善用幾何直觀 助力數(shù)學(xué)理解

林華美

數(shù)學(xué)是抽象而概括的科學(xué)。數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)具有思維能力的人才，可以讓學(xué)生在對(duì)幾何直觀描述、理解的基礎(chǔ)上，直觀感受數(shù)學(xué)知識(shí)，并就此進(jìn)行分析問(wèn)題，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法。幾何直觀不僅是學(xué)習(xí)“圖形與幾何”領(lǐng)域知識(shí)的關(guān)鍵手段，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程其他領(lǐng)域內(nèi)容的重要方式，同時(shí)還是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效舉措。

一、操作理解數(shù)量，建立數(shù)學(xué)模型

1. 簡(jiǎn)化數(shù)形結(jié)合，直觀畫(huà)圖策略。

數(shù)學(xué)知識(shí)具有生活性，教師創(chuàng)設(shè)生活情境或數(shù)學(xué)情境，都是為引入數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的興趣。

人教版一下“解決問(wèn)題——數(shù)一數(shù)”中的例題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)畫(huà)圖。

（1）收集數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

參觀動(dòng)物園排隊(duì)圖，大家可以知道哪些數(shù)學(xué)信息呢？（小麗排第10位，小宇排第15位）根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息，誰(shuí)會(huì)提數(shù)學(xué)問(wèn)題？（小麗和小宇之間有幾人）

（2）自主嘗試解答，啟迪明確思路。

有什么好辦法解決問(wèn)題？可以用怎樣的數(shù)學(xué)方式來(lái)表示這些排隊(duì)的人？（用數(shù)一數(shù)、畫(huà)一畫(huà)的方法）解決這個(gè)問(wèn)題，跟哪些數(shù)學(xué)信息有關(guān)？從哪里開(kāi)始畫(huà)？

（3）引導(dǎo)思考要點(diǎn)，直觀得到結(jié)論。

追問(wèn)：頭、尾要不要算呢？

引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)：頭尾都不算（圖1）。

此環(huán)節(jié)教師別出心裁地引導(dǎo)學(xué)生，當(dāng)看不到情境圖時(shí)，可以借助畫(huà)圖的手段，此時(shí)要注意圍繞相關(guān)信息來(lái)畫(huà)圖，所畫(huà)出的圖就簡(jiǎn)明直觀，一目了然。

2. 多樣整合信息，系統(tǒng)建構(gòu)模型。

數(shù)學(xué)知識(shí)具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)南到y(tǒng)性，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)，要尋找知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，以整體的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)特征，建構(gòu)知識(shí)模型。

人教版一下“解決問(wèn)題——數(shù)一數(shù)”中的練習(xí)，可以作為新授課的補(bǔ)充。

（1）進(jìn)行基礎(chǔ)練習(xí)，再次獲取結(jié)果。

今天（星期一）有雨，運(yùn)動(dòng)會(huì)推遲3天再開(kāi)，運(yùn)動(dòng)會(huì)星期幾開(kāi)？

想一想，推遲一天是星期幾？用什么方法表示？請(qǐng)注意，頭、尾要不要算呢？

討論得出：頭不算尾要算（圖2）。

（2）拓展變換練習(xí)，完善多樣結(jié)論。

小明今天從第10頁(yè)讀到了第14頁(yè)，明天該讀第15頁(yè)了。他今天讀了多少頁(yè)呀？

①根據(jù)題中的“從第10頁(yè)讀到了第14頁(yè)”這個(gè)數(shù)學(xué)信息，大家可以怎么解決問(wèn)題？獲得什么結(jié)論？

討論得出：頭尾都要算（圖3）。

②如果要用到數(shù)學(xué)信息“明天該讀第15頁(yè)”，又可以怎么解決呢？還可以得出什么結(jié)論？

討論得出：頭要算尾不算（圖4）。

此環(huán)節(jié)的教學(xué)，不是零散的就題解題，而是將探索新知和嘗試練習(xí)整合起來(lái)，系統(tǒng)地滲透了“植樹(shù)問(wèn)題”的4種雛形，借助幾何直觀引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)知一系列數(shù)與形的關(guān)系，有效培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。

二、創(chuàng)設(shè)動(dòng)感圖形，構(gòu)建空間觀念

人類(lèi)思維的發(fā)展，源于對(duì)直觀的認(rèn)識(shí)。同理，空間思維的建構(gòu)，也是建立在對(duì)具體事物變化認(rèn)知的基礎(chǔ)上。思維建構(gòu)的過(guò)程，是由單一到多樣，經(jīng)具體到抽象，從量的積累到質(zhì)的飛躍。這其中，既有順向與逆向的思維碰撞，又有求同與存異的不斷比較，去除表面無(wú)關(guān)因素的干擾，緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)特征，講究層次性的架構(gòu)，追求多樣化的思考，使數(shù)學(xué)變得易于理解，讓思維變得更加活躍，促進(jìn)空間想象力的快速發(fā)展。

1. 巧借肢體語(yǔ)言，外化思維表象。

數(shù)學(xué)知識(shí)具有高度的抽象性，教師要引導(dǎo)學(xué)生借助肢體語(yǔ)言等直觀方式，把抽象的知識(shí)描繪出來(lái)，讓學(xué)生通過(guò)親手比一比，動(dòng)口說(shuō)一說(shuō)，感受到抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)是可以顯現(xiàn)出來(lái)的。

人教版二下“平移和旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生這樣來(lái)認(rèn)識(shí)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

（1）觀看運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，進(jìn)行比較分類(lèi)。

觀看游樂(lè)園里的娛樂(lè)設(shè)施，比一比、說(shuō)一說(shuō)，可以怎么分類(lèi)？

說(shuō)說(shuō)分類(lèi)的理由：物體只要是直直地運(yùn)動(dòng)，就是平移。物體繞著點(diǎn)或軸轉(zhuǎn)圈，就是旋轉(zhuǎn)。

（2）用各自喜歡的方式，表示這兩種現(xiàn)象。

學(xué)生可以用向前直走表示平移，可以用轉(zhuǎn)圈表示旋轉(zhuǎn)。

（3）深入進(jìn)行對(duì)比，歸納得出特征。

為什么旋轉(zhuǎn)的人會(huì)轉(zhuǎn)暈了？你有什么發(fā)現(xiàn)？

討論得出：平移的方向不會(huì)改變，而旋轉(zhuǎn)的方向會(huì)改變。

該環(huán)節(jié)使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到，要會(huì)從雜亂、復(fù)雜的多樣現(xiàn)象中，提取事物或現(xiàn)象的共同特征，通過(guò)直觀地比一比，具體地說(shuō)一說(shuō)，把思維外化。

2. 逐級(jí)提升參與，內(nèi)化空間理解。

數(shù)學(xué)知識(shí)具有豐富的層次性，只有遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從個(gè)體到整體的認(rèn)識(shí)，才能做到環(huán)環(huán)相扣、螺旋上升，以便學(xué)生對(duì)事物現(xiàn)象有深刻的認(rèn)識(shí)，讓具體的圖形能在頭腦中顯現(xiàn)出來(lái)。

人教版二下“平移和旋轉(zhuǎn)”中的教學(xué)，教師可以這樣逐步引導(dǎo)學(xué)生尋找平移圖形。

“平移和旋轉(zhuǎn)”教材中的“平移小房子”，不便學(xué)生直觀理解“相互”這一難點(diǎn)，筆者改編教材內(nèi)容為“平移小魚(yú)”能更好地突破教學(xué)難點(diǎn)。

創(chuàng)設(shè)找朋友游戲：移一移，哪幾條小魚(yú)可以通過(guò)平移相互重合？

（1）動(dòng)手操作學(xué)具，找出平移圖形。

教師示范平移，或請(qǐng)學(xué)生展示，也可以結(jié)合課件演示不同的平移方法（見(jiàn)圖5）。問(wèn)：反過(guò)來(lái)通過(guò)平移會(huì)重合嗎？

學(xué)生小組合作，動(dòng)手找出所有的滿足平移條件的圖形，然后匯報(bào)交流。

（2）演示動(dòng)畫(huà)，探索圖形特點(diǎn)。

課件演示兩種平移方法，分左右平移及斜著移動(dòng)。（需演示正反路徑一組一組地平移）

觀察：通過(guò)平移能相互重合的小魚(yú)是哪幾條？它們有沒(méi)有相同的地方呢？（方向不變）

追問(wèn)：那另外三條小魚(yú)能找到好朋友嗎？為什么？（方向不同）

（3）預(yù)設(shè)問(wèn)題情境，深入思考特征。

如果又來(lái)了3條魚(yú)，它們能找到好朋友嗎？⑦號(hào)太大，⑧號(hào)太小，不能跟任何一個(gè)相互重合。來(lái)了⑨號(hào)跟⑤號(hào)的方向相同，大小一樣，通過(guò)平移能重合，⑨號(hào)和⑤號(hào)可以是一對(duì)好朋友。（大小不變）

這樣，由淺入深，通過(guò)諸多富有動(dòng)感的活動(dòng)，讓學(xué)生逐步體驗(yàn)問(wèn)題解決途徑多樣化的學(xué)習(xí)策略，領(lǐng)略了圖形的運(yùn)動(dòng)和變化的特點(diǎn)，空間觀念也就能牢固地建構(gòu)起來(lái)了。

（作者單位：福建省廈門(mén)市集美區(qū)曾營(yíng)小學(xué) 本專(zhuān)輯責(zé)任編輯：王彬）endprint