借助直觀 表征思維

葛素兒

【編者按】幾何直觀，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011）》中的核心詞匯之一，一線教師在實際教學中時常能夠接觸到。作為能夠幫助學生理解數(shù)學的重要手段，廣大教師對其內(nèi)涵外延的理解程度，關(guān)系到教學效果的提升。本期圍繞“透視幾何直觀本意，助力學生理解數(shù)學”話題，展示教師的教學經(jīng)驗與成果。

筆者認為，幾何直觀是一種可視化的思維方式，其思維核心是表征，將抽象的數(shù)學概念、結(jié)構(gòu)關(guān)系、思想方法、解題策略等直觀揭示或表征出來。它具有雙重屬性：一是一種思維形式，學生的思維形式經(jīng)歷動作表征、圖形直觀（表征）、符號表征三個階段。二是一種解題策略，是研究數(shù)學問題并實現(xiàn)問題的模型轉(zhuǎn)換的一種基本思想和基本方法。在小學數(shù)學學習中，學生除了用規(guī)范的幾何圖形表達數(shù)學思維以外，更多地使用他們獨有的圖形符號系統(tǒng)。

幾何直觀事實上是借助于可視化工具進行的可視化學習過程（圖1）。如何基于幾何直觀展開教學呢？筆者就以“分數(shù)的基本性質(zhì)”教學來談?wù)勛约旱囊恍┚唧w做法。

一、關(guān)注可視化工具的運用：借助怎樣的直觀圖示表征知識

可視化工具是幾何直觀的重要載體。借助可視化工具，可以使教學變“被動”為“主動”，變“抽象”為“形象”，從“形式”走向“本質(zhì)”。

1. 現(xiàn)行六套教材直觀圖示的比較。

在分數(shù)的基本性質(zhì)教學中，筆者研讀了現(xiàn)行人教版、浙教版、北師大版等六套教材，發(fā)現(xiàn)各版本的教材設(shè)計都凸顯了“幾何直觀”這一元素，通常借助于以下直觀圖示：實物圖、面積模型（長方形、正方形、圓平均分成幾份）、數(shù)線模型（半抽象線段模型）、線段模型（數(shù)軸雛形）等。

通過比較，筆者發(fā)現(xiàn)所有版本的教材，都注重直觀模型的提供，鼓勵學生從直觀角度，主動地觀察和發(fā)現(xiàn)，在討論交流的基礎(chǔ)上認識分數(shù)的基本性質(zhì)。其中，浙教版、北師大版和青島版出現(xiàn)了數(shù)線這樣的半抽象線段模型，北師大版教材亦出現(xiàn)抽象的線段模型。

2. 合理運用直觀圖示，讓知識可視化。

實物模型、面積模型、數(shù)線模型等都是分數(shù)教學的主要直觀圖示，在分數(shù)基本性質(zhì)教學中，面積模型、數(shù)線模型等在學習中的地位更重要。面積模型是指用面積的“部分—整體”表示分數(shù)。數(shù)線模型與分數(shù)的面積模型有著密切的聯(lián)系：一個分數(shù)可以表示單位面積的一部分，也可表示單位長度的一部分，前者是二維的面，后者是趨近一維的線?？梢哉f，數(shù)線模型其實是數(shù)軸的前身，是用點來刻畫分數(shù)。

分數(shù)的基本性質(zhì)起著“承上啟下”的作用，其核心在于分數(shù)單位?；诹康氖睾?，聚焦分數(shù)單位，在度量中尋找等值分數(shù)，可能會使教學豁然開朗。在這個過程中，一個重要的幾何載體即線段模型應發(fā)揮作用。各版本的教材比較中，浙教版、青島版及北師大版均出現(xiàn)了半抽象或抽象的線段模型。筆者認為，在新知探究環(huán)節(jié)，半抽象的數(shù)線模型應占據(jù)重要的地位；在知識應用環(huán)節(jié)，抽象的線段模型也應有其一席之地。

二、經(jīng)歷可視化學習過程：如何發(fā)揮直觀圖示的思維支架作用

幾何直觀教學中，通常以直觀圖示為支架，從讀圖引入，經(jīng)歷表征和互譯的可視化學習過程，引導學生經(jīng)歷從使用支架到改造支架再到創(chuàng)建支架的過程，發(fā)揮圖像在數(shù)學學習中的不同層次思維加工作用，讓學生從具象思維慢慢向邏輯思維發(fā)展，凸顯數(shù)學學習情理相融的特質(zhì)。

1. 基于讀圖：直觀發(fā)現(xiàn)，感知體悟。

讀圖是幾何直觀的第一步，是學生獲取數(shù)學知識的重要方法與技能，通過讀圖活動讓學生感知理解分數(shù)的基本性質(zhì)，建立直觀表象。教學分數(shù)基本性質(zhì)時，需要我們靈活運用好直觀圖示，引導學生從讀圖開始，初步感悟分數(shù)之間的相等關(guān)系。例如北師大版教材中提供的材料，把從合并圖到擴充圖來回變化的過程動態(tài)化，讓學生來理解分數(shù)的擴充，采用兩幅或多幅對比圖理解分子、分母的變化，理解等值內(nèi)涵，感悟分子、分母之間的變化規(guī)律。

我們也可以一起來看以下教學片段，感受學生通過讀圖理解知識的過程。

（1）課件：出示一面分數(shù)墻（圖2）。

師：你能在這面墻中找到哪些分數(shù)呢？（學生自由說）

（2）分解分數(shù)墻：你們知道這面墻是怎樣形成的嗎？老師把這面墻拆開（圖3），動態(tài)依次呈現(xiàn) 、 、 ，說一說這些分數(shù)分別表示什么意思， 、 、 又表示什么意思？它們之間有怎樣的關(guān)系呢？請同桌互相說一說。

師生梳理、總結(jié)得出：1= = = = ……

師追問：你還能說出與1相等的其他分數(shù)嗎？為什么這些分數(shù)可以用等號連接呢？

（3）揭示課題：像這樣的分數(shù)我們就叫作相等的分數(shù)，剛才我們找了與1相等的分數(shù)，那么像與 、 相等的分數(shù)你會尋找嗎？這就是這節(jié)課我們要研究的數(shù)學問題。

在這個過程中，學生以分數(shù)墻為可視化圖示工具，在觀察、拆解分數(shù)墻的過程中，激活已有的知識經(jīng)驗，在尋找與1相等的分數(shù)過程中初步感悟等值分數(shù)的內(nèi)涵。

2. 基于表征：多維推進，促進內(nèi)化。

圖像表征是幾何直觀的核心環(huán)節(jié)。使用圖像表征能夠幫助學生建立數(shù)學符號與內(nèi)在的心理表征之間的聯(lián)結(jié)，建立分數(shù)多種意義間的聯(lián)結(jié)。萊什在1979年提出數(shù)學學習的五種表征——實際情境、圖像、操作、口語符號和書寫符號，以及表征轉(zhuǎn)化對數(shù)學概念意義的作用，圖像表征占據(jù)中心地位。參考萊什提出的數(shù)學五種表征，筆者也設(shè)計了分數(shù)基本性質(zhì)的多元表征圖（見圖4）。

通過這個多元表征圖，筆者想詮釋的是：學生對于分數(shù)基本性質(zhì)的理解可以是多元的，學習的過程也是多元的，能夠用動手操作來理解分數(shù)基本性質(zhì)，能夠借助畫圖操作來說明知識內(nèi)涵，能夠完整地表達分數(shù)基本性質(zhì)，能與商不變性質(zhì)等知識建構(gòu)聯(lián)系與溝通，同時多種表征之間可以來回互譯溝通。

在這個圖中，圖像表征是思維核心，教師引導學生將學習過程中的思考方法和看不見的思維路徑以圖像的方式表現(xiàn)出來，形成能夠直接作用于人的感官的知識外在表現(xiàn)形式，從而促進知識的主動建構(gòu)。在學習過程中，大多數(shù)學生能以比較規(guī)范的模型圖來表征分數(shù)之間的相等關(guān)系，如下面這個教學片段中學生呈現(xiàn)的學習成果精彩紛呈。endprint

在教學中，以圖像表征為核心，借助幾何直觀為學生提供或由學生自己創(chuàng)造支撐數(shù)學形式化和邏輯推理的數(shù)學現(xiàn)實、經(jīng)驗情境和概念表象，使思維可視化、知識結(jié)構(gòu)化、數(shù)學模型化，在此過程中培養(yǎng)學生的幾何直觀能力。教學推進過程可以如以下教學片段。

走進情境：從現(xiàn)實情境進入，以“一半， = = ”為認知特例，讓學生初步感悟分數(shù)的基本性質(zhì)。

動手操作：通過學生的動手操作引入，在涂一涂、折一折等活動中發(fā)現(xiàn)分子、分母的變化規(guī)律，展現(xiàn)學習過程，體驗具體到抽象的理解過程。

畫圖內(nèi)化：利用已有的經(jīng)驗，利用個性化的符號，自己尋求合適的圖示（如實物抽象圖、面積模型、數(shù)線模型、數(shù)軸模型等）來證明分數(shù)是否等值。

舉例驗證： = = 圓圈里可以填什么符號？括號里能填什么數(shù)字呢？獨立思考，借助動態(tài)圖演示，幫助學生形象理解，感悟變與不變的函數(shù)思想。

學生通過對分數(shù)圖示的觀察、發(fā)現(xiàn)、思索，強調(diào)腦、眼、手的多種感官參與，實現(xiàn)圖形之間的信息加工和重構(gòu)，完成了知識自我內(nèi)化的過程，這是幾何直觀能力培養(yǎng)的重要一環(huán)。

3. 基于互譯：多維轉(zhuǎn)換，求聯(lián)求通。

分數(shù)基本性質(zhì)教學一般教學路徑是：尋找相同分數(shù)→觀察變化特征→發(fā)現(xiàn)概括分數(shù)→溝通與商不變性質(zhì)聯(lián)系→知識應用。在這個過程中，前半程滲透著不完全歸納的思想，是學生合情推理能力的培養(yǎng)過程。而后半程，讓學生根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律來說明商不變性質(zhì)，是培養(yǎng)學生演繹推理能力的過程。

兩種推理相互印證，在求聯(lián)求通的多維轉(zhuǎn)換過程中，才能加深學生對分數(shù)基本性質(zhì)的理解，完成知識體系的建構(gòu)。課堂上，我們可以借助具體的等式變形，讓學生比較清晰地感受知識間的內(nèi)在聯(lián)系，然后再引導學生通過畫圖表征、數(shù)學演算、語言表達、舉例說明等方式來與商不變性質(zhì)進行溝通。

只有將具象化的現(xiàn)實情境轉(zhuǎn)化為可視化的圖示表述和數(shù)學運算表達，知識發(fā)展的邏輯順序與學生的認知序列相契合，學生的幾何直觀思維逐步走向深刻，能力才能慢慢形成。

數(shù)從圖中來，數(shù)回圖中去，以讀圖為入口，通過表征、互譯等手段對數(shù)學進行生成性加工，這是幾何直觀的三個重要環(huán)節(jié)。只有經(jīng)歷不同數(shù)學語言不斷轉(zhuǎn)化、互譯的過程，才能使學生的直覺、形象思維上升到理性思維的層次。

（作者單位：浙江省杭州市富陽區(qū)富春第二小學）endprint