動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的本質(zhì)。理不順點(diǎn)動(dòng)的過(guò)程中有影響的是什么？沒(méi)有影響的是什么？

（3）空間想象力欠缺，垂直關(guān)系理不順。本題中的表現(xiàn)是得不出點(diǎn)A在平面BCD中的投影點(diǎn)O的位置線索。

（4）運(yùn)算能力問(wèn)題。主要表現(xiàn)是不會(huì)將空間中的距離與角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面中去計(jì)算解決，在本題中的表現(xiàn)還有不能用方程與函數(shù)的思想去解決計(jì)算問(wèn)題。

一、在審題的教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

1.閱讀題目，把題目中的文字語(yǔ)言用符號(hào)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言進(jìn)行表述。

2.明確條件。通過(guò)讀題我們不但要找出題目中已經(jīng)明確的已知條件，更要發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件。

3.制定解題策略。一般來(lái)說(shuō)，從題目的條件到結(jié)論之間必然存在著聯(lián)系，而這些聯(lián)系就是我們平常所說(shuō)的解決問(wèn)題的橋梁。當(dāng)然大部分問(wèn)題解決起來(lái)是有“套路”的，即先明確解決什么問(wèn)題，用什么數(shù)學(xué)原理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。有時(shí)候所能采用的知識(shí)原理還不止一個(gè)，這就是一個(gè)問(wèn)題有多種解法的原因。

二、在解題策略的教學(xué)中發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)

1.傳統(tǒng)幾何法。傳統(tǒng)法，也就是老方法。它的特點(diǎn)是常常要構(gòu)造有關(guān)圖形，利用空間想象和相關(guān)幾何定理進(jìn)行邏輯推理和運(yùn)算。它有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，這正是立體幾何學(xué)習(xí)的根本目的，也是立體幾何存在的重要價(jià)值。

本題注意到立體圖形中，BD⊥DC、AM⊥DC，因此過(guò)點(diǎn)M作MB'∥DB交BC點(diǎn)于B′，則DC⊥MB'，連接AB′，則DC⊥平面AMB'，進(jìn)而得出平面BDC⊥平面AMB'，且平面BDC∩平面AMB'=MB′，點(diǎn)O是點(diǎn)A在面BCD上的投影，故點(diǎn)O在直線MB′上。（若無(wú)視動(dòng)線的前提，學(xué)生容易錯(cuò)選D）

由于B沿AD翻轉(zhuǎn)的過(guò)程是二面角B-AD-C的平面角和∠BDC逐漸變小的過(guò)程，而B(niǎo)-AD-C的平面角成為90時(shí)，∠BDC還是鈍角，故而當(dāng)∠BDC=90時(shí)，B-AD-C是銳二面角，所以點(diǎn)O會(huì)在線段MB′的反向延長(zhǎng)線上。（正確找出O點(diǎn)位置是合理畫(huà)出空間直觀圖的大前提）

用傳統(tǒng)幾何法解決本題中的CO范圍問(wèn)題的難點(diǎn)是投影點(diǎn)O的位置的明確。教學(xué)中可以用三種方法突破空間想象上的障礙：①用實(shí)物翻折演示；②將平面圖放在長(zhǎng)方體模型中畫(huà)出翻折時(shí)某個(gè)狀態(tài)的直觀圖進(jìn)行觀察；③理解動(dòng)態(tài)翻折的實(shí)質(zhì)。

2.向量法。坐標(biāo)法，也叫代數(shù)法。使用坐標(biāo)法的大前提是要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)。本題在此基礎(chǔ)上只需利用空間兩點(diǎn)的距離公式即可解決A和B選項(xiàng)的問(wèn)題，故而對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)大有裨益。

由題意可知，無(wú)論D點(diǎn)在線段BM上如何運(yùn)動(dòng)，B′-AM-C是直二面角，故可以以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以MC為y軸，MB′為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖

本題建系的難點(diǎn)是確定線面垂直，教學(xué)時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生先確定翻折中的不變垂直關(guān)系，將兩個(gè)線線垂直建立聯(lián)系，通過(guò)作輔助線得到線面垂直，落實(shí)點(diǎn)A的位置。

3.特殊化策略。動(dòng)點(diǎn)翻折問(wèn)題的難點(diǎn)不僅僅在于平面幾何通過(guò)翻折轉(zhuǎn)化成立體幾何的問(wèn)題，更在于題目中有動(dòng)點(diǎn)，意味著隱含的條件中有變量，由于變量不好把握，故而解題思維受阻。但動(dòng)點(diǎn)因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)又有其獨(dú)到的好處，那就是在一些特殊的位置，往往空間位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系都是很容易想象和推理的。因此，特殊化策略不僅是秒殺這類問(wèn)題的利器，也在這種一眼洞穿本質(zhì)中培育了學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力。

本題觀察到當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，易知點(diǎn)A在平面BCD上的投影O與D、M重合，此時(shí)∠ADB=90，

所以∠ADB+∠AMO不會(huì)大于180。

求出特殊位置時(shí)的角度值即可得到結(jié)論：C錯(cuò)誤。

從應(yīng)試角度，該題與2009年浙江高考卷的第17題解法類似。因?yàn)橛袆?dòng)點(diǎn)，所以有特殊位置，故而能以特殊策略取勝。教學(xué)中因本題是選擇題，選項(xiàng)提示的問(wèn)題點(diǎn)比較多，鎖定哪一個(gè)進(jìn)行突破，可以以2009年的第17題作為引例，先介紹特殊化法，再引導(dǎo)鎖定C選項(xiàng)進(jìn)行突破。

三、在反思教學(xué)中突顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

解題后的反思是指解題后對(duì)審題過(guò)程和解題方法及解題所用的知識(shí)和策略進(jìn)行回顧和思考，只有這樣，才能有效地深化對(duì)知識(shí)的理解，突顯出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和能力。本題就三種解法而言，可做如下反思：

1.解決立體幾何的問(wèn)題既可以用傳統(tǒng)法，也可以用向量法。

2.“翻折”只是立體幾何問(wèn)題的另一種表述，其實(shí)質(zhì)還是一個(gè)立體幾何問(wèn)題。解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在明確條件的過(guò)程中找出其不變的量，并確定變化的量影響的根本。

3.翻折的過(guò)程中轉(zhuǎn)軸若是不固定的，即有“動(dòng)點(diǎn)”的情況，意味著在一般情況下必定存在著特殊位置的點(diǎn)，即特殊的轉(zhuǎn)軸會(huì)讓翻折后是一個(gè)便于計(jì)算的特殊空間幾何體。特殊情況本身也是觀察一般情況的一個(gè)窗口，當(dāng)不需要對(duì)一般情況給出詳細(xì)證明時(shí)，特殊化策略往往能化繁為簡(jiǎn)、化難為易，從而降低推理計(jì)算的難度。

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)課堂作為數(shù)學(xué)教育的主要陣地，在數(shù)學(xué)知識(shí)的載體上發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)要求教師在解題教學(xué)中注重知識(shí)性，淡化技巧性。

【參考文獻(xiàn)】

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