巧用錯(cuò)題資源的三步曲

蔡衛(wèi)兵

1緣起

第二輪中考復(fù)習(xí)擔(dān)負(fù)著承前啟后、鞏固提高的重任，是初三備考復(fù)習(xí)的關(guān)鍵階段.通常是以專題講座、綜合練習(xí)、模擬演練的形式穿插著進(jìn)行第二輪復(fù)習(xí)，聯(lián)系平時(shí)的講評(píng)課，不難發(fā)現(xiàn)這樣一種現(xiàn)象：老師“不厭其煩”地糾正學(xué)生的“錯(cuò)題”，老師講得“津津有味”，學(xué)生卻聽得“昏昏沉沉”，甚至部分學(xué)生毫不領(lǐng)情，時(shí)過(guò)不久，仍會(huì)故伎重演.對(duì)此，很多老師百感交集，又頗感無(wú)奈.如何改觀這種尷尬的現(xiàn)象，真正實(shí)現(xiàn)練習(xí)講評(píng)課的“輕負(fù)高效”？如何選擇習(xí)題作為學(xué)生的膳食，給學(xué)生提供合理的營(yíng)養(yǎng)搭配？有了營(yíng)養(yǎng)的食品，又如何加上高超的烹飪技術(shù)，讓學(xué)生樂(lè)意接受和吸收？在思考中，不由得想到了一款非常經(jīng)典的休閑類游戲——“大家來(lái)找茬”.它之所以能夠吸引很多人，在于它能培養(yǎng)人的注意力、觀察力、記憶力、反應(yīng)力、想象力、判斷力、思維能力等，具有較強(qiáng)的趣味性和挑戰(zhàn)性.為此，科學(xué)、合理地開發(fā)和利用學(xué)生共性、普遍易犯的“錯(cuò)題資源”，讓學(xué)生自己來(lái)“找茬”找到解決問(wèn)題的有效途徑，使他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)被喚醒、數(shù)學(xué)思維被激活、創(chuàng)新意識(shí)被啟迪，從而使我們的中考第二輪復(fù)習(xí)更實(shí)效.

2實(shí)踐

圖1問(wèn)題如圖1，直線y=2x與反比例函數(shù)y=kx（k≠0，x>0）的圖象交于點(diǎn)A（1，a），B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，直線OB與x軸的夾角為α，tanα=12.

（1）求k的值；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)P（m，0），使△PAB的面積為2，求m的值.

圖2在這，主要針對(duì)第（3）小題找茬析錯(cuò)因：

學(xué)生1（展示，錯(cuò)解1）：我的方法是補(bǔ)為三角形，答案是m=-1.

如圖2，設(shè)所在直線AB與x軸交于點(diǎn)D，同上得D（3，0），因?yàn)镻（m，0），S△PAB=2，且S△PAB=S△PAD-S△PBD，所以12·（3-m）·2-12（3-m）·1=2，得m=-1.

學(xué)生2（展示，錯(cuò)解2）：我的方法是補(bǔ)為矩形，答案也是m=-1.

圖3如圖3，分別過(guò)點(diǎn)P、B作y軸的平行線與過(guò)A作x軸的平行線交于點(diǎn)E、D，則四邊形PEDC為矩形，且易得D（2，2），E（m，2）.所以DE=2-m，AE=1-m，DA=1，DB=1，BC=1，CP=2-m，PE=2，因?yàn)镾△PAB=SPEDC-S△PEA-S△DAB-S△PBC，所以2（2-m）-12×2×（1-m）-12×1×1-12×1×（2-m）=2，解得m=-1.

學(xué)生3（展示，錯(cuò)解3）：我的方法是采用分割法，答案也是m=-1.

圖4如圖4，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交PB于點(diǎn)H，則S△PAB=S△PAH+S△BAH，由待定系數(shù)法求得yPB=12-mx+mm-2，所以H（1，m-1m-2），所以AH=2-m-1m-2=m-3m-2.所以12·m-3m-2·（2-m）=2，解得m=-1.

學(xué)生4（展示，錯(cuò)解4）：因?yàn)橹本€AB與x軸的夾角是特殊角45°，所以有關(guān)線段長(zhǎng)度可在等腰直角三角形中計(jì)算，利用面積公式法算出的答案不是-1.

圖5如圖5，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB，垂足為H，設(shè)所在直線AB與x軸交于點(diǎn)D.

由（1）（2）得A（1，2），B（2，1），所以yAB=-x+3，所以D（3，0），AB=2，因?yàn)镾△PAB=AB·PH=2，所以PH=2，因?yàn)椤鱌HD為等腰直角三角形，所以PD=2PH=2，所以O(shè)P=1，所以P（1，0），得m=1.

學(xué)生5（析錯(cuò)）：三角形面積公式記錯(cuò)，應(yīng)該是S△PAB=12·AB·PH=2，所以PH=22，所以PD=2PH=4，所以O(shè)P=1，所以P（-1，0），得m=-1.

學(xué)生6（析錯(cuò)）：線段長(zhǎng)度與坐標(biāo)是不同的，線段長(zhǎng)度是正數(shù)，坐標(biāo)的符號(hào)可正可負(fù).因?yàn)镺P=1，所以P（±1，0），得m=±1.

學(xué)生7（析錯(cuò)）：因?yàn)镈（3，0），OP=4，則點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)，所以P（-1，0），得m=-1.

學(xué)生8（析錯(cuò)）：因?yàn)镈（3，0），OP=4，則當(dāng)點(diǎn)P在D的左側(cè)時(shí)P（-1，0），當(dāng)點(diǎn)P在D的右側(cè)時(shí)P（7，0），所以m=-1或7.

學(xué)生9（析錯(cuò)）：根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)特征可知點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，從圖形位置上分析點(diǎn)P可能在直線AB的左側(cè)，也可能在直線AB的右側(cè)，需要分類討論.

學(xué)生10（析錯(cuò)）：由于m的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，所以上述代數(shù)式3-m、2-m、1-m的值有可能是負(fù)數(shù)，應(yīng)用含m的代數(shù)式的絕對(duì)值表示線段長(zhǎng)度.

學(xué)生11（糾錯(cuò)，錯(cuò)解5）：如圖3補(bǔ)為矩形，DE=|2-m|，AE=|1-m|，則22-m-12×2×1-m-12×1×1-12×1×2-m=2，所以322-m-1-m=52.

當(dāng)m≤1時(shí)，32（2-m）-（1-m）=52，解得m=-1.

當(dāng)1

圖6當(dāng)2≤m時(shí)，32（m-2）-（m-1）=52，解得m=9.所以m=-1或m=9.

學(xué)生12（糾錯(cuò)，錯(cuò)解6）：如圖6，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與過(guò)A作x軸的平行線交于點(diǎn)D，則四邊形PADC為直角梯形，所以S△PAB=SPADC-S△DAB-S△PBC，所以12×2×（1+2-m）-12×1×1-12×1×2-m=2，所以2-m=3，所以m=-1或m=5.

圖7學(xué)生13（析錯(cuò)）：運(yùn)用面積公式法通過(guò)“展示——析錯(cuò)——糾錯(cuò)”得出的正確答案是m=-1或m=7.我將其補(bǔ)為三角形（如圖7），按照解法1得S△PAB=S△PAD-S△PBD，因?yàn)镻D=m-3，所以12m-3×2-12m-3×1=2，解得m=-1或m=7.所以解法5與解法6肯定是錯(cuò)的.

學(xué)生14（析錯(cuò)）：若按照解法5理解補(bǔ)為矩形，△PAB的面積轉(zhuǎn)化矩形面積減去3個(gè)直角三角形面積；若按照解法5理解補(bǔ)為梯形，△PAB的面積轉(zhuǎn)化梯形面積減去2個(gè)直角三角形面積.如圖8不能作出類似的幾何構(gòu)造，當(dāng)然不能用原有方法解決如圖8的情形.