如何上好一節(jié)數(shù)學(xué)概念課

郭源源

一、教學(xué)背景的簡析

“分式”是章節(jié)的起始課，屬于概念課.筆者對這種課的感受是“不難上，難上好”，換句話說，大眾課難以出彩.為此筆者沒有采用大眾化的上法（通過問題情境產(chǎn)生代數(shù)式——分類辨析出定義——概念的應(yīng)用拓展），筆者認(rèn)為想讓學(xué)生從根本上認(rèn)同這個概念，還需要從它產(chǎn)生的必要性和合理性來引入.

其一，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有了分?jǐn)?shù)和整式的概念，那為什么還要引入“分式”，相比而言“分式”有什么特殊的優(yōu)勢，而這種優(yōu)勢是分?jǐn)?shù)和整式做不到的.針對這一點(diǎn)，筆者設(shè)計了“從整到分，從數(shù)到式”的活動1來闡釋“分式”產(chǎn)生的必要性.

其二，從“分式”的構(gòu)造上來看，“分式”是否真的和“整式”一點(diǎn)聯(lián)系都沒有.“分式”可否認(rèn)為是“整式”之間通過某種運(yùn)算構(gòu)造出來的.針對這一點(diǎn)，筆者設(shè)計了“分式構(gòu)造”的活動2來解釋分式和整式的關(guān)聯(lián).

二、教學(xué)設(shè)計的簡述

活動1

（1）40 m2的房子，有12的面積鋪地板，則地板的面積是m2；

（2）40 m2的房子，有13的面積鋪地板，則地板的面積是m2；如果有6套這樣的房子，則地板總面積是m2.

【設(shè)計意圖】有了“整數(shù)”和“小數(shù)”，為什么還要引入“分?jǐn)?shù)”？讓學(xué)生充分感受到“分?jǐn)?shù)”的優(yōu)勢，一方面，分?jǐn)?shù)使數(shù)學(xué)中的問題結(jié)果更加簡單明了，另一方面，也有助于問題的進(jìn)一步運(yùn)算.這樣的設(shè)計既讓學(xué)生認(rèn)同了整數(shù)到分?jǐn)?shù)知識邏輯的合理性，也為后面的整式到分式打好鋪墊.

（3）a m2的房子，有1b的面積鋪地板，則地板的面積是m2；如果有2b套這樣的房子，則地板總面積是m2.

【設(shè)計意圖】這一問將所有的數(shù)字換成了字母，從“數(shù)”的問題變成了“式”的問題；讓學(xué)生理解一方面，當(dāng)結(jié)果計算無法用整式呈現(xiàn)時，學(xué)生只能用一類新的式子（即“分母中帶有字母”的式子）呈現(xiàn)是唯一的出路；另一方面，這一類“分母中帶有字母”的式子也更加有利于進(jìn)一步的式運(yùn)算.所以在數(shù)到式的發(fā)展過程中，這“新類型式子”的誕生是必然的，是有必要的.

在學(xué)生理解了“分母中帶有字母”的式子產(chǎn)生的必要性和合理性之后，就應(yīng)該給這樣的式子定義一個名稱，即分式.整式和分式之間有聯(lián)系嗎？通過整式之間的運(yùn)算可以構(gòu)造出分式嗎？

活動2

在（a+1），3，（a-1）這三個整式中，每名同學(xué)任選兩個整式進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算，把所得的結(jié)果填在學(xué)習(xí)單上.

問：① 所得結(jié)果都是整式嗎？② 新的代數(shù)式有何特征？③ 它是由整式之間的何種運(yùn)算構(gòu)造出來的？④ 你能從運(yùn)算構(gòu)造上給分式下個定義嗎？

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生理解整式和分式并不是毫無關(guān)聯(lián)的兩個概念，整式之間的運(yùn)算可以產(chǎn)生分式；同時讓學(xué)生在經(jīng)歷了“分母中帶有字母的式子就是分式”這樣簡單的認(rèn)識之后，又更加完善地領(lǐng)悟了分式的完整定義：“一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫作分式”.

活動3

求分式a-3a+2的值.

（1）a=3；（2）a=-25；（3）a=-2.

【設(shè)計意圖】筆者并沒有直接提問，當(dāng)a為何值時分式a-3a+2沒有意義；而是改用“倒逼”的方法，當(dāng)a=-2學(xué)生會出現(xiàn)各種錯誤，然后逼著學(xué)生回頭思考這個問題當(dāng)分母為0時，究竟值是0還是無意義，從而總結(jié)出分式有意義的前提：分母不為0；在學(xué)生的概念形成過程，筆者認(rèn)為不要刻意去回避一些常見的認(rèn)知錯誤，“碰壁”也是一次很好的糾正機(jī)會.

活動4

關(guān)于分式x2-1x-1.

（1）何時分式無意義；（2）何時分式有意義；（3）何時分式的值為0.

【設(shè)計意圖】這樣的題目既要兼顧到分子，也要兼顧到分母，要求學(xué)生對無意義、有意義、值為0三種情形的前提要了如指掌.讓學(xué)生在問題解決中滋生困惑，并在邏輯追問下實現(xiàn)對抽象知識的逐層破解與吸納，并深化概念過程中漸次體悟“去雜”思想（從有限的“無意義”出發(fā)研究無限的“有意義”）.以問題開放為節(jié)點(diǎn)，回流貫穿本章始終的分式概念，進(jìn)而探得概念的“完形”.

活動5 歸納總結(jié)

說說本節(jié)課我們是怎么研究分式的？

你能用結(jié)構(gòu)圖的方法畫出我們“式”的研究順序嗎？

你會用分式這樣的研究方法，去研究后階段將要學(xué)到的“無理數(shù)到無理式”嗎？

【設(shè)計意圖】站在思想方法的平臺上進(jìn)行思維追溯，以對數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解為理念，走出千篇一律的設(shè)計，給學(xué)生留下“帶得走”的東西，讓學(xué)生能在數(shù)學(xué)的道路上越走越遠(yuǎn).

三、概念教學(xué)的簡思

1.通過恰當(dāng)?shù)谋尘耙耄Y(jié)合前期同類知識在接下來研究過程中出現(xiàn)的困惑和不足，從而揭示引入新概念的必要性.

學(xué)生建構(gòu)一個概念需要有直觀感覺、體驗感知、反思感悟三個階段，那么如何讓學(xué)生在這三個階段體會引入新概念的必要性呢？其實，很多概念都有其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)背景，這需要教師根據(jù)這些背景選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，在背景的選擇過程中一般需要關(guān)注以下兩點(diǎn)：一是學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識和基本方法已不能解決新出現(xiàn)的問題，學(xué)生通過實例感知需要引入新概念或者將原有概念進(jìn)行延伸推廣.二是選擇的背景具有普適性，能提煉出概念的本質(zhì)屬性，并且通過背景問題的解決學(xué)生直觀感知概念的研究方法和研究方向.總之通過問題驅(qū)動，解決背景問題，明確如何解決問題，進(jìn)入體會概念引入過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，感知知識與方法生成的必要性.

2.通過師生的互動，不斷地提出問題、解決問題，促使學(xué)生思維的碰撞，揭示引入概念的合理性.

概念的生成過程，不僅可以完善知識結(jié)構(gòu)，更能提升學(xué)生的認(rèn)知水平.從本節(jié)課來看，筆者的設(shè)計并沒有草率快速地強(qiáng)調(diào)概念的關(guān)鍵詞和分析概念結(jié)構(gòu)并記憶，而是在概念的生成過程中，不斷提出新的問題，引導(dǎo)學(xué)生不斷想辦法解決問題，反復(fù)沖擊學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生將所得的結(jié)論用規(guī)范的文字語言或符號語言表示，讓學(xué)生體會引入概念的合理性.