基于全國(guó)高考改革的立體幾何備考復(fù)習(xí)教學(xué)建議

林晴嵐　陳柳娟　王逸勤　張潔

摘 要：全國(guó)高考立體幾何專題備考復(fù)習(xí)教學(xué)在認(rèn)真研讀《考試大綱》、《考試說(shuō)明》的基礎(chǔ)上，把握好考試內(nèi)容要求的變化，找準(zhǔn)復(fù)習(xí)備考的方向、重點(diǎn)，構(gòu)建立體幾何概念、定理模型網(wǎng)絡(luò)，整合所學(xué)立體幾何的核心知識(shí)點(diǎn)，借助對(duì)高考真題考點(diǎn)分布、試題特點(diǎn)分析研究，從中挖掘、提煉蘊(yùn)涵在解決立體幾何問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想方法，有針對(duì)性地做好備考準(zhǔn)備工作，提高高考備考立體幾何專題復(fù)習(xí)效果.

關(guān)鍵詞：立體幾何；三視圖；垂直；考點(diǎn)分布；特點(diǎn)

在高考改革下的立體幾何專題備考復(fù)習(xí)，教師以《考試大綱》、《考試說(shuō)明》的內(nèi)容要求、能力要求為備考復(fù)習(xí)指導(dǎo)方向.從2011-2016年的全國(guó)卷Ⅰ中，找出試卷考點(diǎn)的分布規(guī)律、試題的命制風(fēng)格與特點(diǎn)；再?gòu)膬?nèi)容要求的主要變化，實(shí)測(cè)試題的主要特點(diǎn)，典型試題賞析進(jìn)行備考復(fù)習(xí)教學(xué).重視在立體幾何問(wèn)題中滲透數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)家的崇高品質(zhì)以及探究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)文化價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，形成正確的數(shù)學(xué)觀.

1 研讀《考試大綱》和《考試說(shuō)明》中對(duì)立體幾何考試內(nèi)容要求

研讀全國(guó)高考數(shù)學(xué)學(xué)科的《考試說(shuō)明》與《考試大綱》，有利于教師在高考備考復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)找準(zhǔn)復(fù)習(xí)的方向、重點(diǎn)，把握好考試內(nèi)容要求的變化；在備考復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中，明確哪些內(nèi)容該重點(diǎn)講？哪些內(nèi)容需要進(jìn)行拓展？有利于老師理解備考復(fù)習(xí)案例選取對(duì)掌握考試方向的重要性；有利于教師在備考復(fù)習(xí)時(shí)更透徹研究全國(guó)卷中立體幾何真題特點(diǎn)，其中立體幾何初步是文、理科相同考點(diǎn)部分，空間向量與立體幾何是理科必考部分，強(qiáng)調(diào)用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，注重考生用向量方法研究立體幾何問(wèn)題的能力，以及用向量語(yǔ)言表達(dá)立體幾何問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維方式.但文科試題不涉及利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題.

2 高考真題的主要特點(diǎn)

縱觀全國(guó)卷近6年的試題，其特點(diǎn)、風(fēng)格，研究這些試題的考點(diǎn)分布、試題結(jié)構(gòu)、試題特點(diǎn)，有助于高考備考調(diào)整復(fù)習(xí)的方向，提高復(fù)習(xí)備考效率.

（1）考點(diǎn)分布

2011年——2016年全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷中立體幾何考點(diǎn)分布統(tǒng)計(jì)表，見(jiàn)表1.

觀上表1可得到：全國(guó)1卷的選擇題、填空題經(jīng)常涉及旋轉(zhuǎn)體、球的表面積和體積、三視圖，解答題中的第一小題以考查線線、線面的垂直問(wèn)題為主.

（2）題型結(jié)構(gòu)

全國(guó)Ⅰ卷經(jīng)常是1道選擇題、1道填空題、1道解答題，共3道題，分值22分，占全卷分值約15%；

（3）試題特點(diǎn)

全國(guó)1卷在立體幾何專題的考查中，選擇題以三視圖問(wèn)題為重點(diǎn)，填空題與解答題以對(duì)空間的線面平行、垂直關(guān)系，空間幾何體的相關(guān)角的問(wèn)題為重點(diǎn)，全國(guó)1卷常在試題的已知條件中出現(xiàn)“直棱柱、正棱柱、正棱錐”等概念；在幾何體的呈現(xiàn)方面比較常用組合體，常設(shè)計(jì)成柱體、錐體內(nèi)接于球，再進(jìn)一步求解球的表面積或體積；三視圖的考查對(duì)空間想象能力的要求較高，求解時(shí)要先還原幾何體的直觀圖，再對(duì)幾何體進(jìn)行有關(guān)長(zhǎng)度、面積、體積等的度量計(jì)算；從解答題看，全國(guó)Ⅰ卷的題目兼顧傳統(tǒng)綜合法與向量法的考查，突出幾何直觀和基本能力的考查.在基礎(chǔ)考查方面，文理科都是依托常見(jiàn)的柱、錐幾何體，考查用判定和性質(zhì)定理證明線線、線面和面面垂直；在差異方面，理科用“向量法”求線面角、二面角，文科求幾何體的表面積、體積等，試題顯得比較“干凈”，基本上是設(shè)計(jì)“兩問(wèn)”，且設(shè)問(wèn)比較直接，專注于空間想象能力、推理論證能力以及運(yùn)算求解能力的考查.

3 高考備考建議

3.1 重視視圖教學(xué)研究，強(qiáng)化空間觀念

一個(gè)幾何體的三視圖，能夠反映這幾何體的真實(shí)面貌，根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖近6年試題統(tǒng)計(jì)都是全國(guó)卷考查的重點(diǎn)、熱點(diǎn)問(wèn)題.所以，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要給學(xué)生如何將三視圖還原幾何體的直觀圖的構(gòu)圖方法，即首先要弄清三視圖的成圖原理，接著借助長(zhǎng)方體，把三視圖般到長(zhǎng)方體的三個(gè)側(cè)面上，通過(guò)整體觀察，確定其中的關(guān)鍵點(diǎn)或棱，再進(jìn)行對(duì)比聯(lián)想、輪廓削減，得到幾何體的真貌，最后再將探知的直觀圖與三視圖對(duì)比觀圖，確保準(zhǔn)確無(wú)誤.

3.2 針對(duì)解答試題特點(diǎn)，突破“垂直”是關(guān)鍵

立體幾何中的垂直即“⊥”包括：a⊥b、a⊥β、α⊥β，其中最基本的是a⊥b，最體現(xiàn)空間特征的是a⊥β，從高考真題分析研究垂直“⊥”是立體幾何問(wèn)題解決的一個(gè)難點(diǎn)也是關(guān)鍵點(diǎn).所以，通過(guò)復(fù)習(xí)教學(xué)，要理清楚如下三個(gè)與垂直有關(guān)的問(wèn)題：

①“垂直”是知識(shí)體系的核心如圖1、圖2所示

通過(guò)對(duì)兩幅知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的分析可知：垂直“⊥”是立體幾何問(wèn)題解決的重要工具，如異面直線的距離，空間的線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面所成角等都與垂直相聯(lián)系；垂直“⊥”是各類計(jì)算公式（面積、體積、角、距離）的必要構(gòu)成要素；空間的線線、線面、面面平行關(guān)系可由垂直轉(zhuǎn)化得到.

②“垂直”是高考試題的靈魂

課標(biāo)課程的立體幾何內(nèi)容包括兩個(gè)體系，一個(gè)是傳統(tǒng)的綜合幾何體系，另一個(gè)是空間向量的體系.全國(guó)卷近6年的解答題為兼顧兩個(gè)體系的考查，往往在第一步有意設(shè)計(jì)有垂直條件或垂直結(jié)論的問(wèn)題，以便為第二步建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解空間角等問(wèn)題做鋪墊.

③“垂直”是問(wèn)題解決的突破口

通過(guò)對(duì)立體幾何試題的試題特點(diǎn)分析可知，垂直“⊥”條件往往是問(wèn)題解決的關(guān)鍵“題眼”.解題時(shí)，若發(fā)現(xiàn)題目有多個(gè)已知條件，可優(yōu)先考慮垂直條件；需作輔助線時(shí)，優(yōu)先選擇作垂線或垂面；面對(duì)轉(zhuǎn)化條件關(guān)系時(shí)，優(yōu)先選擇用垂直關(guān)系來(lái)促進(jìn)轉(zhuǎn)化.

3.3 挖掘課本習(xí)題內(nèi)涵，用好教材

研究高考真題從中把握教學(xué)的導(dǎo)向，理解了高考真題不是無(wú)本之木、無(wú)源之水，真題的背景或解題方法可從教材的例題、習(xí)題中找到其基本原形，在備考復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，注意挖掘教材中典型例題、課后習(xí)題中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，提升學(xué)生對(duì)教材的理解和認(rèn)識(shí)，扎實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).

總之，高考備考復(fù)習(xí)教與學(xué)都應(yīng)以大綱和說(shuō)明為依據(jù)，認(rèn)真分析近年的高考真題，把握好備考復(fù)習(xí)目標(biāo)和方向，有針對(duì)性地做好備考準(zhǔn)備工作，提高高考備考立體幾何專題復(fù)習(xí)效果.