微分方程邊值問題的研究及發(fā)展

游麗霞 宋娟

摘 要：常微分方程邊值問題作為微分方程研究的一個(gè)重要方面，是常微分方程學(xué)科的重要組成部分之一，本文將闡述微分方程邊值問題的研究及發(fā)展。

關(guān)鍵詞： 微分方程 數(shù)學(xué)模型 邊值問題

在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的許多領(lǐng)域中，例如物理、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、自動(dòng)控制、電子技術(shù)等等，都提出了大量的微分方程問題。這些現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題都必須通過建立數(shù)學(xué)模型來實(shí)現(xiàn)。許多數(shù)學(xué)模型也都是通過微分方程來描述的。因此常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，而常微分方程的邊值問題作為微分方程研究的一個(gè)重要方面，在其研究領(lǐng)域中居于重要地位。

新加坡學(xué)者 R.P.Agarwal和愛爾蘭學(xué)者D.O'regan對(duì)于常微分方程邊值問題的研究作出了巨大的貢獻(xiàn)。他們寫了大量的論文和著作，例如《Singular Differential and Integral Equation with Application》[1]，本書非常全面地研究了常微分方程邊值問題，重視其應(yīng)用性，實(shí)際例子較多。除了R.P.Agarwal和D.O'regan外，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者也在從事著常微分方程邊值問題的研究。

對(duì)于常微分方程兩點(diǎn)邊值問題已得到了充分的研究，并且取得了許多優(yōu)秀的研究成果。關(guān)于多點(diǎn)邊值問題的研究最初是在1987年 Il'in和 Mosieev[2，3]提出的二階線性常微分方程多點(diǎn)邊值問題，該問題起源于“非局部”邊值問題，具有較強(qiáng)的實(shí)際背景：如由不同密度組成的部分橫切面的天線振動(dòng)和彈性理論中的許多問題都可以歸結(jié)為多點(diǎn)邊值問題。它同時(shí)也出現(xiàn)在用分離變量法求解偏微分方程自由邊值問題的過程中。然后C.P.Gupta[4]在1992年就開始研究了非線性常微分方程的三點(diǎn)邊值問題，從此以后非線性常微分方程的邊值問題成為了微分方程領(lǐng)域中十分重要的研究領(lǐng)域。近幾年來，常微分方程多點(diǎn)邊值問題的解的存在性的研究引起了許多數(shù)學(xué)工作者廣泛的興趣，他們?cè)诙帱c(diǎn)邊值問題方面作了很多的工作并且取得了許多的研究成果。

C.P.Gupta在文[4]中討論了非線性二階三點(diǎn)邊值問題的解的存在唯一性，考慮下面的二階三點(diǎn)邊值問題

后來馬如云、劉斌、W.Feng等也對(duì)三點(diǎn)邊值問題作了一系列的研究，取得了豐富的研究成果。

馬如云在文[5]中考慮下面的二階三點(diǎn)邊值問題

采用錐拉伸錐壓縮定理討論了邊值問題的正解存在性。

自從 C.P.Gupta開始研究非線性常微分方程三點(diǎn)邊值問題解的存在性以來，許多學(xué)者相繼利用 Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、Leray-Schauder非線性抉擇定理和迭合度理論等方法研究了更一般的非線性多點(diǎn)邊值問題，得到了一些結(jié)果。不動(dòng)點(diǎn)定理被廣泛地應(yīng)用于微分方程邊值問題的研究，也成為了討論邊值問題正解存在性的一個(gè)常用的理論依據(jù)。國(guó)內(nèi)外研究邊值問題多數(shù)以一個(gè)已知的不動(dòng)點(diǎn)定理為依據(jù)，設(shè)定方程中函數(shù)所滿足的條件，這樣往往會(huì)受制于不動(dòng)點(diǎn)定理特定條件的限制，不得不對(duì)方程中的函數(shù)施加不必要的限制。微分方程邊值問題的研究一方面使得不動(dòng)點(diǎn)定理得到應(yīng)用，又一方面不斷地提出新的有待解決的問題，推動(dòng)不動(dòng)點(diǎn)理論的完善與提高。

非線性分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的研究方向，而非線性泛函分析是分析數(shù)學(xué)中既有深刻理論意義又有廣泛應(yīng)用價(jià)值的重要分支學(xué)科，它具有豐富的理論和先進(jìn)的方法.目前非線性泛函分析研究的主要內(nèi)容包括拓?fù)涠壤碚?、臨界點(diǎn)理論、半序方法、解析方法和單調(diào)型映射理論等，并且這些理論在微分方程方面的應(yīng)用，引起了廣大學(xué)者的密切關(guān)注。新的領(lǐng)域有新的問題被提出，近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題作為非線性性微分方程邊值問題，成為了微分方程理論中的一個(gè)重要課題，它是整數(shù)階微分方程邊值問題的推廣.隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題也廣泛的被應(yīng)用到很多學(xué)科，如：物理學(xué)、生物學(xué)、天文學(xué)等研究領(lǐng)域.非線性泛函方法是研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的重要工具， 文[6]中用非線性泛函分析的錐理論、不動(dòng)點(diǎn)理論、上下解方法、單調(diào)迭代方法等研究了幾類非線性分?jǐn)?shù)階微分方程（系統(tǒng)）邊值問題解（正解）的存在性、唯一性等。

除了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題被研究外，非線性脈沖微分邊值問題也是研究的熱點(diǎn)之一，在文[7]中作者用上下解的方程研究了非線性脈沖微分方程兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性。共振是自然界的常見現(xiàn)象，反映在數(shù)學(xué)模型上就是微分方程共振邊值問題，共振邊值問題也是微分方程邊值問題中的重要分支，關(guān)于解的存在性的研究也得到了一些新的結(jié)論。文[8]利用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理、Mawhin連續(xù)性定理及其推廣形式、臨界點(diǎn)理論等方法在共振、非共振情況下對(duì)幾類微分方程邊值問題解和正解的存在性進(jìn)行研究，在一定的條件下得到解和正解的存在性結(jié)果。

關(guān)于常微分方程邊值問題的研究已有很多結(jié)果，非線性微分方程一直是研究的熱點(diǎn)，還會(huì)不斷在新的領(lǐng)域出現(xiàn)新的問題，還有許多的問題待解決，比如高階分?jǐn)?shù)階微分方程，高級(jí)共振邊值問題等等相關(guān)問題值得去研究和探索，新的問題也將不斷出現(xiàn)，需要在新的領(lǐng)域去探索和研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]R.P.Agarwal， D.O'regan. Singular Differential and Integral Equations with Application. Dordrecht： Kluwer Academic Publishers， 2003.

[2]Il'inVA， Moiseev. Nonlocal Boundary Value Problem of the second kind for a sturm-liouvilleoperator.Differential Equations ，1987， 23（8）：979-987.

[3]Il'inVA， Moiseev. Nonlocal Boundary Value Problem of the first kind for a sturm-liouville operator in its differential and finite difference aspects. Differential Equations， 1987，23（7）：803-810.

[4]Gupta.C.P. Solvability of a three-point nonlinear boundary value problem for a second orderordinarydifferential equation.J.Math.Anal.Appl.1992 168：540-557.

[5]R.Ma. Postive Solutions of a nonlinear three-point boundary value problems.ElectronJ.Diff.Eqns ，1999，34：1-8.

[6] 譚靜靜關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的研究 北京林業(yè)大學(xué)博士論文2016

[7] 安超，閆寶強(qiáng) 非線性脈沖微分方程邊值問題正解的存在性應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào)2017.12

[8] 吳彥強(qiáng)微分方程邊值問題的解和正解的存在性 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)博士論文 2016

課題：2018年湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目

課題名稱：三維單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)的應(yīng)用，項(xiàng)目編號(hào)：B2018123

作者簡(jiǎn)介：

游麗霞（1980-05），女，漢族，湖北武漢人，講師，碩士，主要從事微分方程邊值問題的研究

宋娟（1981-02），女，漢族，湖北武漢人，講師，博士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究