“零”起點，并非從“零”開始

薛正檜

摘? 要：計數(shù)（數(shù)數(shù)）能力是兒童早期數(shù)概念發(fā)展的重要能力之一。一年級新生的計數(shù)能力達(dá)到了什么水平？他們在學(xué)前階段主要參與了哪些計數(shù)活動？現(xiàn)實水平和先前的活動，對一年級起始階段的計數(shù)教學(xué)有哪些啟示？在回答上述三個問題的過程中，我們將會對“零”起點教學(xué)有個全新的認(rèn)識，幼小銜接也才會在小學(xué)階段真正落地生根。

關(guān)鍵詞：幼小銜接;一年級新生;計數(shù)能力;發(fā)展?fàn)顩r;已有活動;培養(yǎng)策略

長期以來，有關(guān)幼小銜接研究的話語體系，主要是由學(xué)前教育的研究者、實踐者搭建起來的，銜接的主要方式也是以幼兒教育小學(xué)化為主，“搶跑”成了時尚，前傾式傾向較為明顯。這種違背兒童天性、不符合認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的做法要緊急剎車，走向正途。作為幼兒園教育的延續(xù)，起始階段的小學(xué)教育在這方面也應(yīng)該擔(dān)任更為重要的角色了。

一、一年級新生計數(shù)能力發(fā)展?fàn)顩r調(diào)查

計數(shù)（數(shù)數(shù)）能力是兒童早期數(shù)概念發(fā)展的重要能力之一。結(jié)合富森提出的兒童計數(shù)能力發(fā)展階段理論和皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論，我們嘗試把兒童計數(shù)能力從低到高分成七個層次的水平。

水平一：數(shù)詞水平。幼兒在這一階段會把一個個的數(shù)詞當(dāng)作語音單位，通過模仿學(xué)會它的發(fā)音，但并不知道它的實際含義，多數(shù)情況下以“唱數(shù)”的方式進(jìn)行呈現(xiàn)。

水平二：數(shù)串水平。兒童能對一連串的數(shù)詞進(jìn)行單向的整體記憶和背誦，但無法把單個的數(shù)詞從整個數(shù)串中獨立出來。他們每次數(shù)數(shù)都要從1開始，而且會一下子把所知道的所有數(shù)詞都說完，即一說就是一串。

水平三：對應(yīng)水平。兒童能從數(shù)串中分化出單個的數(shù)詞，數(shù)數(shù)時能將每一個數(shù)和所數(shù)的對象一一對應(yīng)起來。他們數(shù)數(shù)雖然還是要從1開始，但能數(shù)到某一個指定數(shù)就停下來。處于這一階段水平的兒童才真正具備了實質(zhì)性的計數(shù)能力。

水平四：可逆水平。兒童數(shù)數(shù)不再局限于從1開始，他們不僅能從指定數(shù)向后數(shù)，還能從指定數(shù)向前數(shù)，也可以向前或向后數(shù)到指定數(shù)。但這個階段的兒童基本上還不能把數(shù)數(shù)和計算聯(lián)系起來。

水平五：單向數(shù)塊水平。位于這個水平的兒童，不僅能一個一個地數(shù)數(shù)，還能把每一個數(shù)詞都當(dāng)成一個獨特的計數(shù)單位，兩個兩個地數(shù)，五個五個地數(shù)等都習(xí)以為常，而且他們已經(jīng)能借助數(shù)數(shù)進(jìn)行簡單的加法運算。

水平六：雙向數(shù)塊水平。在水平五的基礎(chǔ)上，兒童能反向以數(shù)塊為單位進(jìn)行數(shù)數(shù)。

水平七：位值水平。兒童能用位值的意義理解數(shù)的組成，而非數(shù)詞的簡單延續(xù)。例如，要數(shù)出45，也就是十個十個地數(shù)4次，再一個一個地數(shù)5次，合并起來就是45。

今年參加學(xué)校的一年級招生工作，我隨機(jī)對某一時段報名我校的80名兒童做了訪談式調(diào)查，統(tǒng)計情況如表1。（注：如果孩子在某一水平上不達(dá)標(biāo)，就不再進(jìn)行下一水平的訪談了。）

從訪談的情況看，學(xué)前兒童計數(shù)能力的發(fā)展?fàn)顩r總體較好，基本都達(dá)到了“可逆水平”，即能熟練地從1或者從指定數(shù)開始正數(shù)或倒數(shù)到指定數(shù)，數(shù)數(shù)有了實際的意義。水平四中不達(dá)標(biāo)的兩位兒童，一位是因為環(huán)境陌生，產(chǎn)生了不適，從5數(shù)到16時，出現(xiàn)了跳數(shù)現(xiàn)象;另一位是從12數(shù)到4時，出現(xiàn)多次卡殼，反復(fù)3次后勉強(qiáng)完成。這說明，學(xué)前兒童在水平一到水平四的能力發(fā)展上，幾乎沒有統(tǒng)計意義上的差別，他們在數(shù)概念的發(fā)展上具備了進(jìn)一步發(fā)展的良好基礎(chǔ)。

第二，兒童在“單向數(shù)塊水平”上出現(xiàn)了明顯的分化，百分占比一下子由97.5%下降到45%，他們能一個一個地按自然數(shù)序進(jìn)行數(shù)數(shù)，但不能過渡到用“數(shù)塊”數(shù)數(shù)上，即大部分孩子的數(shù)數(shù)只能以“一”為單位。他們中的一些甚至認(rèn)為“兩個兩個地數(shù)”“三個三個地數(shù)”的數(shù)法是錯誤的，中途不能漏下任何一個數(shù)，數(shù)數(shù)只能一個一個地數(shù)。而且較多的孩子能說出5+2的結(jié)果，但說不清為什么結(jié)果是7，不會表達(dá)自己的想法，也談不上把數(shù)數(shù)與計算結(jié)合起來。通過進(jìn)一步追問了解到，他們會算加法主要是記住了結(jié)果，一次次地反復(fù)記憶達(dá)成的。這，顯然不夠。學(xué)前兒童在這一水平上的分化可能就是我們一年級教學(xué)的起點。

第三，兒童在后續(xù)的水平五、六、七的檢測中有差異，但不是明顯的差異。從上表可以看出，36名兒童達(dá)到了“單向數(shù)塊水平”，在此基礎(chǔ)上，只有兩名兒童未能達(dá)到“雙向數(shù)塊水平”。這說明，只要他們認(rèn)識到利用“數(shù)塊”可以數(shù)數(shù)、數(shù)數(shù)能幫助我們進(jìn)行簡單的計算，那么“逆向”的發(fā)展就能通過前期“可逆”的能力進(jìn)行遷移，這一步可以很順利地過渡。進(jìn)一步地可以看出，水平六到水平七的遞進(jìn)也沒有非常大的鴻溝，因為“位值”僅僅是“數(shù)塊”為“十”的一個特例。到了后期“百”“千”“萬”等的出現(xiàn)，也不過是“數(shù)塊”更大而已，由此計數(shù)趨向無窮。

隨后我又與10多位不同學(xué)校的一年級數(shù)學(xué)老師交流，發(fā)現(xiàn)他們基本上都認(rèn)同上述訪談結(jié)果。由此可見，一年級新入學(xué)兒童計數(shù)能力發(fā)展的差異是從“單向數(shù)塊水平”上開始的。

二、學(xué)前兒童進(jìn)行了哪些計數(shù)活動

教育部《幼兒園教育指導(dǎo)綱要（試行）》在科學(xué)領(lǐng)域的“內(nèi)容與要求”中明確指出：“引導(dǎo)幼兒對周圍環(huán)境中的數(shù)、量、形、時間和空間等現(xiàn)象產(chǎn)生興趣，建構(gòu)初步的數(shù)概念，并學(xué)習(xí)用簡單的數(shù)學(xué)方法解決生活和游戲中某些簡單的問題。” 這說明幼兒數(shù)概念的發(fā)展在幼兒園教育以及家庭教育中是受到重視的，計數(shù)能力的培養(yǎng)也必定是通過一個又一個的活動，持續(xù)地開展著的。格爾曼等認(rèn)為，兒童數(shù)數(shù)時必須遵循五條基本原則：（1）一一對應(yīng)原則，即一個數(shù)只能對應(yīng)一個物體;（2）固定順序原則，即數(shù)與數(shù)之間有一個固定的順序;（3）基數(shù)原則，即數(shù)到最后一個數(shù)的值就代表這個集合所含元素的總個數(shù);（4）首位不相關(guān)原則，即數(shù)數(shù)與從什么地方開始無關(guān);（5）抽象原則，即數(shù)數(shù)的原則可以用于任何事物。根據(jù)這五條原則，幼兒園里開展的數(shù)數(shù)活動，按先后順次，主要的有口頭數(shù)數(shù)、按物點數(shù)、說出總數(shù)、按數(shù)取物四種（見表2）。

1. 口頭數(shù)數(shù)。幼兒一般從3～4歲開始，就能跟著成人或大些的孩子學(xué)數(shù)數(shù)，他們常常聚在一起，從1開始，有順序地往下數(shù)，就像平時背兒歌似地進(jìn)行表演。雖然在他們眼里，這只是一首兒歌，每一個數(shù)詞與實物間還沒有建立起對應(yīng)關(guān)系，但自然數(shù)列的固定順序得到了一次次地鞏固。孩子能從1數(shù)到10或是20、100等都是他們及其監(jiān)護(hù)人在這一階段炫耀的資本。但準(zhǔn)確地說，其實數(shù)數(shù)還沒有開始，這僅僅是唱數(shù)。

2. 按物點數(shù)。隨著口頭數(shù)數(shù)本領(lǐng)的增強(qiáng)，要求兒童能將這些數(shù)與實際物體之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系，做到手口一致地點數(shù)。按物計數(shù)較口頭數(shù)數(shù)復(fù)雜了許多，手、眼、口、腦需要協(xié)調(diào)一致。由于幼兒大腦皮層抑制機(jī)能發(fā)展較慢，按物計數(shù)會出現(xiàn)很多不一致現(xiàn)象。比如：（1）嘴里數(shù)出的數(shù)是對的，但手卻是亂點物體的;（2）一個一個地點物體是對的，但口頭報出的數(shù)卻是亂的;（3）嘴里數(shù)出的數(shù)是對的，點的物體也是對的，但兩者速度不同，做不到一一對應(yīng)。

3. 說出總數(shù)。即兒童在按物點數(shù)后，能夠說出所數(shù)物體的總數(shù)，這一活動往往與按物點數(shù)同時進(jìn)行。接物點數(shù)與說出總數(shù)是幼兒園里開展最多的活動，這是計數(shù)能力發(fā)展的關(guān)鍵，它表明幼兒能運用數(shù)和理解數(shù)的實際意義了。這一階段也是幼兒計數(shù)能力發(fā)展的重要階段。

4. 按數(shù)取物。即按一定的數(shù)目拿出同樣多的物體，這是對數(shù)概念的實際運用。相對按物點數(shù)和說出總數(shù)而言，按數(shù)取物更具有挑戰(zhàn)性。因為前兩個活動針對的是目力所及的所有物體，沒有干擾因素;而按數(shù)取物可能取的是全部物體，但更多的情況是取所能接觸到的物體中的一部分，要求孩子能根據(jù)“數(shù)”果斷地舍棄其中的一些。而這一活動，也恰恰沒有能引起成人的重視，沒能對“數(shù)”和“取”有本質(zhì)性的認(rèn)識，錯誤地把計數(shù)活動局限在“數(shù)”的層面上了。

至于在家庭教育中，對學(xué)前孩子進(jìn)行哪些數(shù)數(shù)活動，我們沒有做深入的調(diào)查了解。但基本能從面上做個判斷，即大多參照幼兒園里的做法，在口頭數(shù)數(shù)、按物點數(shù)、說出總數(shù)上有所側(cè)重，而且活動更多地在形式上開展得較多，引導(dǎo)也缺乏科學(xué)性、藝術(shù)性。

三、如何引導(dǎo)一年級新生開展計數(shù)活動

了解到學(xué)前兒童進(jìn)行了哪些計數(shù)活動以及他們具體的發(fā)展水平，對我們一年級起始階段如何開展計數(shù)活動，有著較強(qiáng)的現(xiàn)實意義，避免了做無用功、倒頭功。更為重要的是，號準(zhǔn)兒童真正的學(xué)習(xí)起點后，打破原有的教學(xué)定式，重構(gòu)教學(xué)，教在兒童最需要的地方，學(xué)習(xí)才能真正發(fā)生?！傲闫瘘c”不是從一張白紙上開始，而是從學(xué)生的現(xiàn)有基礎(chǔ)上開始，這里的“零”不是絕對的零，而是相對的“零”，著力當(dāng)下，讓計數(shù)教學(xué)從“零”開始。

1. 讓兒童對技能的追求少一分熱度

從前測的情況看，學(xué)前兒童對計數(shù)已經(jīng)有了比較好的基礎(chǔ)，他們幾乎都能熟練地從1數(shù)到100，甚至更多。大部分的孩子對倒著數(shù)數(shù)也是得心應(yīng)手，他們對自然數(shù)列的正、反兩個固有順序已經(jīng)爛熟于心。這是好事，說明大家重視了。但到了小學(xué)以后，我們就要適當(dāng)減少那些純技能的訓(xùn)練活動了，更不適宜在集體場合搞類似的低級競賽活動。

研究發(fā)現(xiàn)，低年級兒童過于熟練的技能訓(xùn)練會對意義的理解有較強(qiáng)的抑制作用。試想，一個對從1數(shù)到100非常熟練的孩子，他會虔誠地聽老師介紹“10”是怎么來的嗎？他們會理所當(dāng)然地認(rèn)為“9后面就是10，這還要問嗎？”“10就是10啊，兩個手加起來一共10個手指??！”殊不知，在現(xiàn)代計數(shù)法中，“10”的出現(xiàn)是具有里程碑意義的，它跟前面的“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”都不一樣，它不是一個新的符號，而是原有的兩個符號“1”“0”組合而成，這是計數(shù)單位的一次更新。以小棒為例，如果孩子頭腦中浮現(xiàn)的表象仍然是零散的“10”根，而不是10根經(jīng)過捆綁后的“1”捆，那么就可以說他對“10”的認(rèn)識還沒有建全。但孩子自己可能不這樣認(rèn)為，他認(rèn)為自己知道“9后面就是10”就行了，至于其他的，他們才不會去想。這就是熟練的技能對意義理解的反向抑制。經(jīng)一年級教師反映，課堂中那些不認(rèn)真聽講的孩子往往都是那些自認(rèn)為已經(jīng)會了的孩子。對此，我們除了要有一個正面的引導(dǎo)外，適當(dāng)減少孩子對這方面的追求熱度，從心理機(jī)制上掃清這種傾向才是當(dāng)務(wù)之急。這既是對孩子說的，也是對家長及學(xué)前教育的老師們說的。

2. 讓兒童對感性的積累多一分依戀學(xué)前兒童的識數(shù)、計數(shù)能力雖然有一部分是在幼兒園里經(jīng)專業(yè)老師教學(xué)習(xí)得，但不可否認(rèn)的是，他們中的大多數(shù)是在家庭內(nèi)獲得的。此時的幼兒園更像是一個展示的舞臺，幼兒們紛紛表演已經(jīng)習(xí)得的本領(lǐng)，而一些發(fā)展稍慢的幼兒也會在集體的催化下慢慢習(xí)得這些本領(lǐng)。在這一過程中，由于沒有教學(xué)理念的支撐，家長們甚至部分學(xué)前教育的老師們很少能站在兒童的視角，從感性入手，以建構(gòu)的方式，慢慢提升孩子對數(shù)數(shù)的認(rèn)識。他們大都是采用口耳相傳的方式去教孩子，不厭其煩地帶著孩子一遍又一遍地識記，這種識記沒有感性經(jīng)驗的積累，空洞而乏味。而兒童的計數(shù)由于過早地被抽象化、符號化，也就失去了對意義理解的良機(jī)，他們長期處于一種被架空的偽抽象當(dāng)中。到了小學(xué)以后，我們要補(bǔ)上這一課，多讓孩子在實物情境中進(jìn)行計數(shù)，數(shù)、拼、分、指、畫、擺、圈、比等不同形式要輪番開展，讓他們感覺到計數(shù)原來這么有趣、這么有規(guī)律、這么容易。

比如，《1-5的認(rèn)識》是數(shù)學(xué)符號認(rèn)識的起點，我們在夯實學(xué)生對“1”的認(rèn)識時可以按這樣的次序進(jìn)行教學(xué)。（1）你們會數(shù)出情境圖中物體的個數(shù)嗎？請指一指，并大聲數(shù)一數(shù)。調(diào)用學(xué)生已有的經(jīng)驗。（2）請你隨意畫出一個動物或圖形，再說一說用什么數(shù)來表示？以圖形表征的方式再現(xiàn)學(xué)生對“1”的表象。（3）小朋友們畫的都不一樣，為什么都用“1”來表示呢？借兒童之口來明確“1”作為一個符號的抽象性。（4）還有什么也可以用“1”來表示？請找一找。進(jìn)一步豐富感性經(jīng)驗。（5）我們用什么來表示一個動物、一朵花、一支筆、一所學(xué)校等等呢？簡單抽象，引出符號“1”。（6）如果再加一個，還能用“1”來表示嗎？那是幾呢？你明白“2”是怎么來的嗎？用變化、發(fā)展的觀點延伸到下一個符號的學(xué)習(xí)。在上述過程中，我們以學(xué)生的動手操作為主，運用大量直觀形象化的素材，盡量讓兒童在感性的世界多待一會，為他們積累了豐富的感性經(jīng)驗，這就為后期理性的升華做足了保障。

3. 讓兒童對意義的理解多一分關(guān)聯(lián)

計數(shù)只有與計算結(jié)合起來才能彰顯出更大的價值。在四則運算中，加法是最基本的運算，自然數(shù)的加法運算是由最原始的“+1”逐步復(fù)合而來?！?1”的復(fù)合是皮亞諾自然數(shù)公理定義的核心，其本質(zhì)是用有限去把握無限。加法的本質(zhì)是數(shù)數(shù)，“+1”的復(fù)合可以作為解釋10以內(nèi)加法的算理依據(jù)。其基本思想是利用運算步驟將復(fù)雜的問題分解成許多簡單的部分，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的算法機(jī)械化思想。不僅如此，減法的本質(zhì)其實也是數(shù)數(shù)，是“可逆水平”上的數(shù)數(shù)。如15-2，其實就是從15開始，往前數(shù)一個是14，再數(shù)一個是13，也就是15-2=13。乘法的本質(zhì)也可以歸為數(shù)數(shù)，是“單向數(shù)塊水平”上的數(shù)數(shù)。4個4個地數(shù)，5個4是幾??？不就是5×4=20嘛。除法的道理與減法相似。明白這一點后，我們就能自發(fā)地在數(shù)數(shù)與計算之間建立起聯(lián)系。

比如，教學(xué)《6+2》時，可以反復(fù)地開展這幾個層次的訓(xùn)練。（1）左邊6本書，右邊2本書，一共有幾本書？讓孩子明白“一共有幾本書”其實就是把它們合起來數(shù)，然后一起數(shù)1、2、3、4、5、6、7、8，得出結(jié)果8。這其實就是幼兒園里常開展的按物點數(shù)、說出總數(shù)，做加法其實就是數(shù)數(shù)，把數(shù)數(shù)與計算結(jié)合了起來。（2）還有更加簡便的數(shù)法，直接從左邊6本書中的“6”開始往后數(shù)兩個，7、8，快速得出結(jié)果8。（3）不出現(xiàn)具體的書，讓學(xué)生在頭腦里借助表象，但仍用前兩種方法來數(shù)。（4）舍去情境，直接計算6+2，說一說你是怎么算的。類似這種有關(guān)聯(lián)的訓(xùn)練，我們要加強(qiáng)。這可能也是學(xué)前兒童提前學(xué)習(xí)加減法運算最缺乏的。

4. 讓兒童對同伴的交流多一分向往

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是碎片化的，沒有系統(tǒng)的，他們有自己獨特的理解數(shù)學(xué)的方式。有時我們能夠參透其中的一二，有時卻愛莫能助。但他們同齡人之間因為有相近的心理認(rèn)知水平、相似的生活經(jīng)驗，對一些問題的理解反而是心有靈犀的。讓孩子們多交流，以他們共有的方式去理解所學(xué)知識，這在起始年級效果特別明顯。

在教學(xué)“利用數(shù)塊數(shù)數(shù)”時（相同數(shù)連加的前期滲透），為了動態(tài)呈現(xiàn)情境，我先在黑板上擺了4個小圓片，然后又在它的右邊空一些的地方擺了4個小圓片，問學(xué)生一共是幾個？我的意圖很明顯，2個4是8。但一位學(xué)生卻說是“44”。我一下子意識到了，他把左邊的“4”當(dāng)成十位，右邊的“4”當(dāng)成個位，理解成兩位數(shù)了。我趕緊跟他表白“這種想法是可以的，但如果說的就是兩個4，那么一共是多少呢？”照理說，這個時候他應(yīng)該能說出4+4=8了，但他沒有。“4個十，加4個一，還是44??！”說不清了，怎么辦？把他放在一邊，這個孩子會一直糾結(jié)，我于心不忍。但我確實又找不出更好的方法，因為該說的我都說了。這時，其他孩子幫了我?！袄蠋煕]有用數(shù)位框?！薄白筮吺鞘坏脑?，我們是不是要換一個更大的圓片？”你看，兒童的語言雖然不是很科學(xué)，但多么的直接，多么的純樸，又是多么的到位啊，這比我說的好多了。相比而言，兒童可能更擅長傾聽來自同伴的意見。只要我們給他們交流的機(jī)會，他們就能把這種交談上升為自己話語體系中的一次對話，平等、自由、精神共享式的言語溝通，徹底地表達(dá)出了內(nèi)心深處最真實的想法。兒童的計數(shù)以及由此引申的計算活動，植根于他們原本的生活經(jīng)驗，通過交流，這種經(jīng)驗就可以升華，無往而不勝。