結(jié)合面參數(shù)最小相對(duì)誤差二乘法擬合

楊帆　劉康華

摘 要：結(jié)合文獻(xiàn)資料，利用最小相對(duì)誤差二乘法對(duì)原模型進(jìn)行求解，得到新的回歸方程組。結(jié)果證明：用最小相對(duì)誤差二乘法解出的回歸方程組相對(duì)誤差在3.5%以內(nèi)，相對(duì)于高斯最小二乘法解出的結(jié)果降低了12.5%，平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）分別降低18.0%、12.4%、19.0%。

關(guān)鍵詞：機(jī)床；固定結(jié)合面；最小相對(duì)誤差二乘法；平均絕對(duì)百分比誤差

中圖分類號(hào)：TH133 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2017）22-0215-02

數(shù)控機(jī)床整機(jī)的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)是急需解決的關(guān)鍵問(wèn)題之一。在零物理樣機(jī)的情況下，使用虛擬樣機(jī)對(duì)整機(jī)動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行預(yù)測(cè)是現(xiàn)代機(jī)床數(shù)字化優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容。機(jī)床零件結(jié)合面的建模及其動(dòng)態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確識(shí)別決定了預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性[1]。國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者針對(duì)結(jié)合面參數(shù)識(shí)別進(jìn)行了大量的研究，吉村允孝等[2]建立了結(jié)合面6自由度相互獨(dú)立的等效動(dòng)力學(xué)模型；華中科技大學(xué)的毛寬民等[3]利用曲面相應(yīng)法和最小二乘法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立了結(jié)合面參數(shù)化模型。許倩鈺、秦宇[4]等基于最小二乘法原理及多項(xiàng)式擬合的方法，得到不同速度下動(dòng)態(tài)稱重?cái)?shù)據(jù)的擬合曲線。

高斯最小二乘法忽略了絕對(duì)誤差對(duì)大小不同的數(shù)據(jù)的影響程度不同。本文將用以相對(duì)誤差平方和為最小化目標(biāo)的最小二乘法求解文獻(xiàn)[3]中的數(shù)學(xué)模型，并以平均絕對(duì)百分比誤差（Mean Absolute Percentage Error）為參考評(píng)價(jià)兩種方法的差異。

1 基于最小相對(duì)誤差二乘法的模型求解

1.1 文獻(xiàn)數(shù)據(jù)分析

從文獻(xiàn)[3]提取部分用高斯最小二乘法擬合所得的數(shù)據(jù)，比較在相同絕對(duì)誤差的情況下，相對(duì)誤差的不同。各實(shí)驗(yàn)值與擬合值之間的絕對(duì)誤差為0.10，其相對(duì)誤差絕對(duì)值則由1.61%縮小到0.35%。最小二乘法的原理是通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。通常擬合數(shù)據(jù)往往按與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差來(lái)評(píng)價(jià)的，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越大，允許的擬合數(shù)據(jù)的誤差也越大。針對(duì)這一點(diǎn)，文獻(xiàn)[3]中以絕對(duì)誤差的平方和為最小化的目標(biāo)，沒(méi)有考慮到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)大范圍變化對(duì)相對(duì)誤差造成的影響。

1.2 最小相對(duì)誤差二乘法

將影響結(jié)合面參數(shù)的尺寸值代入到式（7）、式（8）中，得到模型擬合剛度值和相對(duì)誤差，見(jiàn)表1。

新的回歸方程計(jì)算所得相對(duì)誤差絕對(duì)值基本都在3.5%以內(nèi)，而高斯最小二乘法求解所得結(jié)果相對(duì)誤差絕對(duì)值基本在4.0%以內(nèi)，采用最小相對(duì)誤差二乘法使最大相對(duì)誤差減小了12.5%。

2.2 平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）比較

新模型不僅誤差區(qū)間更小，其平均絕對(duì)百分比誤差比文獻(xiàn)[3]中明顯減小。

由表2可知，預(yù)緊力為9.375KN、18.750KN和28.125KN時(shí)，用高斯最小二乘法求解所得結(jié)果的平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）比用相對(duì)誤差最小二乘法依次降低了18.0%、12.4%和19.0%。

3 結(jié)語(yǔ)

本文將相對(duì)誤差最小二乘法用于結(jié)合面參數(shù)識(shí)別實(shí)驗(yàn)中數(shù)學(xué)模型的求解，對(duì)文獻(xiàn)[4]中的機(jī)床固定結(jié)合面動(dòng)力學(xué)參數(shù)化模型起到進(jìn)一步完善的作用，得到以下結(jié)論：

對(duì)于大范圍變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，以相對(duì)誤差平方和為最小化目標(biāo)的最小相對(duì)誤差二乘法優(yōu)于高斯最小二乘法。

參考文獻(xiàn)

[1]郭成龍.數(shù)控機(jī)床滑動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合面動(dòng)態(tài)特性參數(shù)測(cè)試及應(yīng)用研究[D].南京：南京理工大學(xué)，2012.

[2]Yoshimura M. Making use of CAD technology based on the dynamic characteristics data of joints to improve the structural rigidity of machine tools[J].Machine Tools，1979，1：142-146.

[3]毛寬民，黃小磊，李斌，等.一種機(jī)床固定結(jié)合部的動(dòng)力學(xué)參數(shù)化建模方法[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，04（4）：49-53.

[4]許倩鈺，秦宇，楊發(fā)武，等.基于最小二乘法與MATLAB軟件的動(dòng)態(tài)稱重?cái)?shù)據(jù)擬合[J].計(jì)量技術(shù)，2012，06（6）：76-79.

[5]徐穎，李明利，趙選民，等.響應(yīng)曲面回歸法—一種新的回歸分析法在材料研究中的應(yīng)用[J].稀有金屬材料與工程，2001，30（6）：428-438.