共邊三角形的一個性質(zhì)及其應(yīng)用

兩個共邊三角形具有下列性質(zhì)：

性質(zhì)若△ABC與△ABD有一條公共邊AB，且直線CD與直線AB相交于M，則S△ABCS△ABD=CMDM.

圖1證明如圖1，分別過C、D作AB的垂線CP、DQ，P，Q為垂足，則Rt△CPM∽Rt△DQM，所以CPDQ=CMDM，所以S△ABCS△ABQ=12CP·AB12DQ·AB=CMDM.

類似地，可證明該性質(zhì)其它三種情形（圖2—4）：

圖2圖3圖4該性質(zhì)看似平凡，實則大有用處.利用它可以解決大量的幾何題，甚至可以使一些難度較大的問題獲得簡捷的解法.

1證明比例式

例1如圖5，已知BD=CE，求證：ABAC=EFDF.

證明連接BE，AF，由于BD=CE，故由性質(zhì)有ABAC=ABBD·CEAC=S△ABFS△BDF=S△BEFS△ABE=S△BEFS△BDF=EFDF.

圖5圖62證明等積式

例2如圖6，設(shè)AD為△ABC的中線，引任一直線CF交AD于E，交AB于F.證明：AE·FB=2AF·ED.

證明連接BE，因D為BC的中點，故S△BEC=2S△DEC.由性質(zhì)有：AEED=S△AECS△DEC=2S△AECS△BEC=2AFFB.所以AE·FB=2AF·ED.

3證線段相等

例3如圖7，PA、PB是圓的兩條切線，在線段PB上取一點D，延長PA至C使AC=BD，連接CD交AB與E，求證：CE=DE.

證明連接BC、PE.依題意有PA=PB，AC=BD，故由性質(zhì)有：DECE=S△BDES△BCE=S△BDES△PBE·S△PBES△BCE=BDPB·PAAC=1，所以CE=DE.

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例4設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB上各有一點D、E、F，且使AFBF·BDCD·CEAE=1，求證：AD、BE、CF相交于一點.

證明如圖8，可先找出AD、BE的交點O，再證明CO與AB的交點F′與F重合.設(shè)AD與BE相交于O，連接CO交AB于F′，則由性質(zhì)有：

AF′BF′·BDCD·CEAE=S△COAS△COB·S△AOBS△AOC·S△BOCS△BOA=1，結(jié)合條件等式有AF′BF′=AFBF.所以AF′+BF′BF′=AF+BFBF，即ABBF′=ABBF，所以BF′=BF，F(xiàn)′與F重合.從而AD、BE與CF相交于一點.

作者簡介尹承利（1963—），男，山東泰安人，中學(xué)高級教師，市教學(xué)能手，區(qū)政府記功，區(qū)教學(xué)優(yōu)秀教師、骨干教師.數(shù)學(xué)奧林匹克優(yōu)秀輔導(dǎo)員.多次獲省、市優(yōu)秀論文一等獎.發(fā)表論文1000余篇，主編或參編著作20余部.曾獲"希望杯"全國數(shù)學(xué)邀請賽命題一等獎.endprint