平凡中的不平凡

在贊揚某人時，我們常常這樣說：“×××在平凡的工作崗位上干出了不平凡的成績.”這就是說，只要努力，平凡中就會孕育著不平凡！

同樣，在數(shù)學中，從平凡的事實（結(jié)論）出發(fā)，只要你善于用探索的目光去看待它們，往往就會得出不平凡的結(jié)論！請看下面的例子：

圖1例1在△ABC內(nèi)任取一點O，連結(jié)AO，BO，CO，將這個三角形分成三個小三角形，那么，這三個小三角形的面積之和就等于整個三角形的面積（如圖1所示），即

S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC.①

你可能認為：這不是廢話嗎？誰不知道呢？

那好，我們將①變形為：

S△AOBS△ABC+S△BOCS△ABC+S△AOCS△ABC=1.②

你可能會說：這不是一回事嗎？

那好，我們繼續(xù)變形：分別延長AO，BO，CO交對邊于D，E，F(xiàn)，此時會有結(jié)論：

S△AOBS△ABC=OFCF，S△BOCS△ABC=ODAD，S△AOCS△ABC=OEBE.③

將③代入②，得：OFCF+ODAD+OEBE=1.④

此時，你還認為結(jié)論④那么不值一提嗎？如果你不知道結(jié)論④的來源的話，那么結(jié)論④絕對算得上一道難題！

你可能說了：結(jié)論③算是平凡的結(jié)論嗎？我怎么不知道呢？

其實，結(jié)論③雖不像結(jié)論①②那樣簡單，但也不算復雜，因為大家都知道“同高的兩個三角形面積的比等于它們的底之比”.于是有：

S△AOFS△ACF=OFCF，S△BOFS△BCF=OFCF.故S△AOFS△ACF=S△BOFS△BCF=OFCF.

由等比性質(zhì)，得：

S△AOF+S△BOFS△ACF+S△BCF=OFCF，即S△AOBS△ABC=OFCF.

同理可得：S△BOCS△ABC=ODAD，S△AOCS△ABC=OEBE.

好了，我們還是繼續(xù)探索吧！

如果說結(jié)論①②還算得上是平凡的事實（結(jié)論）的話，那么，下面的結(jié)論⑤連平凡都算不上，簡直什么都不是?。。?/p>

在圖1中，有結(jié)論：

S△AOBS△BOC×S△BOCS△AOC×S△AOCS△AOB=1.⑤

因為分子、分母約分之后就是1嘛！

但你千萬不要約分，因為那樣一來就什么也沒有了！

我們同樣仿照上面的思路，看一看這些面積的比可用哪些線段的比來表示呢？

根據(jù)“同高的兩個三角形面積的比等于它們的底之比”有：

S△ABES△BCE=AECE，S△AOES△COE=AECE，故S△ABES△BCE=S△AOES△COE=AECE.

由等比性質(zhì)，得：S△ABE-S△AOES△BCE-S△COE=AECE，

即S△AOBS△BOC=AECE.

同理可得：S△BOCS△AOC=BFAF，S△AOCS△AOB=CDBD.

將它們代入⑤，得：AECE×BFAF×CDBD=1.⑥

結(jié)論⑥可不是一般的結(jié)論，它就是大名鼎鼎的塞瓦定理中的一個命題！

（注：塞瓦定理包括兩個命題，其另一個命題是：若AECE×AFBF×CDBD=1，則AD，BE，CF交于一點.）

圖2例2如圖2，等腰三角形ABC中，AD、BE分別是底邊和腰上的高，則易知：

S△ABC=2S△ABD.⑦

這可以說是一個再簡單不過的事實了，但你千萬不要小看它，因為據(jù)此可以得出高中數(shù)學中很重要的一個公式：sin2α=2sinα·cosα，請看：

設(shè)等腰三角形ABC頂角為2α、腰長為a，則：

BE=a×sin2α，BD=a×sinα，AD=a×cosα.

將它們代入⑦，得：

12×a×a×sin2α=2×12×a×sinα×a×cosα.

即：sin2α=2sinα·cosα.

感言我們不要小看平凡，因為平凡中常常孕育著偉大！如果你沒有從平凡中看到不平凡，那說明你的眼光還不夠犀利，還不夠獨特，看待問題還沒有與眾不同！希望大家從上例中受到啟發(fā)，養(yǎng)成從獨特的視角看待問題的習慣，長期堅持下去，你也許就會有偉大的發(fā)現(xiàn)！退一步講，即使沒有偉大的發(fā)現(xiàn)，那你也一定會成為一個思路敏捷、想法獨特的人！

作者簡介王彥紅（1973—），女，中學一級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究.endprint