由繁至簡順勢而為

我們知道，試卷的區(qū)分度往往體現(xiàn)在幾道把關(guān)題，如何把“壓軸”戲唱好，一直是學生、教師關(guān)注的焦點、研究的重點.今年，南通填空壓軸題一改原有風貌，變從函數(shù)角度看問題為雙曲線與方程及幾何知識的融合.圖形簡單明了，有一定區(qū)分度，突破路徑較多.下面從不同視角來解析該題，提供研討.

1考題呈現(xiàn)

圖1（2017年南通卷第18題）如圖1，平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象經(jīng)過平行四邊形OABC的頂點A（5，12），交邊BC于點D，且AB=DB，求點D坐標.

2多解思考

視角1點的坐標轉(zhuǎn)換為線段的長

圖2求點D的坐標，常規(guī)思路轉(zhuǎn)換為求線段的長即可.如圖2.過點D作EF垂直x軸，交x軸、AB于點E、F.

直接未知數(shù)：假設(shè)D（m，60m），則F（m，12），所以AF=m-5，DF=12-60m，在Rt△BDF中，sin∠ABD=1213，所以DB=13-65m.在Rt△CDE中，tan∠DCE=125，

所以CE=25m.建立等式m-25m=13-65m，可求m=8，所以D（8，152）.

間接未知數(shù)：設(shè)AB=DB=a，在Rt△DBF中，BF=513a，DF=1213a，所以D（5+813a，12-1213a）.

（5+813a）（12-1213a）=60，可求a=398，所以D（8，152）.

視角2點在雙曲線與直線上

我們知道，點D是雙曲線與直線AE的交點，求出直線AD解析式的“k”值即可.如圖3.作BF⊥AD，垂足為F，所以∠ABF=∠FBD，因為sin∠ABD=1213，構(gòu)造如圖4的半角模型，所以tan∠ABF=tan∠FBD=23，則tan∠BAF=32，所以直線AE可設(shè)為y=-32x+b，把點A（5，12）代入，可得直線AE的解析式：y=-32x+392，點D即為直線AE與雙曲線的交點坐標.可求D（8，152）.

圖3圖4視角3等線段的聯(lián)想

通過視角2：直線AE解析式，可發(fā)現(xiàn)點E坐標為（13，0），聯(lián)想到等腰三角形.

①如圖5.連接AD并且延長交x軸于點E，由已知條件中AB=DB，結(jié)合四邊形OABC為平行四邊形，可以證明△AOE為等腰三角形，所以AO=OE，可求點E（13，0），進而求出直線AE的解析式：y=-32x+392，點D即為直線AE與雙曲線的交點坐標，可求得D（8，152）.

圖5圖6②由等線段聯(lián)想菱形，過點D作DE∥AB（如圖6），則四邊形AEDB為菱形，假設(shè)D（m，n），則E（512n，n），所以AB=BD=AB=m-512n，S菱形AEDB=1213（m-512n）2=（12-n）（m-512n），化簡可得12m-5n=13（12-n），又n=60m，化簡得m2-13m+40=0，可求m1=5（舍）；m2=8，所以D（8，152）.

3解后回顧

3.1已知條件的運用，決定了解題的方向

上面的三個視角可以發(fā)現(xiàn)，對于條件AB=DB，視角1①作為建立方程的依據(jù)；②表示點D坐標的橋梁.視角2.由AB=DB聯(lián)想等腰三角形，利用性質(zhì)構(gòu)造頂角的半角，求出三角函數(shù)值.視角3.通過等腰三角形及平行線，形成新的等腰三角形，找出關(guān)鍵點的坐標.對比三種視角，視角3的解答簡潔明了，事半功倍.說明在平時的教學過程中，教會學生分析問題路徑比解題過程更重要，需要鼓勵學生在自我建構(gòu)的過程中，善于聯(lián)想，善于對比，善于挖掘.只有這樣，我們的學生才會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，尋求出最佳的解題路徑.

3.2基本圖形的識別，發(fā)現(xiàn)了解題的靈魂

對于三種視角，也許命題人命題意圖的落腳點是視角3.此法細細揣摩，實際上還是角平分線+平行線的基本圖形.此發(fā)現(xiàn)也就決定了解題的效率.同時也給予教師啟示，在平時教學中，應(yīng)該善于引導(dǎo)學生進行相應(yīng)基本圖形積累.只有這樣，我們的學生才能在一些圖形中，敏感地識別出基本圖形，進而順利的解決問題.當然，也許也需注意基本圖形的變式，真正讓學生舉一反三、觸類旁空.

4變式改編

結(jié)合自己的解題，給出該問題的幾個改編，以期我們的共同思考.

圖7改編1：如圖7，平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象經(jīng)過平行四邊形OABC的頂點A（5，12），交邊BC于點D，且AB=AD，求點D坐標.

改編2：如圖7，平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象經(jīng)過平行四邊形OABC的頂點A（5，12），交邊BC于點D，且AD⊥BD，求點D坐標.

改編3：如圖7，平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象經(jīng)過平行四邊形OABC的頂點A（5，12），交邊BC于點D，且D是線段BC的三等分點，求點D坐標.

改編4：如圖7，平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象經(jīng)過平行四邊形OABC的頂點A（5，12），交邊BC于點D，且AD是∠OAB平分線，求點D坐標.

5教學思考

5.1已知條件的暢想

（1）已知平行四邊形的頂點A（5，12），可以獲取哪些結(jié)論？

（2）結(jié)合問題（1）得到的相關(guān)結(jié)論，對于條件AB=DB，你準備如何運用？

說明：通過問題（1）可以得到線段OA、BC的長；反比例函數(shù)的解析式；∠COA、∠ABD的三角函數(shù)值為條件AB=DB使用作了很好的鋪墊.

5.2根據(jù)問題覓思路

（1）求點D的坐標，你有哪些思路？

說明：①可以先讓學生利用常規(guī)的思路解決，這里涉及設(shè)直接未知數(shù)還是間接未知數(shù)問題，兩個角度一起進行，比較一下哪種更便捷，強調(diào)AB=DB的作用.②在常規(guī)思路解決之后，教師可以引導(dǎo)，若連接AD，△ABD是哪種特殊三角形？點D可以也可看著直線AD與雙曲線的交點坐標，關(guān)鍵求直線AD的解析式，由于已知點A坐標，只要求出∠BAD的正切值（已知∠ABD的三角函數(shù)值，構(gòu)造直角三角形，可以求出∠ABD的半角三角函數(shù)值），即為視角2.③通過求出直線AD的解析式，讓學生求出與x軸的交點坐標，又有什么發(fā)現(xiàn)，如此能否為我們提供新的思考方向，生成視角3解法.

5.3解法對比有感悟

解題教學，不能僅僅滿足讓學生掌握幾種解題方法，更重要的是著眼于學生的進一步發(fā)展，通過各種方法對比，教會學生如何挖掘試題條件蘊含的內(nèi)涵，學會看準目標，優(yōu)化解題策略.當然，過程體會與循序而導(dǎo)對于學生的思維品質(zhì)的提高、解法自然生成也有著決定性的作用.

5.4問題改編得強化

解題教學不是教學生簡單的模仿，因此最后環(huán)節(jié)，通過對條件AB=DB的改變，真正讓學生面對不同的條件，學會如何應(yīng)對，豐富認知，形成技能.如改編1.認識到直線AD與x軸的交點在線段OA的垂直平分線上；改編2.通過已知的垂直關(guān)系，發(fā)現(xiàn)OA⊥AD；改編3.分類思想的滲透，構(gòu)造相似的基本圖形，也可以進一步推廣到n等分點；改編4.與原題的實質(zhì)是一致的.變與不變都是相對的，我們在關(guān)注解法的同時，更應(yīng)讓學生經(jīng)歷“如何想到這樣解”的思路歷程.這樣的話，解題的思想方法才會得到較充分的落實.

作者簡介張浩杰，中學高級教師，南通市數(shù)學骨干教師，南通市優(yōu)課評比一等獎獲得者，南通市優(yōu)秀教育工作者.主持市課題1項，參與國家課題2項，發(fā)表論文15篇.endprint