借助密克定理再探銳角三角形內(nèi)所能包含的最大正方形問(wèn)題

1背景介紹

圖1題目（2013 天津）如圖1，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上.

（Ⅰ）△ABC的面積等于 ；

（Ⅱ）若四邊形DEFG是△ABC中所能包含的面積最大的正方形，請(qǐng)你在如圖所示的網(wǎng)格中，用直尺和三角尺畫出該正方形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫圖的方法（不要求證明）.

本題是2013年天津市中考數(shù)學(xué)卷的第18題，該題的第（Ⅱ）問(wèn)設(shè)計(jì)精巧，內(nèi)涵可謂極其豐富.但是很多文章對(duì)該問(wèn)的解答都回避了一個(gè)問(wèn)題，即為什么△ABC中所能包含的面積最大的正方形一定是△ABC的內(nèi)接正方形？或者說(shuō)，如果一個(gè)正方形只有三個(gè)頂點(diǎn)分別落在△ABC的三條邊上，那么這樣的正方形為什么不可能是最大的？終于，兩年多之后，文[1]（下稱“原文”）針對(duì)這個(gè)問(wèn)題做了比較詳盡的解答，讀來(lái)令人激動(dòng)萬(wàn)分！細(xì)細(xì)品味該文后，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題筆者從另一個(gè)角度作了進(jìn)一步思考，現(xiàn)將本人的思考整理成文，以就教于同行.

2構(gòu)造更具一般性的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在△ABC的三條邊上的正方形

圖2原文中，為了說(shuō)明三個(gè)頂點(diǎn)分別落在△ABC的三條邊上的正方形的存在性，先作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，如圖2，過(guò)點(diǎn)D分別作AB、BC的垂線段DE、DF，在AB、BC上分別取點(diǎn)G、H，使得∠EDG=∠FDH=12（90°-∠ABC），再過(guò)點(diǎn)G作DH的平行線交BD于點(diǎn)K，連接HK（原文為“過(guò)點(diǎn)H做DG的平行線”，不夠嚴(yán)謹(jǐn)），易證四邊形DGKH為正方形.

顯然，此時(shí)的∠AGD是一個(gè)定值，但在隨后的代數(shù)推理過(guò)程中（原文換了字母）又被當(dāng)成一個(gè)變量（∠B≤∠AGD≤90°），那么問(wèn)題來(lái)了，原本∠AGD是固定的，當(dāng)它發(fā)生變化時(shí)，四邊形DGKH還是一個(gè)正方形嗎？如果是，又如何保證它的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在△ABC的三條邊上且第四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的內(nèi)部呢？換句話說(shuō)，如何構(gòu)造更具一般性的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在△ABC的三條邊上的正方形？筆者對(duì)此進(jìn)行了深入的思考，發(fā)現(xiàn)可以多次利用位似圖形放大，直至有三個(gè)頂點(diǎn)分別落在△ABC的三條邊上，現(xiàn)展示具體作法.

圖3圖4圖5圖6如圖3，作一直線MN與△ABC的兩邊分別交于M、N，且∠B≤∠ANM≤90°，在線段MN上取適當(dāng)?shù)膬牲c(diǎn)D、E，在直線MN的右側(cè)作正方形DEFG，且該正方形包含于△ABC（類似兩圓的位置關(guān)系）；接下來(lái)，將正方形DEFG連續(xù)位似放大，作直線DF、EG交于點(diǎn)O，它們與△ABC的三邊交于B1、B2、B3、B4四點(diǎn)，如圖4，比較ODOB1、OEOB2、OFOB3、OGOB4中的最小值，不妨設(shè)OEOB2最小，以點(diǎn)O為位似中心，將正方形DEFG逐漸放大直至點(diǎn)E與點(diǎn)B2重合；作射線ED、EF交AC、BC于C1、C2，如圖5，同樣，比較EC1ED、EB4EG、EC2EF中的最小值，不妨設(shè)EC1ED最小，以點(diǎn)E為位似中心，將正方形DEFG逐漸放大直至點(diǎn)D與點(diǎn)B1重合；作射線AG、AF交BC于D1、D2，如圖6，比較AD1AG和AD2AF的大小，不妨設(shè)AD2AF較小，以點(diǎn)A為位似中心，將正方形DEFG逐漸放大直至點(diǎn)F與點(diǎn)D2重合.

通過(guò)以上有限的步驟可知，當(dāng)∠B<∠ANM<90°時(shí)，可以得到一個(gè)只有三個(gè)頂點(diǎn)分別落在△ABC的三條邊上且第四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC內(nèi)部的正方形，相比于原文中構(gòu)造的正方形更具一般性；而當(dāng)∠ANM=90°-∠C或 90°時(shí)，正方形DEFG內(nèi)接于△ABC.同時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)，這一構(gòu)造的過(guò)程也回答了為什么只要比較原文中的（5）（6）兩種情形.原文證明情形（5）不可能最大的方法偏重于代數(shù)推理，不夠直觀，那么有沒(méi)有更直觀的方法呢？這再度引起了筆者的思考.

3利用密克定理使證明過(guò)程更直觀化

由于有三個(gè)頂點(diǎn)分別落在△ABC的三條邊上，這讓筆者聯(lián)想到了密克定理，即在一個(gè)三角形的每一條邊上各取一點(diǎn)，過(guò)三角形的每一個(gè)頂點(diǎn)與兩條鄰邊上所取的點(diǎn)作圓，則這三個(gè)圓共點(diǎn)（其證明過(guò)程非常簡(jiǎn)單，參見(jiàn)文[2]）.如圖7，作出這樣的三個(gè)圓，由密克定理可知，它們交于一點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為O，連接AO、BO、CO，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)H，由三角形的外角性質(zhì)得，∠AOB=∠OAH+∠OHA=∠OAH+∠ACB+∠CBH，連接OE，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”可得，∠OAH+∠ACB+∠CBH=∠ACB+∠DEO+∠OEF=∠ACB+∠DEF=∠ACB+90°，即∠AOB=∠ACB+90°.同理可得，∠AOC=∠ABC+90°，∠BOC=∠BAC+90°，因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角都是定值，所以∠AOB、∠AOC和∠BOC也是定值，從而可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：當(dāng)∠AED在其取值范圍內(nèi)發(fā)生變化時(shí)，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)（實(shí)為三條弧形軌跡的公共點(diǎn)，可參考文獻(xiàn)[3]）.

圖7圖8進(jìn)一步，連接DO、FO和DF，如圖8，根據(jù)“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)”可得，∠DOF=180°-∠ACB，∠DOE=180°-∠BAC，∠EOF=180°-∠ABC，顯然∠DOF、∠DOE和∠EOF也是定值，因此，點(diǎn)O在等腰Rt△DEF亦即正方形DEFG內(nèi)的相對(duì)位置是不發(fā)生變化的.連接OG，由相似性質(zhì)可知，線段OD、OE、OF和OG兩兩之間的夾角和比值都是定值，此時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)，正方形DEFG實(shí)際上是以點(diǎn)O為中心作旋轉(zhuǎn)位似放縮運(yùn)動(dòng).由于點(diǎn)D、E、F都是在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)文[4]的結(jié)論可知，點(diǎn)G也在一條直線上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)O分別到該直線和直線AB的垂線段的長(zhǎng)度之比等于OGOE圖9且它們的夾角等于∠EOG.設(shè)該直線分別與AC、BC交于點(diǎn)G1、G2，如圖9，那么點(diǎn)G的軌跡就是線段G1G2，當(dāng)OG取最大值時(shí)，正方形DEFG的面積最大，此時(shí)，點(diǎn)G必與點(diǎn)G1、G2中的一點(diǎn)重合，即正方形DEFG是△ABC的內(nèi)接正方形.下面的工作就是比較△ABC的三個(gè)不同內(nèi)接正方形的大小，本文不再贅述.

4寫在最后

筆者一直關(guān)注對(duì)原題解答的相關(guān)文獻(xiàn)，遺憾的是，這些文獻(xiàn)都是探討內(nèi)接正方形的作法和理論基礎(chǔ)，以及所涉及的思想方法、幾何模型等等，對(duì)為什么要作內(nèi)接正方形避而不談.可喜的是，向老師的文章作了可謂開(kāi)拓性的嘗試，這也激發(fā)了本人對(duì)該問(wèn)題探究到底的決心！

與原文相比，本文更偏向于揭示幾何關(guān)系結(jié)構(gòu)，將原文所揭示的代數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為更直觀的幾何關(guān)系結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)，將“代數(shù)結(jié)構(gòu)的抽象”轉(zhuǎn)化成了“幾何結(jié)構(gòu)的直觀”（文[5]），使人對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)有了直觀的感知和體驗(yàn).

以上就是筆者對(duì)銳角三角形內(nèi)所能包含的最大正方形這一問(wèn)題的心得體會(huì)，不足之處，還望得到專家的批評(píng)指正！

參考文獻(xiàn)

[1]向中軍.對(duì)一道中考題的再思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（1-2）：134-136.

[2]R.A.約翰遜.近代歐式幾何學(xué)[M].單墫譯.上海：上海教育出版社，1999：111-112.

[3]王成剛.明理才能得法善思方可縱深——一道作圖題的解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（11）：33-35.

[4]張建權(quán).一道動(dòng)態(tài)型中考題的再探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2017（3）：67-68.

[5]錢德春，高榮興.從必然到自然 從或然到應(yīng)然——讀文《“增解”從何而來(lái)》有感[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2016（7）：18-22.endprint