心理學視角下的高中數學解題教學

李凱

【內容摘要】從心理學中“新手與專家比較”的角度研究學生的解題過程，可以避免機械的行為主義。高中數學教學中，要讓學生（新手）較快地達到教師（專家）水平，需要從學生的知識結構、問題表征方式以及教學策略上入手，同時還需要關注一些教學細節(jié)。

【關鍵詞】高中數學 解題教學 心理學視角

在高中數學教學中，解題教學是最重要的環(huán)節(jié)之一，為了迅速達到教學目標，很多教師常常會組織學生進行大量地重復地訓練，以求學生自己形成良好的解題直覺，然而這樣機械式的重復，有時候往往事倍功半，甚至反而使師生都覺得疲憊不已，苦不堪言。在試圖有所改變的時候，筆者選擇了學習心理學作為解剖自己教學的手術刀，結果發(fā)現之前的做法帶有明顯的行為主義的影子：通過重復訓練，來讓學生形成解題本能[1]。而事實上要想達到同樣的目標，基于“專家與新手”的相關理論研究，對于高中數學解題教學而言，是一條更有價值的途徑。

一、 “新手與專家”的理論研究

上世紀，拉金（J.H.Larkin）等人對新手與專家在面對問題時的解決思路進行了研究，結果反映出兩者在知識結構與問題表征上存在著明顯的差異。在心理學中，知識結構是指學生經過學習之后形成的知識體系的構成情況與結合方式；問題表征是解題的起點，是指學生在面對問題的時候，建立起的從問題解決的起始狀態(tài)到目標狀態(tài)之間的認識。

研究發(fā)現，新手在解決問題的過程中所運用的知識呈現出“小單元”的情形，而專家則是將這些“小單元”組織成了“大單元”。打個比方，這就跟吃葡萄一樣，新手一拿一個，而專家一拿一串；而從問題表征的角度來看，新手解決問題時往往步驟較多，且通常都是思考一步、核對一步，不容易形成系統(tǒng)的思路；而專家則能夠運用自動化的解題步驟迅速解決問題。有意思的是，當專家遇到不熟悉的問題，或將其置于一個新的領域時，其表現與新手基本無異。

二、 新手慣用的問題解決策略

高中數學解題教學中，學生無疑是以新手的身份存在的。比如在圓錐曲線新課教學時給出這樣的問題：已知定點F和定直線l，F不在直線l上，動圓M過點F且與直線l相切。求證：圓心M的軌跡是一條拋物線。據筆者的觀察與調查，學生由于是初學，所以往往會從拋物線的判定角度切入，然后調用大腦中已經學過的拋物線的定義，并嘗試將原題中信息與拋物線定義“匹配”起來。這里，學生搜索拋物線定義是知識結構的體現，而尋求“匹配”關系則是問題表征的一種體現。調查結果表明，新手在遇到問題的時候，通常都會基于問題去尋找相應的數學定義、公式或規(guī)律，然后嘗試到題目中尋找有用的語言來匹配定義，或尋找數據來代入公式以求解。這不僅反映了學生知識結構的簡單，而且這樣的問題表征方式決定了其后的解題策略往往是低效的。

“逆推式”就是新手慣用的問題解決策略，即從習題的所求問題向習題所給條件的推理。譬如上例中，證明過程常常是這樣寫的：因為動圓M過F與直線l相切，所以MF與M點到直線的距離相等，由拋物線定義可得，M點軌跡為以F為焦點，以直線l為準線的拋物線方程。而這個過程與學生的推理過程是相反的，有經驗的教師都知道，絕大多數問題的解決基本上都是這樣的一個過程，因此有不少學生總結：將自己的思考過程反過來寫，就是解題過程了！這是典型的逆推思維，而學生之所以下意識地選擇這一策略，與其知識結構是密切相關的，學生不可能有豐富的知識結構，其對數學知識之間的聯(lián)系遠不如教師那般嫻熟，這就“逼”著學生只可能逆推，而這種思維方式一旦形成，又會影響學生的問題表征，從而形成某種意義上的惡性循環(huán)。

三、 新手變成專家的策略探究

相對于新手而言，專家（教師）通常不會采用逆推的解題策略，而是采用從已知到目標的推理策略。如果教師注意反思自己的解題教學，會發(fā)現總喜歡從條件出發(fā)，去一步步走向目標，此過程中還會不經意地有一些新的發(fā)現——題目沒讓求，但可以得到一系列的子結論。此時，學生常常也會問：你是怎么想得到的呢？這就意味著學生也是渴求這樣的解題策略的。筆者經過實踐摸索，總結出了可以讓新手變成專家的兩種有效策略。

1.幫助學生建立和完善思維導圖

思維導圖最大的價值在于可以引導學生在尋找數學知識聯(lián)系的過程中擁有清晰的思路，需要注意的是，當前網絡上現成的思維導圖非常多，但筆者不建議直接給學生，因為思維導圖是思維的產物，如果不經學生的獨立思考和知識梳理而直接呈現結果，這只能引導學生去機械記憶，這就失去了思維導圖運用的本意了。簡單一點說，就是要讓學生經歷“導”的過程，所導之圖可以是粗糙的，但只要日進一步，學生就一定會更好地理解數學知識之間的聯(lián)系。

2.培養(yǎng)學生良好的問題表征能力

心理學家普遍認為，問題表征決定著解題的質量[2]。筆者認為培養(yǎng)高中數學問題表征能力應注重以下兩點：一是讓學生養(yǎng)成良好的由條件到目標的推理習慣。這里有一個重要細節(jié)，就是讓學生在日常的習題訓練中，不要急于獲得最終的答案，而是要思考由已知條件能夠推理出哪些可能的結果，然后判斷題目所提的問題在不在自己的推理范圍之內，而筆者的策略之一，常常是只提供題干而不問問題；二是讓學生“大聲”說出推理思路，“說出來”要優(yōu)于“想得到”，因為這是將思維轉換成語言的過程，“大聲”要優(yōu)于“輕聲”，因為其可以提高學生的注意力，可以“逼著”學生運用更嚴密的邏輯、更清晰的語言來讓自己的思路顯現出來。

總之，在基于學生核心素養(yǎng)的教育改革大背景下，死記硬背和題海戰(zhàn)術等教學手段早就變得不合時宜，教師需要以科學的方法論和心理觀為指導，在教學的方法和策略上作出調整，來適應學生的認知水平，以實現學生的自身發(fā)展和全面發(fā)展。

【參考文獻】

[1] 范建瑋. 數學解題的心理學研究綜述[J]. 數學教學研究， 2010， 29（11）：2-4.

[2] 范建瑋. 關于數學解題的心理學研究[D]. 重慶師范大學， 2003.

（作者單位：江蘇省啟東市呂四中學）endprint