結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法原理探討新課程標(biāo)準(zhǔn)下的數(shù)學(xué)歸納法教法

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法是中學(xué)生難以理解掌握的十大概念之一，古往今來對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的研究層出不窮，根據(jù)教育部日前印發(fā)普通高中課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）增加的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，勢必對(duì)以往普通的數(shù)學(xué)歸納法教法有所沖擊。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)歸納法；遞推；證明；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、 新課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的要求

教育部日前印發(fā)普通高中課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版），與2003年頒布實(shí)施的普通高中課程方案相比，新課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)在文本結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其實(shí)施要求等方面進(jìn)行了改進(jìn)和完善。在文本結(jié)構(gòu)上，主要新增了學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求兩個(gè)部分，內(nèi)容更全面，結(jié)構(gòu)也更加完整，努力使標(biāo)準(zhǔn)從整體上有較大提升。在課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容方面，努力凸顯思想性、時(shí)代性和整體性等。值得關(guān)注的是，各學(xué)科首次凝練提出學(xué)科核心素養(yǎng)，明確了學(xué)生學(xué)習(xí)該學(xué)科課程后應(yīng)形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力，并圍繞學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)，精選、重組教學(xué)活動(dòng)，提出考試評(píng)價(jià)的建議。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)容是數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。他們既相互獨(dú)立又相互交融，是一個(gè)有機(jī)整體。在以往的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法屬于一知半解，能利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟解題，但是始終認(rèn)為數(shù)學(xué)歸納法結(jié)論得來的太突然，不能深刻理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，也就是邏輯推理思想掌握得不夠透徹，這不符合現(xiàn)在所提出的高中數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

二、 新舊教材中的數(shù)學(xué)歸納法

現(xiàn)在教材中所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)歸納法都是第一類數(shù)學(xué)歸納法。

教材中對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法一開始就直接說明是一種特殊的證明方法，主要用于研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，然后從多米諾骨牌游戲開始啟發(fā)，引發(fā)思考，提出問題，這個(gè)游戲中，能使所有骨牌全部倒下的條件是什么？然后直接拋出了數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，接著通過大量的例題解答，使學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)歸納法的步驟。而這樣的處理，學(xué)生確實(shí)掌握了數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，然而卻覺得結(jié)論來得太過于突兀，不能深刻理解到數(shù)學(xué)歸納法的遞推證明思想。

在九十年代的教材中，數(shù)學(xué)歸納法是由學(xué)習(xí)“第一項(xiàng)相同而第二項(xiàng)不同的若干個(gè)二項(xiàng)式的積”這一課題而引出的，而這一課題的目的又在于導(dǎo)出“二項(xiàng)式定理”這一重要內(nèi)容，而后又將這一證明方法用之于等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式的證明，甚至是排列、組合、復(fù)數(shù)、不等式的證明以及恒等式的證明等等。因此，在九十年代的課本中，數(shù)學(xué)歸納法是作為重難點(diǎn)知識(shí)講解的，而學(xué)生同樣學(xué)習(xí)這一章節(jié)的內(nèi)容時(shí)感到困難，不易掌握其精神實(shí)質(zhì)，或者不能熟練運(yùn)用這一證明方法。

三、 數(shù)學(xué)歸納法的原理

數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法。

用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟：（1）歸納奠基，證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（n0是正整數(shù)）時(shí)命題成立。（2）歸納遞推，假設(shè)k≥n+時(shí)，命題成立，推證當(dāng)n=n+1時(shí)命題也成立。只要完成了這兩部，可斷定這命題對(duì)n0開始的所有正整數(shù)n都成立。雖然從表面上看，我們沒有就命題是否為真對(duì)所有的自然數(shù)一個(gè)一個(gè)加以驗(yàn)證，但事實(shí)上對(duì)所有的自然數(shù)，通過遞推關(guān)系，自動(dòng)都得到了驗(yàn)證，而且每一次驗(yàn)證，都是一次演繹推理。即這一步是由無數(shù)次演繹推理構(gòu)成的。就像一條無窮的鏈子，環(huán)環(huán)相扣，每一環(huán)都是典型的三段論式的推理。

大前提：若P（k）成立，則P（k+1）成立；

小前提：若P（1）成立，

結(jié)論：則P（2）成立。并且同樣可以推出P（3）成立，這個(gè)過程自動(dòng)延續(xù)直至無窮。事實(shí)雖然如此，但是無論哪個(gè)題目里，情況總是這樣，并無二致，因此每題無需重復(fù)以上過程，可以只用一句同樣的話由兩個(gè)步驟就可以完全概括了，而從不把它當(dāng)作一個(gè)步驟，然后寫出經(jīng)過歸納得出結(jié)論，整個(gè)遞推到這里就結(jié)束了。這就是教材中說數(shù)學(xué)歸納法只有兩個(gè)步驟的原因。但是卻不能忘記，這短短的兩句話里，不僅包含一個(gè)無限遞推的過程，而且數(shù)學(xué)歸納法的“歸納”不是在其他地方體現(xiàn)的，恰恰正是這里體現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法中的“歸納”。我們的結(jié)論，是經(jīng)過遞推無數(shù)次驗(yàn)證之后，才歸納得到的。

四、 數(shù)學(xué)歸納法的教法

通過對(duì)教材的感知，現(xiàn)代對(duì)于數(shù)學(xué)歸納的教法是采用類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法，以學(xué)生及其發(fā)展為本，一切從學(xué)生出發(fā)。在教師的組織啟發(fā)下，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，師生共同探究多米諾骨牌倒下的原理，類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數(shù)學(xué)歸納法的原理、步驟，進(jìn)而給出例題，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。要提高學(xué)生的應(yīng)用能力，分析問題、解決問題的能力。既強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性、主動(dòng)性和平等性，也強(qiáng)調(diào)交流性、開放性和合作性。

五、 數(shù)學(xué)歸納法與高考

數(shù)學(xué)歸納法是離散數(shù)學(xué)的前提?？紤]到專業(yè)受限，學(xué)生掌握程度不同，以2018年高考大綱為例，文科數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法并不做任何要求，對(duì)于理科數(shù)學(xué)則是理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能利用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題。

根據(jù)以往高考出現(xiàn)過的需要以數(shù)學(xué)歸納法證明題來說，都是并非多難，而是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟是可以解決的簡單命題。正如2010年江蘇卷理科23題。已知三角形ABC的三邊長都是有理數(shù)。（1）求證：cosA是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosA是有理數(shù)。

六、 數(shù)學(xué)歸納法教法建議

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法很容易猜想到歸納結(jié)果，但是卻對(duì)證明過程望而卻步。其實(shí)這可以參照我們對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明方法，將無限的數(shù)化為有限的數(shù)去操作。在多米諾骨牌倒下的情景中也可以提出，若是從中抽出幾塊是否還能繼續(xù)倒下，或是如果不推到第一張骨牌，又應(yīng)該如何去做？或者給出一個(gè)簡單數(shù)列{an}，a1=1，an+1=an1+an（n∈N*）求通項(xiàng){an}，這個(gè)數(shù)列容易求出每一項(xiàng)，然后歸納出它的通項(xiàng)公式，但是卻不能以數(shù)列傳統(tǒng)的證明方法去證明，只能另辟蹊徑，此時(shí)教師再從旁協(xié)助，使學(xué)生理解到數(shù)學(xué)歸納法的原理，從而再去證明。

數(shù)學(xué)歸納法雖然近幾年并沒有出現(xiàn)在高考試卷中，但是考綱中并未將其刪除，所以不能以此忽略數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，所以以數(shù)學(xué)歸納法原理為基礎(chǔ)的教學(xué)必然需要大力推廣。

參考文獻(xiàn)：

[1]周鴻照.數(shù)學(xué)歸納法的教材研究與教法建議[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1961（3）：12-13.

[2]徐淮.試談數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1988（2）：10-11.

作者簡介：

張穎，四川省南充市，西華師范大學(xué)。