巧借數(shù)軸 提升數(shù)感

陳險(xiǎn)峰

數(shù)感是一種主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識(shí)。數(shù)軸則是數(shù)的集合，它具有方向性、區(qū)間性、等分性、無限性的特性。筆者利用數(shù)軸的特性輔助教學(xué)，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為直觀，能有效地增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感，巧妙解決數(shù)學(xué)問題，滲透一一對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。

一、點(diǎn)段結(jié)合，理解數(shù)的意義

（一）利用數(shù)軸明確數(shù)的分類

數(shù)軸是數(shù)的集合，每個(gè)數(shù)在數(shù)軸上都有自己對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即一一對(duì)應(yīng)。教師可以在數(shù)軸上再現(xiàn)這些數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生明確數(shù)的分類，感悟數(shù)的集合。

例如，正數(shù)、負(fù)數(shù)、0的分類。通過數(shù)軸發(fā)現(xiàn)：0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)都大于0，沒有最小的負(fù)數(shù)，也沒有最大的正數(shù)。在數(shù)軸上，從左往右數(shù)越來越大，從右往左則數(shù)越來越小；+2和―2，+5和―5，……都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。（圖1）數(shù)軸上的點(diǎn)形成一個(gè)又一個(gè)區(qū)間，利用數(shù)軸的區(qū)間特性，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行分類，大于0小于1的分?jǐn)?shù)是真分?jǐn)?shù)，等于1或者大于1的數(shù)是假分?jǐn)?shù)；能化成整數(shù)的假分?jǐn)?shù)，在數(shù)軸上是一個(gè)個(gè)表示整數(shù)的點(diǎn)；不能化成整數(shù)的假分?jǐn)?shù)，在數(shù)軸上處在兩個(gè)整數(shù)之間的區(qū)間。類似的，我們也可以對(duì)小數(shù)分類。

（二）利用數(shù)軸發(fā)現(xiàn)數(shù)的性質(zhì)

教師可以讓學(xué)生在數(shù)軸上依次表示 、 、 、 ……學(xué)生發(fā)現(xiàn)： = = =……（圖2）單位“1”平均分的份數(shù)和所取的份數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，也就是分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。它們的大小相等，但是分?jǐn)?shù)單位不相同。借助數(shù)軸，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解將更為深刻。同理，也可以用數(shù)軸梳理小數(shù)的基本性質(zhì)。

又如，小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)，能引起小數(shù)的大小變化。利用數(shù)軸，可以巧妙、直觀地呈現(xiàn)點(diǎn)的移動(dòng)，數(shù)的大小變化規(guī)律。教師引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上依次找出0.2、0.02、0.002……要找到這些數(shù)，必須將0～1這個(gè)單位長度依次平均分成10份、100份、1000份……如果要在數(shù)軸上找出2、20、200……則需要將0～1這個(gè)單位長度依次擴(kuò)大10倍、100倍、1000倍……學(xué)生借助數(shù)軸進(jìn)一步深入認(rèn)識(shí)了小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律。

利用數(shù)軸，我們還可以滲透十進(jìn)制知識(shí)，理解計(jì)數(shù)單位的進(jìn)率；可以梳理數(shù)的大小比較的規(guī)律；可以溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別。充分挖掘數(shù)軸的價(jià)值，能幫助學(xué)生建立良好的數(shù)概念網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，建立起數(shù)字、數(shù)量及與之關(guān)聯(lián)的運(yùn)算特性，并自覺地選擇靈活而有創(chuàng)造性的方式從數(shù)字、數(shù)量角度去思考和解決問題。隨著數(shù)概念的不斷擴(kuò)大，這種優(yōu)越性會(huì)不斷得到顯現(xiàn)。

二、數(shù)形結(jié)合，巧妙解決問題

解決問題有利于學(xué)生理解、運(yùn)用和鞏固已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，又有利于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和方法，是形成和發(fā)展數(shù)感的一種重要手段。數(shù)軸上的數(shù)從小到大地排列，形成一段一段的區(qū)間。教師充分利用數(shù)軸的區(qū)間性與等分性，可以巧妙地解決許多數(shù)學(xué)問題。

（一）解決分?jǐn)?shù)中的數(shù)學(xué)問題。

借助數(shù)軸線段圖，能幫助學(xué)生進(jìn)一步明確數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法理解和解釋實(shí)際問題。

例如，教學(xué)人教版六上第8頁“分?jǐn)?shù)乘法解決問題”例5。教師引導(dǎo)學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上畫出數(shù)軸線段圖分析數(shù)量關(guān)系（圖3）。

學(xué)生借助數(shù)軸線段圖，直觀地理解了“松鼠的尾巴長度占身體長度的 ”，要求松鼠尾巴的長度，就相當(dāng)于求身體長度的 ，即身體長度× =松鼠尾巴的長度。之后，學(xué)生也能順利地用“比較量÷它所對(duì)應(yīng)的分率=標(biāo)準(zhǔn)量”解決分?jǐn)?shù)除法的實(shí)際問題。

（二）解決分段計(jì)費(fèi)問題

例如，教學(xué)人教版五上第16頁例9。學(xué)生嘗試計(jì)算出租車分別行駛1 km、2.6 km、3 km、3.7 km、4.8 km、6.1 km、6.9 km的總費(fèi)用。師生在互動(dòng)中研究：①像行駛1 km、2.6 km、3 km這樣，里程在3km以內(nèi)的都是收7元，這稱作“基礎(chǔ)部分的費(fèi)用”。②像3.7 km的要分成兩段收費(fèi)，前面的3km應(yīng)收7元，后面還有0.7 km要按

1 km算，收取1.5元，列式是7+（3.7-3）×1.5≈7+1×1.5=8.5（元）。③ 超過3 km的，不足1 km的部分都按1 km計(jì)算，用超出的千米數(shù)取整后乘1.5算出超出部分的費(fèi)用，再和基礎(chǔ)部分的7元相加，算出總費(fèi)用，即基礎(chǔ)部分的費(fèi)用+超出部分的費(fèi)用=總費(fèi)用。（圖4）

數(shù)軸數(shù)形結(jié)合，架設(shè)起數(shù)與量之間的橋梁，借助數(shù)軸，有利于學(xué)生理解收費(fèi)規(guī)則，學(xué)會(huì)分段計(jì)費(fèi)，化難為易。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考，潛移默化地形成和發(fā)展了數(shù)感。

三、虛實(shí)結(jié)合，滲透數(shù)學(xué)思想

數(shù)軸具有無限延展性，在數(shù)軸上找不到最大的數(shù)，也找不到最小的數(shù)，它是趨近無窮的。利用這個(gè)特性，我們可以解決一些規(guī)律性問題，并有機(jī)地滲透極限思想。

例如，人教版六下第75頁找規(guī)律填數(shù)問題：練習(xí)十四，7（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，（？搖？搖），……，這列數(shù)的每一項(xiàng)越來越大，越來越接近（？搖？搖）。教師引導(dǎo)學(xué)生將這些數(shù)依次標(biāo)注到數(shù)軸上，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，需要將單位“1”依次平均分成10份、100份、1000份……而0.9、0.99、0.999……變得越來越難以記錄，后一個(gè)數(shù)總是在前一個(gè)數(shù)的右面，越來越接近1。

又如人教版六下第75頁。練習(xí)十四，8. 比較 、 、 、 的大小。你能發(fā)現(xiàn)什么？根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，猜一下 與 哪個(gè)更大，并進(jìn)行驗(yàn)證。教師引導(dǎo)學(xué)生將問題放到數(shù)軸上去探索。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，越往下寫數(shù)越來越大，越來越接近1（如圖5）。教師追問：“像這樣，你能不能寫出一個(gè)盡可能大的數(shù)？”

極限思想是用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢(shì)，小學(xué)生的思維以形象思維為主，我們借助數(shù)軸，通過構(gòu)造直觀的幾何圖形，將一一對(duì)應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想與極限思想共同應(yīng)用，相互滲透，學(xué)生的理解和感受變得生動(dòng)、深刻且令人信服。

數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)字與計(jì)數(shù)最有效的圖形之一，因其直觀，更貼近學(xué)生的認(rèn)知，教師巧用數(shù)軸教學(xué)，有利于幫助學(xué)生深入理解數(shù)的特性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：福建省廈門市前埔北區(qū)小學(xué)？搖？搖責(zé)任編輯：王彬）endprint